Exercices de Espaces préhilbertiens réels en maths Sup (prépa)

1. $Produit scalaire sur R_{n} [X]$

2. $Produit scalaire à poids sur C$

Montrer que

φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) (1 - t^{2}) d t

définit un produit scalaire sur l'espace

E = C ([- 1; 1], R)

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3. $Produit scalaire sur C^{1}$

Soit

E = C^{1} ([0; 1], R)

. Pour

f, g \in E

, on pose

φ (f, g) = f (0) g (0) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t .

Montrer que

φ

est un produit scalaire sur

E

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4. $Equation (a ∣ x) = λ$

Soit

E

espace vectoriel muni d'un produit scalaire

(\cdot ∣ \cdot)

.
Pour

a \in E

non nul et

λ \in R

, résoudre l'équation

(a ∣ x) = λ

d'inconnue

x \in E

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5. $Famille unitaire et base ON$

Soit

(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})

une famille de vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien réel

E

telle que

\forall x \in E, ∥ x ∥^{2} = i = 1 \sum n (e_{i} ∣ x)^{2} .

Montrer que

(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})

constitue une base orthonormée de

E

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6. $Isométrie surjective est linéaire$

Soient

E

un espace préhilbertien réel et

f : E \to E

une application surjective telle que pour tout

x, y \in E

, on ait

(f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) .

Montrer que

f

est un endomorphisme de

E

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7. $Inversion et norme$

Soient

x, y

deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel. Établir

\frac{x}{∥ x ∥ ^{2}} - \frac{y}{∥ y ∥ ^{2}} = \frac{∥ x - y ∥}{∥ x ∥∥ y ∥} .

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8. $Endomorphisme symétrique$

Soient

E

un espace vectoriel euclidien et

f \in L (E)

tel que

\forall x, y \in E, (f (x) ∣ y) = (x ∣ f (y)) .

Q1-Montrer que la matrice de

f

dans une base orthonormée

B = (e_{1}, \dots, e_{n})

est symétrique.

Q2-Montrer que le noyau et l'image de

f

sont supplémentaires et orthogonaux.

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9. $Im et ker d'un end. symétrique$

Soit

f

un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien

E

tel que

\forall x, y \in E, (f (x) ∣ y) = (x ∣ f (y)) .

Montrer

Im f = (ker f)^{⊥}

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10. $Endomorphisme de trace nulle$

Soit

(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)

un espace euclidien non nul et

u \in L (E)

tel que

tr (u) = 0

Q1-Montrer qu'il existe

x \in E ∖ {0}

tel que

⟨ u (x), x ⟩ = 0

Q2-Montrer qu'il existe une base orthonormée de

E

dans laquelle la matrice de

u

est à diagonale nulle.

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11. $Trace et base orthonormée$

Soit

v

un endomorphisme d'un espace euclidien de dimension

n

Q1-Montrer que la quantité

S = i = 1 \sum n ⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩

ne dépend pas de la base orthonormée

(e_{1}, \dots, e_{n})

E

choisie.

Q2-Montrer que la quantité

T = i = 1 \sum n j = 1 \sum n ⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩^{2}

ne dépend pas des bases orthonormées

(e_{1}, \dots, e_{n})

(f_{1}, \dots, f_{n})

E

choisies.

Q3-Que vaut

T

lorsque

v

est un projecteur orthogonal de rang

r

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12. $Inégalité Cauchy-Schwarz discrète$

Soient

x_{1}, \dots, x_{n} > 0

tels que

x_{1} + \dots + x_{n} = 1

.
Montrer que

k = 1 \sum n \frac{1}{x _{k}} \geq n^{2} .

Préciser les cas d'égalité.

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13. $Inégalité L^{2} pour fonctions > 0$

On considère

C^{0} ([a; b], R)

muni du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t .

Pour

f

strictement positive sur

[a; b]

on pose

ℓ (f) = \int_{a}^{b} f (t) d t \int_{a}^{b} \frac{d t}{f ( t )} .

Montrer que

ℓ (f) \geq (b - a)^{2}

.
Étudier les cas d'égalités.

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14. $Inégalité entre moments I_{n}$

Soit

f : [0; 1] \to R

continue et positive. On pose

I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t

.
Montrer

I_{n + p}^{2} \leq I_{2 n} I_{2 p}

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15. $Inégalité sur tr (A B + B A)^{2}$

Soient

A, B \in S_{n} (R)

. Montrer

tr (A B + B A)^{2} \leq 4 tr (A^{2}) tr (B^{2}) .

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16. $Inversibilité via Cauchy-Schwarz$

Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

une matrice réelle vérifiant

\forall i \in {1, \dots, n}, a_{i, i} \geq 1 et i = 1 \sum n j = 1 j \neq = i \sum n a_{i, j}^{2} < 1.

Q1-Montrer

\forall X \in R^{n} ∖ {0},^{t} X A X > 0

Q2-En déduire que la matrice

A

est inversible.

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17. $Caractérisation de l'orthogonalité$

Soient

E

un espace euclidien et

x, y \in E

. Montrer que

x

y

sont orthogonaux si, et seulement si,

\forall λ \in R, ∥ x + λ y ∥ \geq ∥ x ∥.

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18. $Orthogonal d'une réunion de sev$

Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel euclidien

E

.
Exprimer

(F \cup G)^{⊥}

en fonction de

F^{⊥}

G^{⊥}

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19. $Produit scalaire canonique sur M_{n}$

On munit

M_{n} (R)

du produit scalaire défini par

(A ∣ B) = tr (^{t} A B) .

Q1-Montrer que la base canonique

(E_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

M_{n} (R)

est orthonormée.

Q2-Observer que les espaces

S_{n} (R)

A_{n} (R)

sont supplémentaires orthogonaux.

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20. $Gram-Schmidt dans R^{3}$

Dans

R^{3}

muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser en suivant le procédé de Schmidt, la famille

(u, v, w)

avec

u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 1), w = (- 1, 1, 0) .

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21. $Matrice de projection orthogonale$

On considère un espace vectoriel euclidien

E

muni d'une base orthonormée

B = (i, j, k)

.
Former la matrice dans

B

de la projection orthogonale sur le plan

P

d'équation

x + y + z = 0

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22. $Matrice de symétrie orthogonale$

On considère un espace vectoriel euclidien

E

muni d'une base orthonormée

B = (i, j, k)

.
Former la matrice dans

B

de la symétrie orthogonale sur le plan

P

d'équation

x = z

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23. $Proj. orth. dans R^{4}$

On considère

R^{4}

muni de sa structure euclidienne canonique et

F

le sous-espace vectoriel de

R^{4}

défini par

F = {(x, y, z, t) \in R^{4} ∣ x + y + z + t = x - y + z - t = 0} .

Q1-Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de

F

Q2-Écrire la matrice dans la base canonique de

R^{4}

de la projection orthogonale sur

F

Q3-Écrire la matrice dans la base canonique de

R^{4}

de la symétrie orthogonale par rapport à

F

Q4-Calculer

d (u, F)

où

u = (1, 2, 3, 4)

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24. $Vérification d'un proj. orthogonal$

Soit

E

un espace vectoriel euclidien muni d'une base orthonormée

B = (i, j, k)

.
Soit

p \in L (E)

déterminé par

Mat_{B} (p) = \frac{1}{6} 5 - 2 1 - 2 22 125 .

Montrer que

p

est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera une équation.

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25. $Réflexion échangeant deux vecteurs$

Soient

a

b

deux vecteurs distincts d'un espace vectoriel euclidien

E

tels que

∥ a ∥ = ∥ b ∥

.
Montrer qu'il existe une unique réflexion échangeant

a

b

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26. $Hyperplan contenant la bissectrice$

Soit

E

un espace vectoriel euclidien de dimension supérieure à

2

.
Soient

x

y

deux vecteurs distincts de

E

tels que

(x ∣ y) = ∥ y ∥^{2}

.
Montrer qu'il existe un unique hyperplan

H

E

tel que

y = p_{H} (x)

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27. $Fonctions paires, impaires et symétrie orthogonale$

Soit

E = C ([- 1; 1], R)

. Pour

f, g \in E

, on pose

φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t

Q1-Montrer que

φ

est un produit scalaire sur

E

Q2-On note

P

I

les sous-ensembles de

E

formés des fonctions paires et impaires. Montrer que

I = P^{⊥}

Q3-Soit

ψ : f \mapsto \hat{f}

avec

\hat{f} : x \mapsto f (- x)

. Montrer que

ψ

est la symétrie orthogonale par rapport à

P

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28. $Commutativité de deux réflexions$

Soit

E

un espace vectoriel euclidien,

H

H^{'}

deux hyperplans de

E

.
On note

s

s^{'}

les réflexions par rapport à

H

H^{'}

.
À quelle condition

s

s^{'}

commutent-elles et préciser alors

s \circ s^{'}

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29. $Projeté orthogonal et colinéarité$

Soient

x

y

deux vecteurs non nuls d'un espace euclidien

E

.
À quelle condition sur

x

y

, le projeté orthogonal du vecteur

x

sur la droite

Vect (y)

est-il égal au projeté orthogonal de

y

sur la droite

Vect (x)

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30. $Matrice orthogonale 3 \times 3$

Montrer que la matrice

M = \frac{1}{3} 1 - 2 - 2 - 2 1 - 2 - 2 - 2 1

est orthogonale.
Calculer

det (M)

. Qu'en déduire d'un point de vue géométrique ?
Donner les caractéristiques géométriques de

M

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31. $Décomposition dans une base ON$

Soient

x

un vecteur d'un espace euclidien

E

de dimension

n \geq 1

(λ_{1}, \dots, λ_{n})

une famille de réels.
À quelle condition existe-t-il une base orthonormale de

E

telle que

(λ_{1}, \dots, λ_{n})

soit la famille des coordonnées de

x

dans cette base ?

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32. $Polynômes de Legendre sur [- 1, 1]$

On munit

E = C ([- 1; 1], R)

du produit scalaire

(f ∣ g) = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x

. Pour

i \in {0, 1, 2, 3}

, on note

P_{i} (x) = x^{i}

Q1-Montrer que la famille

(P_{0}, P_{1}, P_{2})

est libre mais pas orthogonale.

Q2-Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée

(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2})

F = Vect (P_{0}, P_{1}, P_{2})

à partir de la famille

(P_{0}, P_{1}, P_{2})

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33. $Prod. scal. discret sur R_{2} [X]$

On travaille dans

R_{2} [X]

Q1-Montrer que

(P ∣ Q) = P (0) Q (0) + P (1) Q (1) + P (2) Q (2)

définit un produit scalaire sur

R_{2} [X]

Q2-Calculer

d (X^{2}, P)

où

P = {a X + b ∣ (a, b) \in R^{2}}

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34. $Distance de M à Vect (I_{n}, J)$

On munit

M_{n} (R)

du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique, dont on note

∥ \cdot ∥

la norme associée. Soit

J

la matrice de

M_{n} (R)

dont tous les coefficients sont égaux à

1

.
Si

M \in M_{n} (R)

, calculer

(a, b) \in R^{2} in f ∥ M - a I_{n} - b J ∥

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35. $Projection sur S_{n} (R)$

Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n} \in M_{n} (R)

. Calculer

M \in S_{n} (R) in f (1 \leq i, j \leq n \sum (a_{i, j} - m_{i, j})^{2}) .

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36. $Orthogonalité S_{n} et A_{n}$

On travaille dans

M_{n} (R)

Q1-Montrer que

(A ∣ B) = tr (^{t} A B)

définit un produit scalaire sur

M_{n} (R)

Q2-Montrer que

S_{n} (R)

A_{n} (R)

sont supplémentaires et orthogonaux. Exprimer la distance de

M = 101212323 \in M_{3} (R)

S_{3} (R)

Q3-Montrer que l'ensemble

H

des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de

M_{n} (R)

et donner sa dimension. Donner la distance à

H

de la matrice

J

dont tous les coefficients valent

1

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37. $Meilleure approx dans vect(1,e^x,x)$

Soit

E

l'espace des fonctions continues sur

[0, 1]

engendré par

f_{1} (x) = 1

f_{2} (x) = e^{x}

f_{3} (x) = x

Q1-Montrer que

(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

définit un produit scalaire sur

E

Q2-Pour quels réels

a

b

la distance de

f_{2} (x) = e^{x}

g (x) = a x + b

est-elle minimale ?

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38. $Meilleure approx de X^{3}$

Soient

n

un entier supérieur à

3

E = R_{n} [X]

. On munit

E

du produit scalaire

φ (P, Q) = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t

Q1-Montrer que

φ

définit bien un produit scalaire sur

E

Q2-Calculer

(a, b, c) \in R^{3} in f \int_{- 1}^{1} (t^{3} - (a t^{2} + b t + c))^{2} d t .

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39. $Minimum d'une intégrale quadratique$

Calculer le minimum de

\int_{0}^{1} (t^{3} - a t^{2} - b t - c)^{2} d t

pour

a, b, c

parcourant

R

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40. $Déterminant de Gram$

(Déterminant de Gram) Soit

E

un espace préhilbertien réel. Pour

(u_{1}, \dots, u_{p})

famille de vecteurs de

E

, on note

G (u_{1}, \dots, u_{p})

la matrice de

M_{p} (R)

dont le coefficient d'indice

(i, j)

est

⟨ u_{i}, u_{j} ⟩

Q1-Montrer que si la famille

(u_{1}, \dots, u_{p})

est liée alors

det G (u_{1}, \dots, u_{p}) = 0

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1.Produit scalaire sur Rn​[X]

2.Produit scalaire à poids sur C

3.Produit scalaire sur C1

4.Equation (a∣x)=λ

5.Famille unitaire et base ON

6.Isométrie surjective est linéaire

7.Inversion et norme

8.Endomorphisme symétrique

9.Im et ker d'un end. symétrique

10.Endomorphisme de trace nulle

11.Trace et base orthonormée

12.Inégalité Cauchy-Schwarz discrète

13.Inégalité L2 pour fonctions >0

14.Inégalité entre moments In​

15.Inégalité sur tr(AB+BA)2

16.Inversibilité via Cauchy-Schwarz

17.Caractérisation de l'orthogonalité

18.Orthogonal d'une réunion de sev

19.Produit scalaire canonique sur Mn​

20.Gram-Schmidt dans R3

21.Matrice de projection orthogonale

22.Matrice de symétrie orthogonale

23.Proj. orth. dans R4

24.Vérification d'un proj. orthogonal

25.Réflexion échangeant deux vecteurs

26.Hyperplan contenant la bissectrice

27.Fonctions paires, impaires et symétrie orthogonale

28.Commutativité de deux réflexions

29.Projeté orthogonal et colinéarité

30.Matrice orthogonale 3×3

31.Décomposition dans une base ON

32.Polynômes de Legendre sur [−1,1]

33.Prod. scal. discret sur R2​[X]

34.Distance de M à Vect(In​,J)

35.Projection sur Sn​(R)

36.Orthogonalité Sn​ et An​

37.Meilleure approx dans vect(1,e^x,x)

38.Meilleure approx de X3

39.Minimum d'une intégrale quadratique

40.Déterminant de Gram

1. $Produit scalaire sur R_{n} [X]$

2. $Produit scalaire à poids sur C$

3. $Produit scalaire sur C^{1}$

4. $Equation (a ∣ x) = λ$

5. $Famille unitaire et base ON$

6. $Isométrie surjective est linéaire$

7. $Inversion et norme$

8. $Endomorphisme symétrique$

9. $Im et ker d'un end. symétrique$

10. $Endomorphisme de trace nulle$

11. $Trace et base orthonormée$

12. $Inégalité Cauchy-Schwarz discrète$

13. $Inégalité L^{2} pour fonctions > 0$

14. $Inégalité entre moments I_{n}$

15. $Inégalité sur tr (A B + B A)^{2}$

16. $Inversibilité via Cauchy-Schwarz$

17. $Caractérisation de l'orthogonalité$

18. $Orthogonal d'une réunion de sev$

19. $Produit scalaire canonique sur M_{n}$

20. $Gram-Schmidt dans R^{3}$

21. $Matrice de projection orthogonale$

22. $Matrice de symétrie orthogonale$

23. $Proj. orth. dans R^{4}$

24. $Vérification d'un proj. orthogonal$

25. $Réflexion échangeant deux vecteurs$

26. $Hyperplan contenant la bissectrice$

27. $Fonctions paires, impaires et symétrie orthogonale$

28. $Commutativité de deux réflexions$

29. $Projeté orthogonal et colinéarité$

30. $Matrice orthogonale 3 \times 3$

31. $Décomposition dans une base ON$

32. $Polynômes de Legendre sur [- 1, 1]$

33. $Prod. scal. discret sur R_{2} [X]$

34. $Distance de M à Vect (I_{n}, J)$

35. $Projection sur S_{n} (R)$

36. $Orthogonalité S_{n} et A_{n}$

37. $Meilleure approx dans vect(1,e^x,x)$

38. $Meilleure approx de X^{3}$

39. $Minimum d'une intégrale quadratique$

40. $Déterminant de Gram$