Exercices de Espaces préhilbertiens réels en maths Sup (prépa) (page 3)

82. $Posé à Centrale$

Soit

E = C ([0, 1], R)

. Pour tout

(f, g) \in E^{2}

, on pose

⟨ f ∣ g ⟩ = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t .

Q1-Prouver que

⟨ \cdot ∣ \cdot ⟩

est un produit scalaire sur

E

Q2-On pose

F = {f \in E ∣ f (0) = 0}

. Soit

f \in F^{⊥}

; montrer que

f^{2} \in F^{⊥}

, puis en déduire que

F^{⊥} = {0}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

83. $Transposition est symétrie orth.$

Montrer que

s : {M_{n} (R) ⟶ M_{n} (R) M ⟼ M^{⊤}

est une symétrie orthogonale pour le produit scalaire sur

M_{n} (R)

défini par

⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)

pour

A, B \in M_{n} (R)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

84. $Endomorphisme autoadjoint$

Soient

E

un espace euclidien et

f \in L (E)

tel que

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ f (x), y ⟩ = ⟨ x, f (y)⟩

Q1-Soit

B

une base orthonormale de

E

. Montrer que la matrice de

f

dans la base

B

est symétrique.

Q2-Montrer que

ker f = (Im f)^{⊥}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

85. $Orthogonaux union et intersection$

Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien réel

E

Q1-Montrer que

F \subset G ⟹ G^{⊥} \subset F^{⊥}

et que, si

F

G

sont de dimension finie,

G^{⊥} \subset F^{⊥} ⟹ F \subset G

Q2-Montrer que

(F + G)^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥}

Q3-Montrer que

F^{⊥} + G^{⊥} \subset (F \cap G)^{⊥}

et que, si

E

est de dimension finie,

(F \cap G)^{⊥} = F^{⊥} + G^{⊥}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

86. $Matrice proj. par vecteur unitaire$

Soit

u

un vecteur unitaire d'un espace euclidien

E

. On note

U

le vecteur colonne représentant

u

dans une base orthonormée

B

E

. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur

vect (u)

dans

B

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

87. $Caractérisations des proj. orth.$

Soient

E

un espace euclidien et

p

une projection de

E

. Établir l'équivalence des trois propriétés suivantes :

Q1-

p

est orthogonale ;

Q2-

\forall x, y \in E, ⟨ p (x) ∣ y ⟩ = ⟨ x ∣ p (y)⟩

;

Q3-

\forall x \in E, ∥ p (x) ∥ \leq ∥ x ∥

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

88. $Calcul d'une projection orthogonale$

On munit

R^{4}

de son produit scalaire usuel. Donner la matrice dans la base canonique du projecteur orthogonal sur le sous-espace vectoriel

F

d'équations,

{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

89. $Un calcul de distance$

Soit

E = R_{2} [X]

muni de sa structure euclidienne canonique (i.e. la base canonique est orthonormée). On note

F

le sous-espace vectoriel de

E

des polynômes s'annulant en

1

Q1-Déterminer une base de

F

Q2-Calculer

δ = P \in F in f ∥ X - P ∥

Voir le corrigé

F

est l'ensemble des polynomes de

E = R_{2} [X]

s'annulant en

1

. Comme

P (1) = 0

Q (1) = 0

impliquent

(P + Q) (1) = 0

(λ P) (1) = 0

F

est un sous-espace vectoriel.

dim F = 2

(noyau d'une forme lineaire non nulle dans

E

de dim 3). Base :

(X - 1, X^{2} - 1) = (X - 1, (X - 1) (X + 1))

. Ou plus simplement :

P \in F ⟺ (X - 1) ∣ P

, donc

P = (X - 1) (a X + b)

. Base :

((X - 1) X, X - 1) = (X^{2} - X, X - 1)

.

2. La base canonique de

E

est

(1, X, X^{2})

qui est orthonormee pour le produit scalaire canonique. La distance de

X

F

est

∥ X - p_{F} (X) ∥

p_{F}

est la projection orthogonale sur

F

.

On a

F^{⊥}

: on cherche le polynome

P^{*} \in E

tel que

E = F \oplus F^{⊥}

p_{F} (X) =

la projection. Alternativement, la distance est

∥ X - p_{F} (X) ∥

p_{F} (X)

est le meilleur approximant de

X

dans

F

.

BON de

F

: orthonormons

(X^{2} - X, X - 1)

∥ X - 1 ∥^{2} = ⟨ X - 1, X - 1 ⟩ = ⟨ X^{2} - 2 X + 1, 1 ⟩

... Avec la base canonique orthonormee

(1, X, X^{2})

: les coordonnees de

X - 1

sont

(- 1, 1, 0)

et de

X^{2} - X

sont

(0, - 1, 1)

∥ X - 1 ∥^{2} = (- 1)^{2} + 1^{2} = 2

e_{1} = \frac{1}{2} (- 1, 1, 0) \leftrightarrow \frac{X - 1}{2}

v = X^{2} - X - ⟨ X^{2} - X, e_{1} ⟩ e_{1}

⟨ X^{2} - X, e_{1} ⟩ = \frac{1}{2} ⟨(0, - 1, 1), (- 1, 1, 0)⟩ = \frac{1}{2} (- 1) = - \frac{1}{2}

. Donc

v = (0, - 1, 1) - (- \frac{1}{2}) \frac{1}{2} (- 1, 1, 0) = (0, - 1, 1) + \frac{1}{2} (- 1, 1, 0) = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)

∥ v ∥^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}

e_{2} = \frac{2}{3} v = \frac{2}{3} (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)

p_{F} (X) = ⟨ X, e_{1} ⟩ e_{1} + ⟨ X, e_{2} ⟩ e_{2}

X \leftrightarrow (0, 1, 0)

⟨(0, 1, 0), e_{1} ⟩ = \frac{1}{2}

⟨(0, 1, 0), e_{2} ⟩ = \frac{2}{3} (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{6}

p_{F} (X) \leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (- 1, 1, 0) + (- \frac{1}{6}) \cdot \frac{2}{3} (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1) = \frac{1}{2} (- 1, 1, 0) + (- \frac{1}{3}) (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1)

= (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) + (\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, - \frac{1}{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, - \frac{1}{3})

X - p_{F} (X) \leftrightarrow (0, 1, 0) - (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

δ = ∥ X - p_{F} (X) ∥ = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

90. $Meilleure approx de sin dans P_{2}$

Calculer le minimum de

φ : ⎩ ⎨ ⎧ R^{2} \to R (a, b) \mapsto \int_{0}^{π} (sin x - a x^{2} - b x)^{2} d x

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

91. $Projection orth. et matrice A$

Soient

m, n \in N^{*}

. On munit

M_{m, 1} (R)

(resp.

M_{n, 1} (R)

) du produit scalaire

(X, Y) \mapsto X^{⊤} Y

. On se donne

A \in M_{m, n} (R)

B \in M_{m, 1} (R)

. On pose

E = {∥ A X - B ∥^{2}, X \in M_{n, 1} (R)}

K = in f E

Q1-Justifier l'existence de

K

Q2-On considère le système linéaire

(S) : A X = B

. On appelle pseudo-solution de

S

tout élément

Y

M_{n, 1} (R)

tel que

∥ A Y - B ∥^{2} = K

. Montrer que si

(S)

admet une solution, les pseudo-solutions de

(S)

sont les solutions de

(S)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

92. $ENS MP 2010$

Soient

E

un espace euclidien et

x_{1}, \dots, x_{p}

des vecteurs de

E

. Pour

x \in E

, on pose

f (x) = i = 1 \sum p ∥ x - x_{i} ∥^{2}

. Montrer que

f

atteint son minimum en un unique point que l'on précisera.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

93. $Barycentre minimise \sum ∥ x - x_{i} ∥^{2}$

Soient

E

un espace euclidien et

x_{1}, \dots, x_{p}

des vecteurs de

E

. Pour

x \in E

, on pose

f (x) = i = 1 \sum p ∥ x - x_{i} ∥^{2}

. Montrer que

f

atteint son minimum en

m = \frac{1}{p} i = 1 \sum p x_{i}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

94. $Déterminants de Gram$

Soit

E

un espace euclidien. À une famille

(x_{1}, \dots, x_{p})

p

vecteurs de

E

, on associe la matrice

G_{p} (x_{1}, \dots, x_{p}) = ((x_{i} ∣ x_{j}))_{1 \leq i, j \leq p}

Q1-Montrer que la famille

(x_{1}, \dots, x_{p})

est liée si et seulement si

det G_{p} (x_{1}, \dots, x_{p}) = 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

95. $Famille obtuse dans un espace eucl.$

Soient

E

un espace euclidien,

p

un entier naturel supérieur ou égal à

2

x_{1}, \dots, x_{p}

des vecteurs de

E

tels que

\forall i, j \in [[1, p]], i \neq = j ⟹ ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ < 0

Q1-Soient

α_{1}, \dots, α_{p - 1}

des réels tels que

i = 1 \sum p - 1 α_{i} x_{i} = 0

. On pose

I = {i \in [[1, p - 1]] ∣ α_{i} > 0}

J = {j \in [[1, p - 1]] ∣ α_{j} < 0}

. En considérant

u = i \in I \sum α_{i} x_{i}

v = j \in J \sum α_{j} x_{j}

, montrer que l'un des ensembles

I

J

est vide.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

96. $Déterminants de Gram (bis)$

Soit

E

un espace euclidien. À toute famille

(x_{1}, \dots, x_{p})

p

vecteurs de

E

, on associe la matrice

G (x_{1}, \dots, x_{p}) = (⟨ x_{i}, x_{j} ⟩)_{1 \leq i, j \leq p}

Q1-Soit

B = (e_{1}, \dots, e_{n})

une base orthonormée de

F = vect (x_{1}, \dots, x_{p})

. On note

A = mat_{B} (x_{1}, \dots, x_{p})

. Montrer que

G (x_{1}, \dots, x_{p}) = A^{⊤} A

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

97. $Polynômes de Legendre (1 - X^{2})^{n}$

On pose

Q_{n} = (1 - X^{2})^{n} = (1 + X)^{n} (1 - X)^{n}

pour

n \in N

Q1-Montrer que

φ : (P, Q) \mapsto \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t

est un produit scalaire sur

R_{n} [X]

. On notera

φ (P, Q) = ⟨ P, Q ⟩

par la suite.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

98. $Endomorphismes antisymétriques$

Soit

E

un espace euclidien de dimension

n \geq 2

. Une application

u : E \to E

est dite antisymétrique si

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ x, u (y)⟩ + ⟨ y, u (x)⟩ = 0

On note

A (E)

l'ensemble des applications antisymétriques de

E

Q1-Soit

u \in A (E)

. Montrer que

u

est linéaire.

Q2-Soit

u : E \to E

. Démontrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
(i)

u

est linéaire et

\forall x \in E, ⟨ u (x), x ⟩ = 0

;
(ii)

u

est antisymétrique ;
(iii)

u

est linéaire et sa matrice dans une base orthonormée est antisymétrique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

99. $Matrice d'un proj. orthogonal$

Soient

E

un espace euclidien,

p

une projection orthogonale et

B

une base orthonormale de

E

. Montrer que la matrice

A

p

dans la base

B

est symétrique.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

100. $Rang pair d'une matrice antisymét.$

Montrer que le rang d'une matrice antisymétrique réelle est pair.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

101. $Noyau orthogonal et image$

Soient

E

un espace euclidien et

u \in L (E)

tel que

\forall x \in E, ⟨ u (x) ∣ x ⟩ = 0.

Montrer que

(ker (u))^{⊥} = Im (u)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

102. $Hyperplan défini par prod. scalaire$

Soit

E

un espace vectoriel euclidien de dimension

n

n

étant un entier naturel supérieur ou égal à

2

. Soit

(a, b)

une famille libre de

E

. Soit

f

l'application

x ⟼ ⟨ a ∣ x ⟩ b + ⟨ b ∣ x ⟩ a .

Q1-Montrer que

f \in L (E)

et que

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ f (x) ∣ y ⟩ = ⟨ x ∣ f (y)⟩

Q2-

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

103. $Endomorphismes 1-lipschitziens$

Soient

E

un espace euclidien et

u \in L (E)

tel que

\forall x \in E, ∥ u (x) ∥ \leq ∥ x ∥.

Établir que

E = ker (u - id_{E}) \oplus Im (u - id_{E})

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

104. $Angle constant entre n + 1 vecteurs$

Soit

E

un espace euclidien de dimension

n

u_{1}, \dots, u_{n + 1}

des vecteurs non nuls de

E

faisant un angle constant

α_{n}

(non nul) deux à deux. Que vaut

α_{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

105. $Rang de A^{⊤} A et A A^{⊤}$

Soit

A \in M_{n, p} (R)

. Montrer que

rg (A^{⊤} A) = rg (A A^{⊤}) = rg A

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

106. $Prod. scal. coefficients dans R [X]$

On munit

R [X]

du produit scalaire

⟨ P, Q ⟩ = n = 0 \sum + \infty a_{n} b_{n}

où

P = \sum a_{n} X^{n}

Q = \sum b_{n} X^{n}

Q1-Montrer qu'on définit un produit scalaire sur

R [X]

en posant

⟨ P, Q ⟩ = n = 0 \sum + \infty a_{n} b_{n}

pour

P = n = 0 \sum + \infty a_{n} X^{n}

Q = n = 0 \sum + \infty b_{n} X^{n}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

Exercices de Espaces préhilbertiens réels, Sup (prépa) (page 3)

81.

82. $Posé à Centrale$

83. $Transposition est symétrie orth.$

84. $Endomorphisme autoadjoint$

85. $Orthogonaux union et intersection$

86. $Matrice proj. par vecteur unitaire$

87. $Caractérisations des proj. orth.$

88. $Calcul d'une projection orthogonale$

89. $Un calcul de distance$

90. $Meilleure approx de sin dans P_{2}$

91. $Projection orth. et matrice A$

92. $ENS MP 2010$

93. $Barycentre minimise \sum ∥ x - x_{i} ∥^{2}$

94. $Déterminants de Gram$

95. $Famille obtuse dans un espace eucl.$

96. $Déterminants de Gram (bis)$

97. $Polynômes de Legendre (1 - X^{2})^{n}$

98. $Endomorphismes antisymétriques$

99. $Matrice d'un proj. orthogonal$

100. $Rang pair d'une matrice antisymét.$

101. $Noyau orthogonal et image$

102. $Hyperplan défini par prod. scalaire$

103. $Endomorphismes 1-lipschitziens$

104. $Angle constant entre n + 1 vecteurs$

105. $Rang de A^{⊤} A et A A^{⊤}$

106. $Prod. scal. coefficients dans R [X]$

81.

82.Posé à Centrale

83.Transposition est symétrie orth.

84.Endomorphisme autoadjoint

85.Orthogonaux union et intersection

86.Matrice proj. par vecteur unitaire

87.Caractérisations des proj. orth.

88.Calcul d'une projection orthogonale

89.Un calcul de distance

90.Meilleure approx de sin dans P2​

91.Projection orth. et matrice A

92.ENS MP 2010

93.Barycentre minimise ∑∥x−xi​∥2

94.Déterminants de Gram

95.Famille obtuse dans un espace eucl.

96.Déterminants de Gram (bis)

97.Polynômes de Legendre (1−X2)n

98.Endomorphismes antisymétriques

99.Matrice d'un proj. orthogonal

100.Rang pair d'une matrice antisymét.

101.Noyau orthogonal et image

102.Hyperplan défini par prod. scalaire

103.Endomorphismes 1-lipschitziens

104.Angle constant entre n+1 vecteurs

105.Rang de A⊤A et AA⊤

106.Prod. scal. coefficients dans R[X]

82. $Posé à Centrale$

83. $Transposition est symétrie orth.$

84. $Endomorphisme autoadjoint$

85. $Orthogonaux union et intersection$

86. $Matrice proj. par vecteur unitaire$

87. $Caractérisations des proj. orth.$

88. $Calcul d'une projection orthogonale$

89. $Un calcul de distance$

90. $Meilleure approx de sin dans P_{2}$

91. $Projection orth. et matrice A$

92. $ENS MP 2010$

93. $Barycentre minimise \sum ∥ x - x_{i} ∥^{2}$

94. $Déterminants de Gram$

95. $Famille obtuse dans un espace eucl.$

96. $Déterminants de Gram (bis)$

97. $Polynômes de Legendre (1 - X^{2})^{n}$

98. $Endomorphismes antisymétriques$

99. $Matrice d'un proj. orthogonal$

100. $Rang pair d'une matrice antisymét.$

101. $Noyau orthogonal et image$

102. $Hyperplan défini par prod. scalaire$

103. $Endomorphismes 1-lipschitziens$

104. $Angle constant entre n + 1 vecteurs$

105. $Rang de A^{⊤} A et A A^{⊤}$

106. $Prod. scal. coefficients dans R [X]$