Exercices de Égalités et inégalités en maths Sup (prépa) (page 3)

75. $Somme sur une colonne de Pascal et produits d'entiers consécutifs$

76. $Somme des harmoniques H_{k}$

On note

H_{n}

n

-ième nombre harmonique. Montrer que, pour tout entier

n \geq 2

k = 1 \sum n - 1 H_{k} = n H_{n} - n

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77. $Décomposition en éléments simples$

Déterminer trois réels

a, b, c

tels que :

\forall x \in R ∖ {0, - 1, - 2}, \frac{1}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{x + 2}

En déduire, pour

n \in N^{*}

, une expression simple de :

U_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}

Quelle est la limite de

(U_{n})_{n \geq 1}

lorsque

n

tend vers

+ \infty

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78. $Produit infini \prod cos (x / 2^{k})$

Étudier la convergence du produit infini :

n \to + \infty lim k = 1 \prod n cos (\frac{x}{2 ^{k}})

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79. $Sommes de k \cdot k! variantes$

n

étant un entier naturel, au moins égal à 2, simplifier les sommes suivantes :a)

k = 0 \sum n k \cdot k!

k = 0 \sum n \frac{k}{( k + 1 )!}

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )}

k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 ) ( k + 2 )}

k = 1 \sum n ln (1 + \frac{2}{k ( k + 3 )})

k = 2 \sum n ln (1 - \frac{2}{k ( k + 1 )})

k = 1 \sum n \frac{sin \frac{1}{k ( k + 1 )}}{cos \frac{1}{k} cos \frac{1}{k + 1}}

k = 2 \sum n ln (\frac{ln ^{2} ( k + 1 )}{ln ( k ) ln ( k + 2 )})

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80. $Trigonométrie avec cos x = - 4/5$

Soit

x

un nombre réel.

1. Sachant que

cos (x) = - \frac{4}{5}

, calculer

cos (x - π)

cos (- π - x)

cos (x - 2 π)

cos (- x - 2 π)

.

2. On suppose de plus que

π \leq x < 2 π

. Calculer

sin (x)

tan (x)

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81. $cos (π /12) et sin (π /12)$

Déterminer la valeur de

cos (π /12)

sin (π /12)

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82. $Valeur de tan (π /8)$

Calculer

tan (π /8)

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83. $Formules en t = tan (x /2)$

Soit

x \in] - π, π [∖ {0}

. On pose

t = tan (x /2)

. Démontrer les formules suivantes :

cos (x) = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

sin (x) = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}

tan (x) = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} .

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84. $Calcul de cos (2 π /5)$

À partir de la somme des racines 5-ièmes de l'unité, calculer

cos (2 π /5)

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85. $Primitive de 1/ (1 + cos x)$

Calculer la primitive de la fonction

f (x) = \frac{1}{1 + cos x}

, c'est-à-dire trouver une fonction

F (x)

telle que

F^{'} (x) = \frac{1}{1 + cos x}

, en utilisant le changement de variable

t = tan \frac{x}{2}

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86. $Identités trigonométriques$

Démontrer les formules de trigonométrie suivantes :

1. pour tout

x \in / π Z

\frac{1 - cos x}{sin x} = tan (\frac{x}{2})

.

2. pour tout

x \in R

sin (x - \frac{2 π}{3}) + sin (x) + sin (x + \frac{2 π}{3}) = 0

.

3. Pour

x \in / \frac{π}{2} Z

\frac{1}{tan x} - tan x = \frac{2}{tan ( 2 x )}

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87. $Tangente de la somme a + b$

Soit

a, b

deux nombres réels tels que

a

b

a + b \in / \frac{π}{2} + π Z

.

1. Démontrer que

tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b} .

2. En déduire que si

x \in / \frac{π}{4} + π Z

, alors

tan (\frac{π}{4} - x) + tan (\frac{π}{4} + x) = \frac{2}{cos ( 2 x )} .

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88. $Inégalité ∣ sin (n x) ∣ \leq n ∣ sin x ∣$

Démontrer que, pour tout

n \geq 1

et tout

x \in R

∣ sin (n x) ∣ \leq n ∣ sin (x) ∣

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89. $Équations trigonométriques$

Résoudre les équations trigonométriques suivantes :

1.

cos x = 3 sin (x) + 1

cos x + sin x = 1 + tan x .

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90. $Système avec cos et sin$

Déterminer l'ensemble des couples

(x, y)

vérifiant les conditions suivantes :

⎩ ⎨ ⎧ 2 cos (x) + 3 sin (y) = 2 - \frac{3}{2} 4 cos (x) + sin (y) = 22 - \frac{1}{2} x \in [- π; π], y \in [- π; π]

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91. $Inéquations trigonométriques$

Résoudre sur

R

les inéquations suivantes :

1.

2 cos^{2} x - 9 cos x + 4 \geq 0

;

2.

cos 5 x + cos 3 x \geq cos x

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92. $Étude de sin x / (1 + sin x)$

On considère la fonction

f

définie par

f (x) = \frac{sin x}{1 + sin x} .

On note

Γ

sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Quel est le domaine de définition de

f

? Vérifier que

f

est

2 π

-périodique.

2. Comparer

f (π - x)

f (x)

. Que dire sur

Γ

?

3. Étudier les variations de

f

sur l'intervalle

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

, puis déterminer la limite de

f

- π /2

.

4. Construire

Γ

à l'aide des renseignements précédents.

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93. $Périodicité de cos x + cos (a x)$

Soit

a \in R

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = cos (x) + cos (a x)

. On veut démontrer que

f

est périodique si et seulement si

a \in Q

.

1. On suppose que

a = p / q \in Q

. Démontrer que

f

est périodique.

2. On suppose que

a \in / Q

. Résoudre l'équation

f (x) = 2

. En déduire que

f

n'est pas périodique.

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94. $Étude de cos (3 x /2 - π /4)$

On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = cos (\frac{3 x}{2} - \frac{π}{4}) .

1. Déterminer une période

T

f

.

2. Déterminer en quels points

f

atteint son maximum, son minimum, puis résoudre l'équation

f (x) = 0

.

3. Représenter graphiquement la fonction

f

sur l'intervalle

[- T, T]

.

4.

f

est-elle paire ? impaire ?

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95. $Période de ln ∣ sin (π x /2) ∣$

Soit

f

la fonction définie par

f (x) = ln (sin (\frac{π}{2} x))

. Quel est le domaine de définition de

f

? La fonction

f

est-elle paire? impaire? périodique?

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96. $Étude de cos (3 x) cos^{3} x$

On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = cos (3 x) cos^{3} x .

1. Pour

x \in R

, exprimer

f (- x)

f (x + π)

en fonction de

f (x)

. Sur quel intervalle

I

peut-on se contenter d'étudier

f

?

2. Vérifier que

f^{'} (x)

est du signe de

- sin (4 x)

, et en déduire le sens de variation de

f

sur

I

.

3. Tracer la courbe représentative de

f

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97. $Identité tanh et télescopage$

1. Sur quel intervalle a-t-on

tanh x = \frac{2}{tanh ( 2 x )} - \frac{1}{tanh x}

?

2. En déduire, pour

n \in N^{*}

la somme :

k = 0 \sum n - 1 2^{k} tanh (2^{k} x)

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98. $Sommes de cos et sin mixtes$

Soit

n \in N^{*}

x, y \in R

. Calculer les sommes suivantes :

1.

k = 0 \sum n (k n) cos (x + k y)

;

2.

S = k = 0 \sum n \frac{cos ( k x )}{( cos x ) ^{k}}

T = k = 0 \sum n \frac{sin ( k x )}{( cos x ) ^{k}}

, avec

x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z

;

3.

D_{n} = k = - n \sum n e^{ik x}

K_{n} = k = 0 \sum n D_{k}

, avec

x \neq = 0 + 2 k π, k \in Z

Voir le corrigé

1. On a :

k = 0 \sum n (k n) cos (x + k y) = ℜ (k = 0 \sum n (k n) e^{i x} e^{ik y})

= ℜ (e^{i x} k = 0 \sum n (k n) (e^{i y})^{k} 1^{n - k})

= ℜ (e^{i x} (1 + e^{i y})^{n})

= ℜ (e^{i x} e^{in y /2} (e^{- i y /2} + e^{i y /2})^{n})

= ℜ (e^{i (x + n y /2)} (2 cos (y /2))^{n})

= 2^{n} cos (x + n y /2) cos^{n} (y /2) .

2. On utilise

S + i T

qui se calcule comme une somme géométrique :

S + i T = k = 0 \sum n \frac{e ^{ik x}}{( cos x ) ^{k}} = k = 0 \sum n (\frac{e ^{i x}}{cos x})^{k} .

On distingue deux cas :

• Si

x = 0

[

π

], alors

\frac{e ^{i x}}{cos x} = 1

, et

S + i T = n + 1

. On en déduit

S = n + 1

T = 0

.

• Si

x \neq = 0

[

π

], alors

S + i T = \frac{1 - ( \frac{e ^{i x}}{c o s x} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{e ^{i x}}{c o s x}}

= \frac{1}{( cos x ) ^{n}} \times \frac{( cos x ) ^{n + 1} - e ^{i x (n + 1)}}{cos x - e ^{i x}}

= \frac{1}{( cos x ) ^{n}} \times \frac{cos ^{n + 1} ( x ) - cos (( n + 1 ) x ) - i sin (( n + 1 ) x )}{- i sin ( x )}

= \frac{sin (( n + 1 ) x )}{cos ^{n} ( x ) sin ( x )} + i \frac{cos ^{n + 1} ( x ) - cos (( n + 1 ) x )}{cos ^{n} x sin x} .

On en déduit

S = \frac{sin (( n + 1 ) x )}{cos ^{n} ( x ) sin ( x )}

T = \frac{cos ^{n + 1} ( x ) - cos (( n + 1 ) x )}{cos ^{n} x sin x} .

D_{n}

est une somme géométrique, de premier terme

e^{- in x}

et de raison

e^{i x} \neq = 1

. On obtient donc

D_{n} = \frac{e ^{- in x} - e ^{i (n + 1) x}}{1 - e ^{i x}} = \frac{e ^{i x /2}}{e ^{i x /2}} \times \frac{e ^{- i (n + 1/2) x} - e ^{i (n + 1/2) x}}{e ^{- i x /2} - e ^{i x /2}} .

On en déduit que

D_{n} = \frac{sin ( ( n + \frac{1}{2} ) x )}{sin ( x /2 )} .

Pour calculer

K_{n}

, une méthode (légèrement différente de celle de la question précédente) est d'écrire que

sin ((n + \frac{1}{2}) x) = ℑ (e^{i (n + 1/2) x})

, puis d'utiliser une somme géométrique. On a en effet :

K_{n} = \frac{1}{sin ( x /2 )} ℑ (k = 0 \sum n e^{i (k + 1/2) x})

= \frac{1}{sin ( x /2 )} ℑ (e^{i x /2} k = 0 \sum n e^{ik x})

= \frac{1}{sin ( x /2 )} ℑ (e^{i x /2} \frac{1 - e ^{i (n + 1) x}}{1 - e ^{i x}})

= \frac{1}{sin ( x /2 )} ℑ (e^{i x /2} \frac{e ^{i (n + 1) x /2} sin (( n + 1 ) x /2 )}{e ^{i x /2} sin ( x /2 )})

= \frac{sin ^{2} ( ( n + 1 ) x /2 )}{sin ^{2} ( x /2 )} .

99. $Système à 4 inconnues$

Résoudre

⎩ ⎨ ⎧ x - y + z + t = 0 x - 2 y + z - t = 1 x + y + 2 z + t = - 1

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100. $Système à 5 inconnues$

Résoudre

⎩ ⎨ ⎧ - 3 x_{1} + 9 x_{2} - 2 x_{3} + 3 x_{4} + 5 x_{5} = 4 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} - x_{4} - 2 x_{5} = 0 8 x_{1} - 24 x_{2} + 4 x_{3} - 12 x_{4} - 4 x_{5} = - 8 - x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{4} + 7 x_{5} = 10

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101. $Système paramétrique 3 \times 3$

Résoudre selon les valeurs des paramètres

a, b, c \in R

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = a - 2 x - 3 y + 3 z = b x + y - 2 z = c

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102. $Solutions du système selon a$

Pour tout

a \in R

on note

E_{a}

l'ensemble de solutions du système suivant.

⎩ ⎨ ⎧ - x + 2 y - z = 2 a x + 3 y - z = 3 5 x - 8 y + z = - 9

Pour quels

a \in R

est-ce que

E_{a}

est vide ? contient un unique élément ? contient une infinité d'éléments ?

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103. $Système 3 \times 3 résolution$

Résoudre le système

⎩ ⎨ ⎧ x - y = 2 2 x + 2 y - z = - 2 - x - y + 2 z = 4

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104. $Système avec coefficient 1/2$

Résoudre le système

⎩ ⎨ ⎧ x - y = 2 2 x + 2 y - z = - 2 - x - y + \frac{1}{2} z = 4

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105. $Compatibilité selon a$

Déterminer les valeurs de

a

pour lesqelles le système

⎩ ⎨ ⎧ x + y - z = 1 x + 2 y + a z = 2 2 x + a y + 2 z = 3

1. possède une seule solution,
2. ne possède pas de solution,
3. possède une infinité de solutions.

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106. $Systèmes linéaires divers$

Résoudre les systèmes

Q1-

⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y + 4 z = - 4 3 x + 2 y - 3 z = 17 5 x - 3 y + 8 z = - 10

Q2-

⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z = 1 3 x + 2 y - 3 z = 2 - x + 6 y - 11 z = - 3

Q3-

⎩ ⎨ ⎧ 2 y - z = - 2 x + y + z = 2 - 2 x + 4 y - 5 z = - 10

Q4-

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y - 5 z = 3 3 x + 2 y - 3 z = 0 x + y - 7 z = 2 2 x - 3 y + 8 z = 5

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75.Somme sur une colonne de Pascal et produits d'entiers consécutifs

76.Somme des harmoniques Hk​

77.Décomposition en éléments simples

78.Produit infini ∏cos(x/2k)

79.Sommes de k⋅k! variantes

80.Trigonométrie avec cosx=−4/5

81.cos(π/12) et sin(π/12)

82.Valeur de tan(π/8)

83.Formules en t=tan(x/2)

84.Calcul de cos(2π/5)

85.Primitive de 1/(1+cosx)

86.Identités trigonométriques

87.Tangente de la somme a+b

88.Inégalité ∣sin(nx)∣≤n∣sinx∣

89.Équations trigonométriques

90.Système avec cos et sin

91.Inéquations trigonométriques

92.Étude de sinx/(1+sinx)

93.Périodicité de cosx+cos(ax)

94.Étude de cos(3x/2−π/4)

95.Période de ln∣sin(πx/2)∣

96.Étude de cos(3x)cos3x

97.Identité tanh et télescopage

98.Sommes de cos et sin mixtes

99.Système à 4 inconnues

100.Système à 5 inconnues

101.Système paramétrique 3×3

102.Solutions du système selon a

103.Système 3×3 résolution

104.Système avec coefficient 1/2

105.Compatibilité selon a

106.Systèmes linéaires divers

75. $Somme sur une colonne de Pascal et produits d'entiers consécutifs$

76. $Somme des harmoniques H_{k}$

77. $Décomposition en éléments simples$

78. $Produit infini \prod cos (x / 2^{k})$

79. $Sommes de k \cdot k! variantes$

80. $Trigonométrie avec cos x = - 4/5$

81. $cos (π /12) et sin (π /12)$

82. $Valeur de tan (π /8)$

83. $Formules en t = tan (x /2)$

84. $Calcul de cos (2 π /5)$

85. $Primitive de 1/ (1 + cos x)$

86. $Identités trigonométriques$

87. $Tangente de la somme a + b$

88. $Inégalité ∣ sin (n x) ∣ \leq n ∣ sin x ∣$

89. $Équations trigonométriques$

90. $Système avec cos et sin$

91. $Inéquations trigonométriques$

92. $Étude de sin x / (1 + sin x)$

93. $Périodicité de cos x + cos (a x)$

94. $Étude de cos (3 x /2 - π /4)$

95. $Période de ln ∣ sin (π x /2) ∣$

96. $Étude de cos (3 x) cos^{3} x$

97. $Identité tanh et télescopage$

98. $Sommes de cos et sin mixtes$

99. $Système à 4 inconnues$

100. $Système à 5 inconnues$

101. $Système paramétrique 3 \times 3$

102. $Solutions du système selon a$

103. $Système 3 \times 3 résolution$

104. $Système avec coefficient 1/2$

105. $Compatibilité selon a$

106. $Systèmes linéaires divers$