Exercices de Égalités et inégalités en maths Sup (prépa) (page 2)

38. $Fractions algébriques, simplifier$

39. $Équation paramétrique en m$

Résoudre l'équation

\frac{x - 1}{x - m} = m

dans

R

et discuter selon la valeur du paramètre

m

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40. $Inéquation avec paramètre m$

Discuter selon les valeurs de

m

l'ensemble des solutions de l'équation

(m + 2) x + 2 m - 1 \leq 2 m x + 3

d'inconnue

x

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41. $Minoration x^{2} + y^{2} \geq 1/2$

Soit

x, y

des réels tels que

x + y = 1

. Montrer que

x^{2} + y^{2} \geq \frac{1}{2}

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42. $Inégalités entre x, y > 0$

Soit

x, y

des réels strictement positifs.

1.

\frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} \leq \frac{1}{2 x y}

;

2.

\frac{x + y}{x ^{2} + y ^{2}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})

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43. $Moyennes harmonique et arithmétique$

Soit

x, y

des réels strictement positifs. Montrer que

\frac{2 x y}{x + y} \leq x y \leq \frac{x + y}{2}

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44. $Calculer x^{3} + 1/ x^{3}$

(x + \frac{1}{x})^{2} = 7

. Que vaut

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

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45. $Module de (x + y) / (1 + x y)$

Soit x et y tels que

∣ x ∣ < 1

∣ y ∣ < 1

. Montrer que

\frac{x + y}{1 + x y} < 1

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46. $Inégalités sur a, b, c > 0$

Soit a, b, c trois réels strictement positifs.

1. Montrer que

\frac{ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{4}

. Dans quel cas a-t-on égalité ?

2. Montrer que

\frac{ab}{a + b} + \frac{b c}{b + c} + \frac{c a}{c + a} \leq \frac{a + b + c}{2}

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47. $Combinaisons et binôme de Newton$

1. Soient

n, p \geq 1

. Démontrer que

(p n) = \frac{n}{p} (p - 1 n - 1)

.

2. Pour

n \in N

a, b

réels non nuls, simplifier les expressions suivantes :
1.

(n + 1)! - n!

\frac{( n + 3 )!}{( n + 1 )!}

\frac{n + 2}{( n + 1 )!} - \frac{1}{n !}

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

où

u_{n} = \frac{a ^{n}}{n ! b ^{2 n}}

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48. $Propriétés de la partie entière$

1. Montrer que pour tous réels

x

⌊ x + 1 ⌋ = ⌊ x ⌋ + 1

.

2. Montrer que pour tous réels

x, y

⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ \leq ⌊ x + y ⌋

.

3. Montrer que pour tous réels

x, y

⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + ⌊ x + y ⌋ \leq ⌊ 2 x ⌋ + ⌊ 2 y ⌋

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49. $Somme géométrique de 2^{k} / 3^{k}$

Calculer

T_{n} = k = 0 \sum n \frac{2 ^{k - 1}}{3 ^{k + 1}}

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50. $QCM sur les sommes finies$

Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle?

1. La somme

k = 0 \sum n 2

a. n'a pas de sens b. vaut

2 (n + 1)

c. vaut

2 n

.

2. La somme

p = 0 \sum 2 n + 1 (- 1)^{p}

est égale à

a. 1 b.

- 1

c. 0.
3. Le produit

i = 1 \prod n (5 a_{i})

est égal à

a.

5 i = 1 \prod n a_{i}

5^{n} i = 1 \prod n a_{i}

5^{n - 1} i = 1 \prod n a_{i}

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51. $Notation \sum : puissances de 2$

Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes :1.

2^{3} + 2^{4} + \dots + 2^{12}

.

2.

\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \dots + \frac{10}{1024}

.

3.

2 - 4 + 6 - 8 + \dots + 50

.

4.

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n}

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52. $Notation \sum : termes en n$

Écrire à l'aide du symbole

\sum

les sommes suivantes :1.

n + (n + 1) + \dots + 2 n

;

2.

\frac{x _{1}}{x _{n}} + \frac{x _{2}}{x _{n - 1}} + \dots + \frac{x _{n - 1}}{x _{2}} + \frac{x _{n}}{x _{1}}

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53. $Monotonie de u_{n} = \sum_{k = n}^{2 n} 1/ k$

Pour

n \geq 1

, on pose

u_{n} = k = n \sum 2 n \frac{1}{k}

. Simplifier

u_{n + 1} - u_{n}

puis étudier la monotonie de

(u_{n})

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54. $Somme \sum ln (1 + 1/ k)$

Calculer

k = 1 \sum n ln (1 + \frac{1}{k})

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55. $Décomposition : somme de k \cdot 2^{k}$

1. Déterminer une suite

(u_{k})_{k \geq 0}

telle que, pour tout

k \geq 0

, on ait

u_{k + 1} - u_{k} = (k + 2) 2^{k}

.

2. En déduire, pour tout

n \geq 0

, la valeur de

k = 0 \sum n (k + 2) 2^{k}

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56. $Polynôme avec P (x) - P (x - 1) = x^{2}$

a) Déterminer un polynôme

P

de degré 3 en sorte que, pour tout réel

x

P (x) - P (x - 1) = x^{2}

.

b) En déduire l'expression de

S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}

.

c) Déterminer un polynôme

P

de degré 4 en sorte que, pour tout réel

x

P (x) - P (x - 1) = x^{3}

.

d) En déduire l'expression de

S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}

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57. $Convergence par télescopage$

Montrer que la série de terme général

u_{n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{2}{n} + \frac{1}{n + 1}

(pour

n \geq 2

) est convergente, et calculer sa somme.

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58. $Somme \sum k \cdot k!$

Calculer

k = 1 \sum n k \cdot k!

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59. $Symétrie de sommes de sinus$

Soit

n \geq 1

. Démontrer que

k = n + 1 \sum 2 n - 1 ln (sin (\frac{k π}{2 n})) = k = 1 \sum n - 1 ln (sin (\frac{k π}{2 n}))

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60. $Somme \sum (1/ k - 1/ (n + 1 - k))$

Calculer la somme

k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1 - k})

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61. $Produit télescopique$

Simplifier le produit (Les points de suspension indiquent que l'on continue le processus jusqu'au dernier terme) :

p = (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{4}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{2020})

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62. $Produit \prod (1 - 1/ k^{2})$

Calculer

k = 2 \prod n (1 - \frac{1}{k ^{2}})

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63. $Produit avec dénominateurs impairs$

Calculer

A = p = 1 \prod 100 [1 - \frac{4}{( 2 p - 1 ) ^{2}}]

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64. $Formule du binôme : somme 2^{n}$

Démontrer que, pour tout entier

n

, on a

p = 0 \sum n (p n) = 2^{n}

.Démontrer que, pour tout entier

n

, on a

p = 0 \sum n (p n) 2^{p} = 3^{n}

.

Démontrer que, pour tout entier

n

, on a

k = 1 \sum 2 n (k 2 n) (- 1)^{k} 2^{k - 1} = 0

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65. $Sommes avec binômes et puissances$

Soit

n \geq 1

x \in] 0, 2 π [

. Calculez les sommes suivantes :

1. (★)

k = 1 \sum n (k n) 3^{k}

2. (★)

k = 1 \sum n (k n) \frac{1}{3 ^{k}}

3. (★)

k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n)

4. (★★)

k = 1 \sum n (k n) cos k x

(pensez que

cos k x = Re (e^{ik x})

...)

5. (★★)

k = 0 \sum n (k n) \frac{( - 1 ) ^{n - k}}{3 ^{k + 1}}

6. (★★)

k = 1 \sum n (k - 1 n - 1) 2^{k}

7. (★★★)

k = 2 \sum n - 1 (k - 2 n - 3) 3^{k}

8. (★★★)

k = 1 \sum n (k n) k

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66. $Somme sur une colonne du triangle de Pascal$

Soient

n, p

des entiers naturels avec

n \geq p

. Démontrer que

k = p \sum n (p k) = (p + 1 n + 1)

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67. $(2 + 3)^{n} + (2 - 3)^{n} entier$

Soit

n \in N^{*}

. Vérifier que

(2 + 3)^{n} + (2 - 3)^{n}

est un entier pair. En déduire que la partie entière de

(2 + 3)^{n}

est un entier impair.

68. $Sommes des k, k^{2}, k^{3}$

Pour

n \in N^{*}

, on note

a_{n} = k = 1 \sum n k

b_{n} = k = 1 \sum n k^{2}

c_{n} = k = 1 \sum n k^{3}

.

Démontrer que

a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}

, que

b_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

et que

c_{n} = a_{n}^{2}

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69. $Somme géométrique et dérivées$

Soit

x \in R

n \in N^{*}

.

1. Calculer

S_{n} (x) = k = 0 \sum n x^{k}

.

2. En déduire la valeur de

T_{n} (x) = k = 0 \sum n k x^{k}

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70. $Somme de l'inégalité 2 ab \leq a^{2} + b^{2}$

Montrer que pour tout

n \in N

\frac{1}{2} i = 1 \sum n (a_{i}^{2} + b_{i}^{2}) \geq i = 1 \sum n a_{i} b_{i}

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71. $Encadrement u_{n} = \sum 1/ n^{2} + k$

Soit

u_{n} = k = 1 \sum 2 n + 1 \frac{1}{n ^{2} + k}

, pour

n \in N

.Encadrer

u_{n}

et en déduire la convergence de

(u_{n})

et sa limite.

72. $Encadrement d'une somme$

Montrer que pour tout entier naturel non nul

n \in N^{*}

\frac{1}{n} \leq k = 0 \sum n \frac{1}{n ^{2} + k} \leq \frac{n + 1}{n ^{2}}

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73. $Suite S_{n} = \sum 1/ k^{2} bornée$

On pose pour

n \in N^{*}

S_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}}

.1. Démontrer que la suite

(S_{n})

est croissante.

2. Démontrer que pour tout entier

k \geq 2

\frac{1}{k ^{2}} \leq \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}

3. La suite

(S_{n})

est-elle convergente ?

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74. $Équation de Pell x^{2} - 2 y^{2} = 1$

Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation

x^{2} - 2 y^{2} = 1

admet une infinité de solutions avec

x, y

des entiers naturels.

1. Soit

n \geq 1

. Démontrer qu'il existe deux entiers

x_{n}

y_{n}

tels que

(3 + 22)^{n} = x_{n} + 2 y_{n}

.

2. Exprimer

x_{n + 1}

y_{n + 1}

en fonction de

x_{n}

y_{n}

.

3. En déduire que les suites

(x_{n})

(y_{n})

sont strictement croissantes.

4. Démontrer le résultat annoncé.

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38.Fractions algébriques, simplifier

39.Équation paramétrique en m

40.Inéquation avec paramètre m

41.Minoration x2+y2≥1/2

42.Inégalités entre x,y>0

43.Moyennes harmonique et arithmétique

44.Calculer x3+1/x3

45.Module de (x+y)/(1+xy)

46.Inégalités sur a,b,c>0

47.Combinaisons et binôme de Newton

48.Propriétés de la partie entière

49.Somme géométrique de 2k/3k

50.QCM sur les sommes finies

51.Notation ∑ : puissances de 2

52.Notation ∑ : termes en n

53.Monotonie de un​=∑k=n2n​1/k

54.Somme ∑ln(1+1/k)

55.Décomposition : somme de k⋅2k

56.Polynôme avec P(x)−P(x−1)=x2

57.Convergence par télescopage

58.Somme ∑k⋅k!

59.Symétrie de sommes de sinus

60.Somme ∑(1/k−1/(n+1−k))

61.Produit télescopique

62.Produit ∏(1−1/k2)

63.Produit avec dénominateurs impairs

64.Formule du binôme : somme 2n

65.Sommes avec binômes et puissances

66.Somme sur une colonne du triangle de Pascal

67.(2+3​)n+(2−3​)n entier

68.Sommes des k, k2, k3

69.Somme géométrique et dérivées

70.Somme de l'inégalité 2ab≤a2+b2

71.Encadrement un​=∑1/n2+k​

72.Encadrement d'une somme

73.Suite Sn​=∑1/k2 bornée

74.Équation de Pell x2−2y2=1

38. $Fractions algébriques, simplifier$

39. $Équation paramétrique en m$

40. $Inéquation avec paramètre m$

41. $Minoration x^{2} + y^{2} \geq 1/2$

42. $Inégalités entre x, y > 0$

43. $Moyennes harmonique et arithmétique$

44. $Calculer x^{3} + 1/ x^{3}$

45. $Module de (x + y) / (1 + x y)$

46. $Inégalités sur a, b, c > 0$

47. $Combinaisons et binôme de Newton$

48. $Propriétés de la partie entière$

49. $Somme géométrique de 2^{k} / 3^{k}$

50. $QCM sur les sommes finies$

51. $Notation \sum : puissances de 2$

52. $Notation \sum : termes en n$

53. $Monotonie de u_{n} = \sum_{k = n}^{2 n} 1/ k$

54. $Somme \sum ln (1 + 1/ k)$

55. $Décomposition : somme de k \cdot 2^{k}$

56. $Polynôme avec P (x) - P (x - 1) = x^{2}$

57. $Convergence par télescopage$

58. $Somme \sum k \cdot k!$

59. $Symétrie de sommes de sinus$

60. $Somme \sum (1/ k - 1/ (n + 1 - k))$

61. $Produit télescopique$

62. $Produit \prod (1 - 1/ k^{2})$

63. $Produit avec dénominateurs impairs$

64. $Formule du binôme : somme 2^{n}$

65. $Sommes avec binômes et puissances$

66. $Somme sur une colonne du triangle de Pascal$

67. $(2 + 3)^{n} + (2 - 3)^{n} entier$

68. $Sommes des k, k^{2}, k^{3}$

69. $Somme géométrique et dérivées$

70. $Somme de l'inégalité 2 ab \leq a^{2} + b^{2}$

71. $Encadrement u_{n} = \sum 1/ n^{2} + k$

72. $Encadrement d'une somme$

73. $Suite S_{n} = \sum 1/ k^{2} bornée$

74. $Équation de Pell x^{2} - 2 y^{2} = 1$