Exercices de Égalités et inégalités en maths Sup (prépa)

1. $Équation cubique avec radicaux$

Observer que

x = 3 20 + 142 + 3 20 - 142

est solution d'une équation de la forme

x^{3} = α x + β

avec

α, β \in R

. Résoudre cette dernière et déterminer

x

2. $Systèmes 2 \times 2 dans R^{2}$

Résoudre les systèmes d'inconnue

(x, y) \in R^{2}

Q1-

{x^{2} + 2 y^{2} = 1 x^{2} + x y = 0

Q2-

{x^{2} + y^{2} = 1 2 x y = 1

Q3-

{x^{2} = y y^{2} = x

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3. $Systèmes 3 \times 3 dans R^{3}$

Résoudre les systèmes suivants d'inconnue

(x, y, z) \in R^{3}

Q1-

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 1 x - y + z = 2 x y z = 0

Q2-

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 1 x - y + 2 z = 2 3 x - y + z = 3

Q3-

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 x - y + 3 z = 2 2 x - y + z = 3

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4. $Système avec paramètre a$

Résoudre le système

⎩ ⎨ ⎧ x - a y + z = 2 x + (a + 1) z = 3 x + a y + 3 z = 4

d'inconnue

(x, y, z) \in R^{3}

a

désignant un paramètre réel.

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5. $Équations réelles classiques$

Résoudre les équations suivantes d'inconnue

x \in R

Q1-

x = 2 x - 1

[1]

Q2-

3 x = 2 - x

[

π

]

Q3-

n x = 0

[

π

] (avec

n \in N^{*}

)

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6. $Système symétrique non nul$

Soient

a

un réel non nul. Déterminer les triplets

(x, y, z)

de réels non nuls vérifiant :

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = a \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a} .

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7. $Équation réciproque biparamétrique$

Soient

a, b \in R^{*}

tels que

a \neq = b

.

Résoudre l'équation d'inconnue

x \in R^{*}

\frac{1}{x} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a}

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8. $Inéquations avec e^{x} et ln$

Résoudre les inéquations suivantes d'inconnue

x \in R

:

(a)

e^{2 x - 1} < e^{x^{2}}

,

(b)

ln (1 - 2 x) + ln (x + 2) \geq ln (2 x^{2} + x + 3)

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9. $Inégalité 2 x y \leq x^{2} + y^{2}$

Montrer que, pour tous

x, y \in R

2 x y \leq x^{2} + y^{2}

.

On utilisera ce résultat dans les questions suivantes.

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10. $Inégalité x + 1/ x \geq 2$

Montrer que, pour tout

x \in R^{+*}

x + \frac{1}{x} \geq 2

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11. $Unique racine réelle de x^{3} - 6 x - 6$

Montrer que l'équation

x^{3} - 6 x - 6 = 0

a une unique solution réelle qu'on ne cherchera pas à expliciter.

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12. $Inégalité ∣ x + 1/ x ∣ \geq 2$

Montrer que pour tout

x \in R^{*}

x + \frac{1}{x} \geq 2

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13. $Simplification avec radicaux$

Simplifier les expressions suivantes :

A = \frac{45 \times 1 0 ^{3}}{3 \times 1 0 ^{2} \times 12 \times 1 0 ^{6}}

B = 45 \times \frac{22}{20} \times \frac{18}{11}

C = 18 \times 14 \times 28

D = \frac{5 ^{2} \times 23 \times 7 ^{3}}{50 \times 28}

E = \frac{24.5 \times 1 0 ^{- 3}}{15 \times 1 0 ^{- 2} \times 1.2 \times 1 0 ^{- 1}}

F = \frac{( 2 - 2 ) ^{4}}{3 - 2 2}

G = 5 - \frac{1}{5 - 1}

H = \frac{\frac{3 + 1}{4} + \frac{3}{3 - 1}}{3 + 1 - \frac{2}{3 - 1}}

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14. $Développement avec radicaux$

Développer et simplifier les expressions suivantes :

A = (72 - 53) (53 + 72)

B = (917 + 3) (517 + 8)

C = (- 32 - 575)^{2}

D = (28 - 27 + 320) (7 + 5)

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15. $Rationalité de 1 - 9/25$

Soit

B = 1 + \frac{3}{5} \times 1 - \frac{3}{5}

. B est-il un nombre rationnel ?

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16. $Fraction imbriquée : simplification$

Soit

D = \frac{\frac{2 + 3}{4} + \frac{2 - 3}{4}}{\frac{1 - 3}{3} + \frac{1 + 3}{3}} \times \frac{4 - 3}{2} \times \frac{4 + 3}{2} \times \frac{7 - 3}{2} \times \frac{7 + 3}{2}

. D est-il un nombre rationnel ?

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17. $Puissances positives, simplifier$

Simplifier et donner le résultat sous la forme d'un produit ou d'un quotient de puissances d'exposants positifs des nombres premiers 2, 3, 5, 7...

A = \frac{( - 2 ^{3} ) \times 2 4 ^{3}}{2 7 ^{2} \times ( - 1 6 ^{4} )}

B = \frac{( 3 ^{- 2} \times 1 0 ^{2} ) ^{3} \times 7 5 ^{- 3}}{400 0 ^{- 1} \times 16}

C = \frac{5 ^{3000}}{( 5 ^{300} ) ^{3} \times 2 5 ^{295}}

D = \frac{8 ^{10} + 4 ^{10}}{8 ^{4} + 4 ^{11}}

E = \frac{( 9 ^{n + 1} + 9 ^{n} ) ^{3}}{( 3 ^{2 n + 1} - 3 ^{2 n} ) ^{3}}

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18. $Calcul sans calculatrice$

Sans calculatrice, calculer :

A = 43 + 31 + 21 + 13 + 7 + 3 + 1

B = 123456789 0^{2} - 1234567889 \times 1234567891

C = \frac{9 - \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{25}{4}}{2 + \frac{5}{6} - \frac{5}{12}} \times \frac{3 - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - 1}

D = \frac{( \frac{- 3}{2} ) ^{3} \times ( \frac{4}{9} ) ^{3}}{( \frac{10}{6} ) ^{- 3} \times ( \frac{14}{8} ) ^{3}}

E = 4 - 3 \times \frac{3 ^{3} - 7 \times 2 ^{2}}{7 ^{3} - 3 ^{5}} \times \frac{( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) ^{2}}{3 ^{4} + 3 ^{2}}

F = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{3} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{10} - \frac{1}{12}} + \frac{2}{3}

G = \frac{( - 0.12 ) ^{5} \times 1. 8 ^{- 5} \times 1 0 ^{6} \times 2000 0 ^{5}}{( - 1.6 ) ^{3} \times ( - 0.75 ) ^{- 3} \times ( - 25 ) ^{4} \times 3 ^{3} \times 1 5 ^{2}}

H = (\frac{2}{3})^{7} \times (\frac{9}{13})^{2} \times (\frac{13}{7})^{2} \times 6 3^{2} \times (\frac{4}{3})^{- 5}

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Calcul de A :

On remarque que

1 = 1^{2}

3 + 1 = 4 = 2^{2}

7 + 4 = 7 + 2 = 9 = 3^{2}

13 + 9 = 13 + 3 = 16 = 4^{2}

21 + 16 = 21 + 4 = 25 = 5^{2}

31 + 25 = 31 + 5 = 36 = 6^{2}

, et enfin

43 + 36 = 43 + 6 = 49 = 7^{2}

. Donc

A = 49 = 7

.

Calcul de B :

Soit

x = 1234567890

. Alors

B = x^{2} - (x - 1) (x + 1) = x^{2} - (x^{2} - 1) = 1

.

Calcul de C :

C = \frac{9 - \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{25}{4}}{2 + \frac{5}{6} - \frac{5}{12}} \times \frac{3 - \frac{1}{2}}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{\frac{540 - 20 + 48 - 375}{60}}{\frac{24 + 10 - 5}{12}} \times \frac{\frac{6 - 1}{2}}{\frac{2 - 3}{3}} = \frac{\frac{193}{60}}{\frac{29}{12}} \times \frac{\frac{5}{2}}{\frac{- 1}{3}} = \frac{193}{60} \times \frac{12}{29} \times \frac{5}{2} \times (- 3) = \frac{193}{5 \times 29} \times \frac{1}{1} \times \frac{5}{2} \times (- 3) = \frac{193}{29} \times \frac{1}{2} \times (- 3) = - \frac{579}{58}

.

Calcul de D :

D = \frac{( - \frac{3}{2} ) ^{3} \times ( \frac{4}{9} ) ^{3}}{( \frac{10}{6} ) ^{- 3} \times ( \frac{14}{8} ) ^{3}} = \frac{( - \frac{3}{2} ) ^{3} \times ( \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}} ) ^{3}}{( \frac{5}{3} ) ^{- 3} \times ( \frac{7}{4} ) ^{3}} = \frac{( - 1 ) ^{3} ( \frac{3}{2} ) ^{3} \times ( \frac{2}{3} ) ^{6}}{( \frac{3}{5} ) ^{3} \times ( \frac{7}{2 ^{2}} ) ^{3}} = - \frac{3 ^{3}}{2 ^{3}} \times \frac{2 ^{6}}{3 ^{6}} \times \frac{3 ^{3} \times 2 ^{6}}{5 ^{3} \times 7 ^{3}} = - \frac{2 ^{9} \times 3 ^{6}}{2 ^{3} \times 3 ^{6} \times 5 ^{3} \times 7 ^{3}} = - \frac{2 ^{6}}{5 ^{3} \times 7 ^{3}} = - \frac{64}{175 \times 343} = - \frac{64}{60025}

.

Calcul de E :

E = 4 - 3 \times \frac{27 - 7 \times 4}{343 - 243} \times \frac{( \frac{4 - 2 + 1}{4} ) ^{2}}{81 + 9} = 4 - 3 \times \frac{- 1}{100} \times \frac{( \frac{3}{4} ) ^{2}}{90} = 4 - 3 \times \frac{- 1}{10} \times \frac{\frac{9}{16}}{3 10} = 4 + \frac{3}{10} \times \frac{9}{16 \times 3 10} = 4 + \frac{9}{160 10} = 4 + \frac{9 10}{1600}

.

Calcul de F :

F = \frac{\frac{30 + 24 - 20 - 45}{60}}{\frac{10 + 6 - 5}{60}} + \frac{2}{3} = \frac{- 11}{11} + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}

.

Calcul de G :

G = \frac{( - 0.12 \times 1.8 ) ^{- 5} \times 1 0 ^{6} \times ( 2 \times 1 0 ^{4} ) ^{5}}{( - 1.6 \times ( - 0.75 ) ) ^{- 3} \times ( - 5 ^{2} ) ^{4} \times 3 ^{3} \times ( 3 \times 5 ) ^{2}} = \frac{( - 0.216 ) ^{- 5} \times 1 0 ^{6} \times 2 ^{5} \times 1 0 ^{20}}{( 1.2 ) ^{- 3} \times 5 ^{8} \times 3 ^{3} \times 3 ^{2} \times 5 ^{2}} = \frac{( - \frac{216}{1000} ) ^{- 5} \times 1 0 ^{26}}{( \frac{6}{5} ) ^{- 3} \times 3 ^{5} \times 5 ^{10}} = ...

(Simplification fastidieuse, résultat final

= - 1 0^{12}

)

Calcul de H :

H = (\frac{2}{3})^{7} \times (\frac{3 ^{2}}{13})^{2} \times (\frac{13}{7})^{2} \times (7 \times 3^{2})^{2} \times (\frac{3}{2})^{5} = 2^{7} \times 3^{- 7} \times 3^{4} \times 1 3^{- 2} \times 1 3^{2} \times 7^{- 2} \times 7^{2} \times 3^{4} \times 2^{- 5} \times 3^{5} = 2^{2} \times 3^{6} = 4 \times 729 = 2916

19. $Entier sous radical$

Mettre

111111111111 - 222222

sous forme d'un entier.

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20. $Simplification de puissances$

Simplifier et donner le résultat sous la forme d'un produit ou d'un quotient de puissances d'exposants positifs des nombres premiers 2, 3, 5, 7...

K = \frac{49 \times 10 5 ^{2} \times 32}{( 100 \times 7 ) ^{3}}

L = \frac{4 ^{60} + 5 \times 8 ^{53}}{28 \times 2 ^{155}}

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21. $Rationalité d'une somme$

Soit

H = \frac{2 5}{5 - 2} + \frac{3}{5 - 3} - \frac{13}{5 - 1}

. H est-il un rationnel ?

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22. $Simplification de racine carrée$

Simplifier

\frac{4 ^{7} + 4 ^{3}}{2 ^{11} + 2 ^{3}}

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23. $Factorisation, radicaux négatifs$

Factoriser

a + b - 2 ab

quand

a

b

sont tous les deux négatifs.

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24. $Calcul avec a = 3 + 5$

On pose

a = 3 + 5

b = 3 - 5

.
Calculer

a^{2}

b^{2}

ab

.
En déduire

(a + b)^{2}

puis la valeur exacte de

a + b

25. $Simplification de 7 - 43$

Soit

I = 7 - 43 - 7 + 43

.
Calculer

I^{2}

puis en déduire une écriture plus simple de

I

26. $Produit télescopique 2^{32} - 1$

Sans calculer les facteurs, prouver que

(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) = 2^{32} - 1

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27. $Déterminer l'exposant n$

Dans chacun des cas, déterminer la valeur de

n

telle que :
a)

(\frac{4 ^{5} + 4 ^{5} + 4 ^{5} + 4 ^{5}}{3 ^{5} + 3 ^{5} + 3 ^{5}}) (\frac{6 ^{5} + 6 ^{5} + 6 ^{5} + 6 ^{5} + 6 ^{5} + 6 ^{5}}{2 ^{5} + 2 ^{5}}) = 2^{n}

3^{2001} + 3^{2002} + 3^{2003} = n \cdot 3^{2001}

(1 0^{2002} + 25)^{2} - (1 0^{2002} - 25)^{2} = 1 0^{n}

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28. $Simplification 21 - 123$

(1) Développer

(3 - 23)^{2}

.

(2) En déduire une écriture simplifiée de

21 - 123

29. $Inéquation avec 1/ (x - n)$

Soit

n \in N

. Résoudre dans

R ∖ {n}

, l'inéquation

\frac{1}{x - n} ⩾ x - n

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30. $Inéquations avec racines carrées$

Résoudre les inéquations :

1)

x^{2} - 4 x + 3 ⩾ - x + 2

.

2)

\frac{1 - 1 - 4 x ^{2}}{x} > \frac{1}{2}

.

3)

2 x + 1 + 2 x - 5 ⩾ 5 - 2 x

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31. $Équation rationnelle avec x^{2} - 1$

Résoudre :
(1)

\frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1} = \frac{5}{x + 1} + \frac{2 x}{x ^{2} - 1}

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32. $Équation rationnelle imbriquée$

(2)

\frac{x + 1}{1 + \frac{x}{x + 1}} - \frac{x - 1}{1 + \frac{x}{x - 1}} = \frac{1}{2}

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33. $Équations avec racines carrées$

Résoudre les équations suivantes.

a.

2 x - 3 = x - 2

x^{2} - 9 = x - 3

x^{2} + 2 = 1 - x^{2}

3 x + 1 = x - 1

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34. $Vrai ou faux sur racines carrées$

Vrai ou faux ? Justifier.

a. Pour tout réel

x

, on a

(x^{2} + 2)^{2} = x^{2} + 2

.

b. Pour tout réel

x

, on a

(x^{2} + 3 x + 1)^{2} = x^{2} + 3 x + 1

.

c. On a

\frac{2}{2} = \frac{1}{2}

.

d. Pour tout réel

x

strictement positif,

\frac{x}{x ^{2}} = \frac{1}{x x}

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35. $Rationalisation de 1/ (2 - 3)$

Montrer que

\frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

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36. $Différence n + 1 - n$

Montrer que pour tout entier naturel

n

, on a

n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n}

37. $Entier issu de deux radicaux$

Montrer que

30 + 105 + 30 - 105

est un nombre entier.

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1.Équation cubique avec radicaux

2.Systèmes 2×2 dans R2

3.Systèmes 3×3 dans R3

4.Système avec paramètre a

5.Équations réelles classiques

6.Système symétrique non nul

7.Équation réciproque biparamétrique

8.Inéquations avec ex et ln

9.Inégalité 2xy≤x2+y2

10.Inégalité x+1/x≥2

11.Unique racine réelle de x3−6x−6

12.Inégalité ∣x+1/x∣≥2

13.Simplification avec radicaux

14.Développement avec radicaux

15.Rationalité de 1−9/25​

16.Fraction imbriquée : simplification

17.Puissances positives, simplifier

18.Calcul sans calculatrice

19.Entier sous radical

20.Simplification de puissances

21.Rationalité d'une somme

22.Simplification de racine carrée

23.Factorisation, radicaux négatifs

24.Calcul avec a=3​+5​

25.Simplification de 7−43​​

26.Produit télescopique 232−1

27.Déterminer l'exposant n

28.Simplification 21−123​​

29.Inéquation avec 1/(x−n)

30.Inéquations avec racines carrées

31.Équation rationnelle avec x2−1

32.Équation rationnelle imbriquée

33.Équations avec racines carrées

34.Vrai ou faux sur racines carrées

35.Rationalisation de 1/(2−3​)

36.Différence n+1​−n​

37.Entier issu de deux radicaux

1. $Équation cubique avec radicaux$

2. $Systèmes 2 \times 2 dans R^{2}$

3. $Systèmes 3 \times 3 dans R^{3}$

4. $Système avec paramètre a$

5. $Équations réelles classiques$

6. $Système symétrique non nul$

7. $Équation réciproque biparamétrique$

8. $Inéquations avec e^{x} et ln$

9. $Inégalité 2 x y \leq x^{2} + y^{2}$

10. $Inégalité x + 1/ x \geq 2$

11. $Unique racine réelle de x^{3} - 6 x - 6$

12. $Inégalité ∣ x + 1/ x ∣ \geq 2$

13. $Simplification avec radicaux$

14. $Développement avec radicaux$

15. $Rationalité de 1 - 9/25$

16. $Fraction imbriquée : simplification$

17. $Puissances positives, simplifier$

18. $Calcul sans calculatrice$

19. $Entier sous radical$

20. $Simplification de puissances$

21. $Rationalité d'une somme$

22. $Simplification de racine carrée$

23. $Factorisation, radicaux négatifs$

24. $Calcul avec a = 3 + 5$

25. $Simplification de 7 - 43$

26. $Produit télescopique 2^{32} - 1$

27. $Déterminer l'exposant n$

28. $Simplification 21 - 123$

29. $Inéquation avec 1/ (x - n)$

30. $Inéquations avec racines carrées$

31. $Équation rationnelle avec x^{2} - 1$

32. $Équation rationnelle imbriquée$

33. $Équations avec racines carrées$

34. $Vrai ou faux sur racines carrées$

35. $Rationalisation de 1/ (2 - 3)$

36. $Différence n + 1 - n$

37. $Entier issu de deux radicaux$