Exercices de Espaces préhilbertiens réels en maths Sup (prépa) (page 2)

42. $Produit scalaire par évaluation$

Soient

n \in N

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}

des réels deux à deux distincts et

E = R_{n} [X]

Q1-Montrer que l'on définit un produit scalaire sur

E

en posant, pour tous

P, Q \in E

(P ∣ Q) = k = 0 \sum n P (a_{k}) Q (a_{k}) .

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43. $Supplémentaires orthogonaux$

Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels d'un espace euclidien

E

.
Montrer que

F

G

sont supplémentaires orthogonaux si, et seulement si,

∥ x ∥^{2} = d (x, F)^{2} + d (x, G)^{2}

pour tout

x \in E

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44. $Isométrie : norme ou prod. scalaire$

Soit

f \in L (E)

. Montrer que

\forall x, y \in E, (f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) ⟺ \forall x \in E, ∥ f (x) ∥ = ∥ x ∥.

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45. $Isométrie et stable de F^{⊥}$

Soient

f

une isométrie vectorielle d'un espace vectoriel euclidien

E

F = ker (f - Id)

. Montrer

f (F^{⊥}) = F^{⊥}

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46. $p.s. conservé implique linéarité$

Soit

f : E \to E

une application vérifiant

\forall (x, y) \in E^{2}, (f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) .

Montrer que

f

est linéaire.

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47. $Isométrie et stable de F$

Soient

F

un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel euclidien

E

f \in O (E)

tels que

f (F) \subset F

.
Montrer

f (F) = F

f (F^{⊥}) = F^{⊥}

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48. $Famille d'endomorphismes f_{α}$

Soient

a

un vecteur unitaire d'un espace vectoriel euclidien

E

α

un réel et

f_{α} : E \to E

l'application définie par

f_{α} (x) = x + α (x ∣ a) \cdot a .

Q1-Montrer que

{f_{α} ∣ α \in R}

est stable pour le produit de composition et observer que

f_{α}

f_{β}

commutent.

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49. $Isométrie et image d'une base ON$

Soient

E

un espace vectoriel euclidien et

f : E \to E

une application telle que

\forall x, y \in E, (f (x) ∣ f (y)) = (x ∣ y) .

En observant que l'image par

f

d'une base orthonormée est une base orthonormée montrer que

f

est linéaire.

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50. $Combinaison de matrices orth.$

Soient

A

B

dans

O_{n} (R)

telle que

(A + 2 B) /3

appartienne à

O_{n} (R)

. Que dire de

A

B

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51. $Matrices orthogonales triangulaires$

Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures ?

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52. $Borne sur la somme des coefficients$

Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

une matrice réelle orthogonale. Montrer que

1 \leq i, j \leq n \sum a_{i, j} \leq n .

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53. $Matrice circulante orthogonale$

Soient

(a, b, c) \in R^{3}

σ = ab + b c + c a

S = a + b + c

et la matrice

M = a c b b a c c b a .

Q1-Montrer

M \in O_{3} (R) ⟺ σ = 0

S \in {- 1, 1}

Q2-Montrer

M \in S O_{3} (R) ⟺ σ = 0

S = 1

Q3-Montrer que

M

est dans

S O_{3} (R)

si, et seulement si, il existe

k \in [0; 4/27]

tel que

a, b

c

sont les racines du polynôme

X^{3} - X^{2} + k

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54. $Produit^{t} A^{- 1} A orthogonal$

Soit

A \in M_{n} (R)

une matrice inversible vérifiant

A^{t} A =^{t} AA

.
Montrer que la matrice

Ω =^{t} A^{- 1} A

est orthogonale.

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55. $Isométries envoyant u sur v$

Soit

u

v

deux vecteurs unitaires d'un plan vectoriel euclidien orienté.
Quels sont les isométries vectorielles qui envoient

u

sur

v

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56. $Commutativité réflexion et rotation$

À quelle condition une réflexion

σ

et une rotation

r

du plan commutent ?

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57. $Inégalité triangulaire angulaire$

Soient

E

un espace vectoriel euclidien et

u, v, w

trois vecteurs unitaires.
On pose

α = Ecart (u, v)

β = Ecart (v, w)

θ = Ecart (u, w)

.
En projetant

v

sur un plan contenant

u

w

, montrer que

θ \leq α + β

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58. $CCP — trace et endomorphisme$

ccp

Soit

v

un endomorphisme d'un espace euclidien de dimension

n

Q1-Montrer que la quantité

S = i = 1 \sum n ⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩

ne dépend pas de la base orthonormée

(e_{1}, \dots, e_{n})

E

choisie.

Q2-Montrer que la quantité

T = i = 1 \sum n j = 1 \sum n ⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩^{2}

ne dépend pas des bases orthonormées

(e_{1}, \dots, e_{n})

(f_{1}, \dots, f_{n})

E

choisies.

Q3-Que vaut

T

lorsque

v

est un projecteur orthogonal de rang

r

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59. $CCP — prod. scal. sur vect (1, e^{x}, x)$

ccp

Soit

E

l'espace des fonctions continues sur

[0, 1]

engendré par

f_{1} (x) = 1

f_{2} (x) = e^{x}

f_{3} (x) = x

. On munit

E

du produit scalaire

(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

Q1-Montrer que

(f ∣ g) = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

définit un produit scalaire sur l'ensemble

E

des fonctions continues sur

R

engendré par

f_{1} (x) = 1

f_{2} (x) = e^{x}

f_{3} (x) = x

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60. $CCP — orthogonalité S_{n} et A_{n}$

ccp

On munit

M_{n} (R)

du produit scalaire

(A ∣ B) = tr (^{t} A B)

Q1-Montrer que

(A ∣ B) = tr (^{t} A B)

définit un produit scalaire sur

M_{n} (R)

Q2-Montrer que

S_{n} (R)

A_{n} (R)

sont supplémentaires et orthogonaux. Exprimer la distance de

M = 101212323 \in M_{3} (R)

S_{3} (R)

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61. $CCP — polynômes de Legendre$

ccp

On munit

E = C ([- 1, 1], R)

du produit scalaire

(f ∣ g) = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x

. Pour

i \in {0, 1, 2, 3}

, on note

P_{i} (x) = x^{i}

Q1-Montrer que la famille

(P_{0}, P_{1}, P_{2})

est libre mais pas orthogonale.

Q2-Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée

(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2})

F = Vect (P_{0}, P_{1}, P_{2})

à partir de la famille

(P_{0}, P_{1}, P_{2})

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62. $CCP — matrice orthogonale 3 \times 3$

ccp

Montrer que la matrice

M = \frac{1}{3} 1 - 2 - 2 - 2 1 - 2 - 2 - 2 1

est orthogonale.
Calculer

det (M)

. Qu'en déduire d'un point de vue géométrique ?
Donner les caractéristiques géométriques de

M

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63. $CCP — Gram-Schmidt dans R_{2} [X]$

ccp

On rappelle et applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Q1-Énoncer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Q2-Orthonormaliser la base canonique de

R_{2} [X]

pour le produit scalaire

(P, Q) \mapsto \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t

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64. $Centrale — end. de trace nulle$

centrale

Soit

(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)

un espace euclidien non nul et

u \in L (E)

tel que

tr (u) = 0

Q1-Montrer qu'il existe

x \in E ∖ {0}

tel que

⟨ u (x), x ⟩ = 0

Q2-Montrer qu'il existe une base orthonormée de

E

dans laquelle la matrice de

u

est à diagonale nulle.

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65. $Mines — prod. scal. par évaluation$

mines

Soient

n \in N

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}

des réels deux à deux distincts et

E = R_{n} [X]

Q1-Montrer que l'on définit un produit scalaire sur

E

en posant, pour tous

P, Q \in E

(P ∣ Q) = k = 0 \sum n P (a_{k}) Q (a_{k})

Q2-Déterminer une base orthonormale de

E

pour le produit scalaire précédent.

Q3-Exprimer la distance du polynôme

X^{n}

à l'espace

H = {P \in E ∣ P (a_{0}) + \dots + P (a_{n}) = 0}

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66. $Mines — matrice circulante orthog.$

mines

Soient

(a, b, c) \in R^{3}

σ = ab + b c + c a

S = a + b + c

et la matrice

M = a c b b a c c b a .

Q1-Montrer

M \in O_{3} (R) ⟺ σ = 0

S \in {- 1, 1}

Q2-Montrer

M \in S O_{3} (R) ⟺ σ = 0

S = 1

Q3-Montrer que

M

est dans

S O_{3} (R)

si, et seulement si, il existe

k \in [0; 4/27]

tel que

a, b

c

sont les racines du polynôme

X^{3} - X^{2} + k

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67. $Mines — inversion par C.-Schwarz$

mines

Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

une matrice réelle vérifiant

\forall i \in {1, \dots, n}, a_{i, i} \geq 1 et i = 1 \sum n j = 1, j \neq = i \sum n a_{i, j}^{2} < 1.

Q1-Montrer

\forall X \in R^{n} ∖ {0},^{t} X A X > 0

Q2-En déduire que la matrice

A

est inversible.

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68. $Mines — combinaison matrices orth.$

mines

Soient

A

B

dans

O_{n} (R)

telles que

(A + 2 B) /3

appartienne à

O_{n} (R)

. Que dire de

A

B

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69. $Vérification de produits scalaires$

Prouver que les applications suivantes sont des produits scalaires sur

E

Q1-pour

n \in N

, sur

E = R_{n} [X]

, pour

x_{0}, \dots, x_{n} \in R

deux à deux distincts,

Ψ : (P, Q) \mapsto k = 0 \sum n P (x_{k}) Q (x_{k})

Q2-pour

n \in N

, sur

E = R_{n} [X]

, pour

a_{0}, \dots, a_{n} \in R

(P, Q) \mapsto φ (P, Q) = k = 0 \sum n P^{(k)} (a_{k}) Q^{(k)} (a_{k})

Q3-pour

n \in N

, sur

E = R_{n} [X]

(P, Q) \mapsto ⟨ P ∣ Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t

Q4-pour

n \in N

, sur

E = M_{n} (R)

⟨ A ∣ B ⟩ = tr (A^{⊤} B)

Q5-sur

E = C^{1} ([0, 1], R)

(f, g) \mapsto ⟨ f ∣ g ⟩ = f (1) g (1) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t

Q6-sur

E = C^{1} ([0, 1], R)

(f, g) \mapsto ⟨ f ∣ g ⟩ = \int_{0}^{1} (f (t) g (t) + f^{'} (t) g^{'} (t)) d t

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70. $Un espace fonctionnel$

On définit sur l'espace vectoriel réel

E

des fonctions de classe

C^{1}

[0, 1]

dans

R

⟨ f ∣ g ⟩ = f (1) g (1) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t .

Q1-Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur

E

Q2-Établir que

\forall f \in E

(f (1) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) d t)^{2} \leq 2 (f^{2} (1) + \int_{0}^{1} f^{'2} (t) d t)

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71. $Inégalité de Ptolémée$

Soit

E

un espace euclidien. On pose

f : ⎩ ⎨ ⎧ E ∖ {0} \to E ∖ {0} x \mapsto \frac{x}{∥ x ∥ ^{2}}

Q1-Montrer que pour

x, y \in E ∖ {0}

∥ f (x) - f (y) ∥ = \frac{∥ x - y ∥}{∥ x ∥∥ y ∥}

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72. $Inégalité d'Hadamard$

Soit

E

un espace euclidien de dimension

n \in N^{*}

et de base orthonormée

B

. Soient

(x_{1}, \dots, x_{n})

une famille de

n

vecteurs de

E

. Montrer que

∣ B det (x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ \leq i = 1 \prod n ∥ x_{i} ∥

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73. $Inégalité harmonique-quadratique$

Soit

n \geq 1

. Prouver que

[1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}]^{2} \leq n [1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}] .

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74. $Immédiat$

Soient

n \geq 1

x_{1}, \dots, x_{n} > 0

. Prouver que

[k = 1 \sum n x_{k}] [k = 1 \sum n \frac{1}{x _{k}}] \geq n^{2} .

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75. $Technique$

Soit

n \geq 2

. Prouver que

\frac{2}{n ( n - 1 )} (k = 1 \sum n - 1 \frac{k}{n - k})^{2} \leq k = 1 \sum n - 1 \frac{k}{( n - k ) ^{2}} .

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76. $Infimum d'un produit d'intégrales$

On considère l'ensemble

E

des fonctions continues et strictement positives sur

[a, b]

. Montrer que :

f \in E in f (\int_{a}^{b} f (x) d x \int_{a}^{b} \frac{d x}{f ( x )})

existe et est atteint.

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77. $Inégalité ∥ f ∥^{2} \leq C ∥ f^{'} ∥^{2}$

Soit

f

une fonction

C^{1}

sur

[a, b]

à valeurs dans

R

. On suppose

f (a) = 0

. Montrer que

\int_{a}^{b} f^{2} (u) d u \leq \frac{( b - a ) ^{2}}{2} \int_{a}^{b} f^{'2} (u) d u .

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78. $Produit mixte et produit vectoriel$

Soit

E

un espace euclidien orienté de dimension

n \geq 1

Q1-Soient

B

B^{'}

deux bases orthonormées directes de

E

. Montrer que

det_{B} (B^{'}) = 1

Q2-En déduire que

det_{B} = det_{B^{'}}

Q3-Soient

x_{1}, \dots, x_{n - 1}

n - 1

vecteurs de

E

. Montrer que l'application

x \in E \mapsto det_{B} (x_{1}, \dots, x_{n - 1}, x)

est une forme linéaire sur

E

Q4-En déduire qu'il existe un unique vecteur

u \in E

tel que

\forall x \in E, B det (x_{1}, \dots, x_{n - 1}, x) = ⟨ u, x ⟩

On appelle

u

le produit vectoriel des vecteurs

x_{1}, \dots, x_{n - 1}

et on note

u = x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{n - 1}

Q5-Montrer que l'application

(x_{1}, \dots, x_{n - 1}) \in E^{n - 1} \mapsto x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{n - 1}

est une application

n - 1

-linéaire alternée.

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79. $Produit scalaire via les dérivées$

On munit

R_{n} [X]

du produit scalaire défini par

⟨ P, Q ⟩ = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a ) Q ^{(k)} ( a )}{( k ! ) ^{2}}

où

n \in N

a \in R

Q1-Soient

n \in N

a \in R

. Montrer que l'application

⟨ \cdot, \cdot ⟩

R_{n} [X]^{2}

dans

R

définie par

\forall (P, Q) \in R_{n} [X]^{2}, ⟨ P, Q ⟩ = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a ) Q ^{(k)} ( a )}{( k ! ) ^{2}}

est un produit scalaire sur

R_{n} [X]

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1. Vérifions les propriétés de produit scalaire pour

⟨ P, Q ⟩ = k = 0 \sum n \frac{P ^{(k)} ( a ) Q ^{(k)} ( a )}{( k ! ) ^{2}}

.

- Symétrie : évidente (produit commutatif dans

R

).
- Bilinéarité : la dérivation

k

-ième et l'évaluation en

a

sont linéaires.
- Positivité :

⟨ P, P ⟩ = k = 0 \sum n \frac{( P ^{(k)} ( a ) ) ^{2}}{( k ! ) ^{2}} \geq 0

.
- Caractère défini : si

⟨ P, P ⟩ = 0

, alors

P^{(k)} (a) = 0

pour tout

k \in {0, \dots, n}

. Si

P \neq = 0

avec

de g P = d \leq n

, alors

P^{(d)}

est une constante non nulle, contradiction. Donc

P = 0

.

2. Considérons la famille

((X - a)^{k})_{0 \leq k \leq n}

. Pour

j \leq k

((X - a)^{k})^{(j)} (a) = k (k - 1) \dots (k - j + 1) (X - a)^{k - j}_{a} = {k! 0 si j = k sinon.

Donc

⟨(X - a)^{k}, (X - a)^{l} ⟩ = \frac{δ _{k l} \cdot ( k ! ) ^{2}}{( k ! ) ^{2}} = δ_{k l}

. La famille

((X - a)^{k})_{0 \leq k \leq n}

est une base orthonormée de

R_{n} [X]

80. $Identité de Parseval$

Soient

E

un espace euclidien de dimension

n \in N^{*}

e_{1}, \dots, e_{n}

des vecteurs de

E

tels que

\forall x \in E, ∥ x ∥^{2} = k = 1 \sum n ⟨ x ∣ e_{k} ⟩^{2}

Q1-Montrer que

\forall (x, y) \in E^{2}, ⟨ x ∣ y ⟩ = i = 1 \sum n ⟨ x ∣ e_{i} ⟩ ⟨ y ∣ e_{i} ⟩

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41.

42.Produit scalaire par évaluation

43.Supplémentaires orthogonaux

44.Isométrie : norme ou prod. scalaire

45.Isométrie et stable de F⊥

46.p.s. conservé implique linéarité

47.Isométrie et stable de F

48.Famille d'endomorphismes fα​

49.Isométrie et image d'une base ON

50.Combinaison de matrices orth.

51.Matrices orthogonales triangulaires

52.Borne sur la somme des coefficients

53.Matrice circulante orthogonale

54.Produit tA−1A orthogonal

55.Isométries envoyant u sur v

56.Commutativité réflexion et rotation

57.Inégalité triangulaire angulaire

58.CCP — trace et endomorphisme

59.CCP — prod. scal. sur vect(1,ex,x)

60.CCP — orthogonalité Sn​ et An​

61.CCP — polynômes de Legendre

62.CCP — matrice orthogonale 3×3

63.CCP — Gram-Schmidt dans R2​[X]

64.Centrale — end. de trace nulle

65.Mines — prod. scal. par évaluation

66.Mines — matrice circulante orthog.

67.Mines — inversion par C.-Schwarz

68.Mines — combinaison matrices orth.

69.Vérification de produits scalaires

70.Un espace fonctionnel

71.Inégalité de Ptolémée

72.Inégalité d'Hadamard

73.Inégalité harmonique-quadratique

74.Immédiat

75.Technique

76.Infimum d'un produit d'intégrales

77.Inégalité ∥f∥2≤C∥f′∥2

78.Produit mixte et produit vectoriel

79.Produit scalaire via les dérivées

80.Identité de Parseval

42. $Produit scalaire par évaluation$

43. $Supplémentaires orthogonaux$

44. $Isométrie : norme ou prod. scalaire$

45. $Isométrie et stable de F^{⊥}$

46. $p.s. conservé implique linéarité$

47. $Isométrie et stable de F$

48. $Famille d'endomorphismes f_{α}$

49. $Isométrie et image d'une base ON$

50. $Combinaison de matrices orth.$

51. $Matrices orthogonales triangulaires$

52. $Borne sur la somme des coefficients$

53. $Matrice circulante orthogonale$

54. $Produit^{t} A^{- 1} A orthogonal$

55. $Isométries envoyant u sur v$

56. $Commutativité réflexion et rotation$

57. $Inégalité triangulaire angulaire$

58. $CCP — trace et endomorphisme$

59. $CCP — prod. scal. sur vect (1, e^{x}, x)$

60. $CCP — orthogonalité S_{n} et A_{n}$

61. $CCP — polynômes de Legendre$

62. $CCP — matrice orthogonale 3 \times 3$

63. $CCP — Gram-Schmidt dans R_{2} [X]$

64. $Centrale — end. de trace nulle$

65. $Mines — prod. scal. par évaluation$

66. $Mines — matrice circulante orthog.$

67. $Mines — inversion par C.-Schwarz$

68. $Mines — combinaison matrices orth.$

69. $Vérification de produits scalaires$

70. $Un espace fonctionnel$

71. $Inégalité de Ptolémée$

72. $Inégalité d'Hadamard$

73. $Inégalité harmonique-quadratique$

74. $Immédiat$

75. $Technique$

76. $Infimum d'un produit d'intégrales$

77. $Inégalité ∥ f ∥^{2} \leq C ∥ f^{'} ∥^{2}$

78. $Produit mixte et produit vectoriel$

79. $Produit scalaire via les dérivées$

80. $Identité de Parseval$