Exercices de Séries numériques en maths Sup (prépa)

1. $Nature de séries : u_{n} = n / (n^{2} + 1)$

2. $Nature : u_{n} = (n / (n + 1))^{n^{2}}$

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :

Q1-

u_{n} = (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}}

Q2-

u_{n} = \frac{1}{n cos ^{2} n}

Q3-

u_{n} = \frac{1}{( ln n ) ^{l n n}}

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3. $Série de TG (1/ n)^{1 + 1/ n}$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = (\frac{1}{n})^{1 + \frac{1}{n}} .

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4. $TG : (e - (1 + 1/ n)^{n}) / (n^{3/2} - ⌊ n^{3/2} ⌋ + n)$

Nature de la série de terme général

\frac{e - ( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}}{n ^{3/2} - ⌊ n ^{3/2} ⌋ + n} .

5. $v_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )} \sum k u_{k} : même nature$

Soit

(u_{n})_{n \geq 1}

une suite de réels positifs. On considère la suite

(v_{n})

définie par

v_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )} k = 1 \sum n k u_{k} .

Montrer que les séries

\sum u_{n}

\sum v_{n}

ont même nature et qu'en cas de convergence

n = 1 \sum + \infty u_{n} = n = 1 \sum + \infty v_{n} .

6. $\sum a_{n} cv. : \sum a_{n} / b_{n} et \sum b_{n}$

Soit

\sum a_{n}

une série convergente à termes strictement positifs. À quelle condition existe-t-il une suite

(b_{n})

de réels strictement positifs telle que

\sum \frac{a _{n}}{b _{n}} et \sum b_{n}

convergent ?

7. $Nature de \sum e^{- n α}$

Déterminer en fonction du paramètre

α \in R

la nature des séries de termes généraux :

Q1-

u_{n} = e^{- n α}

Q2-

u_{n} = \frac{ln n}{n ^{α}}

Q3-

u_{n} = exp (- (ln n)^{α})

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8. $Nature de ln n + a ln (n + 1) + b ln (n + 2)$

Soient

a, b \in R

. Déterminer la nature de la série

n \geq 1 \sum (ln (n) + a ln (n + 1) + b ln (n + 2)) .

Calculer la somme lorsqu'il y a convergence.

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9. $CNS sur a, b, c pour la convergence$

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels

a, b, c

pour qu'il y ait convergence de la suite de terme général

\frac{a}{1} + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{a}{4} + \frac{b}{5} + \frac{c}{6} + \dots

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10. $\sum λ^{n} / (1 + λ^{2 n}) et variantes$

Soit

λ

un réel. Étudier la nature des séries de terme général

u_{n} = \frac{λ ^{n}}{1 + λ ^{2 n}}, v_{n} = \frac{λ ^{2 n}}{1 + λ ^{2 n}}, w_{n} = \frac{1}{1 + λ ^{2 n}} .

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11. $Série \frac{1}{n ^{α}} \int_{0}^{1/ n} f (t^{n}) d t$

Soient

α \in R

f \in C^{0} ([0; 1], R)

telle que

f (0) \neq = 0

. Étudier la convergence de la série de terme général

u_{n} = \frac{1}{n ^{α}} \int_{0}^{1/ n} f (t^{n}) d t .

12. $Nature si u_{n}^{1/ n} \to L$

Soient

α > 0

(u_{n})

une suite de réels strictement positifs vérifiant

u_{n}^{1/ n} = 1 - \frac{1}{n ^{α}} + o (\frac{1}{n ^{α}}) .

La série de terme général

u_{n}

converge-t-elle ?

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13. $a (a + 1) \dots (a + n - 1) / n! : limite et nature$

Soit

a > 0

Q1-Déterminer la limite de la suite de terme général

u_{n} = \frac{a ( a + 1 ) \dots ( a + n - 1 )}{n !}

Q2-Quelle est la nature de la série de terme général

u_{n}

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14. $u_{n} = n! / x^{n} : nature selon x$

On fixe

x \in R_{+}^{*}

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

u_{n} = \frac{n !}{x ^{n}} k = 1 \prod n ln (1 + \frac{x}{k}) .

Q1-Étudier la suite de terme général

ln (u_{n + 1}) - ln (u_{n})

. En déduire que la suite

(u_{n})_{n \geq 1}

converge et préciser sa limite

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15. $Comparaison (u_{n}) et (v_{n})$

Soient

(u_{n})_{n \in N}

une suite de réels positifs et

(v_{n})_{n \in N}

la suite déterminée par

v_{n} = u_{2 n} + u_{2 n + 1} .

Montrer :

\sum u_{n} converge \Leftrightarrow \sum v_{n} converge .

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16. $\sum u_{n} v_{n} si \sum u_{n}$

Soient

\sum u_{n}

\sum v_{n}

deux séries à termes strictement positifs convergentes.
Montrer que les suivantes sont aussi convergentes

\sum max (u_{n}, v_{n}), \sum u_{n} v_{n} et \sum \frac{u _{n} v _{n}}{u _{n} + v _{n}} .

17. $\sum u_{n} u_{n + 1}$

Soit

\sum u_{n}

une série à termes positifs convergente.
Montrer que

\sum u_{n} u_{n + 1}

est aussi convergente.

18. $\sum a_{n} et \sum a_{n} a_{n + 1}$

Soit

a

une suite de réels positifs. Comparer les assertions

(i) la série de terme général $a_{n}$ converge ;
(ii) la série de terme général $a_{n} a_{n + 1}$ converge.

19. $u_{n} / (1 + u_{n}) et u_{n} / (u_{1} + \dots + u_{n}) : même nature que \sum u_{n}$

Soit

(u_{n})

une suite de réels strictement positifs.

Q1-Pour tout

n \in N

, on pose

v_{n} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}}

. Montrer que

\sum u_{n}

\sum v_{n}

sont de même nature

20. $(u_{n}), (v_{n}) pos.: \sum v_{n} cv. \Rightarrow \sum u_{n} dv.$

Soient

(u_{n})_{n \geq 0}

(v_{n})_{n \geq 0}

dans

(R_{+})^{N}

telles que

\forall n \in N, v_{n} = \frac{1}{1 + n ^{2} u _{n}} .

Montrer que si la série de terme général

v_{n}

converge alors la série de terme général

u_{n}

diverge.

21. $\sum a_{n} cv. : \sum a_{n}^{1 - 1/ n}$

Soit

\sum a_{n}

une série à termes strictement positifs convergente.
Établir la convergence de la série

\sum a_{n}^{1 - 1/ n}

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22. $\sum a_{n} cv. : \sum a_{0} a_{1} \dots a_{n} ?$

Soit

\sum a_{n}

une série à termes positifs convergente.
Peut-on préciser la nature de la série de terme général

u_{n} = a_{0} a_{1} \dots a_{n} ?

23. $\sum_{k = 1}^{n} u_{k} - n u_{n} bornée : convergence$

Soit

(u_{n})

une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général

k = 1 \sum n u_{k} - n u_{n}

est bornée.
Montrer que la série de terme général

u_{n}

converge.

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24. $\sum 1/ (n (n + 1) (n + 2))$

Nature puis somme de la série

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )} .

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25. $Séries via \sum 1/ k^{2} = π^{2} /6$

On donne

k = 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}

. Calculer

k = 1 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}}

après en avoir justifié l'existence.

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26. $Séries déduites de \sum 1/ n! = e$

Sachant

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{n !} = e

, calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{n + 1}{n !} et n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{2} - 2}{n !} .

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27. $\sum x^{n} / ((1 - x^{n}) (1 - x^{n + 1}))$

Calculer pour

x \in] - 1; 1 [

n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{( 1 - x ^{n} ) ( 1 - x ^{n + 1} )} .

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28. $S_{m} = \sum 1/ (n \dots (n + m))$

Existence et valeur pour

m \geq 1

S_{m} = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ( n + 1 ) \dots ( n + m )} .

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29. $a_{p} = \sum n^{p} / 2^{n} : récurrence$

Pour

p \in N

, on pose

a_{p} = n = 0 \sum + \infty \frac{n ^{p}}{2 ^{n}} .

Q1-Montrer que

a_{p}

existe puis exprimer

a_{p}

en fonction de

a_{0}, \dots, a_{p - 1}

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30. $Suite a_{0} = α > 2, a_{n + 1}$

Soient

α \in] 2; + \infty [

(a_{n})

la suite définie par

a_{0} = α et a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2

pour tout

n \in N

.
Montrer

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{a _{0} a _{1} \dots a _{n}} = \frac{1}{2} (α - α^{2} - 4) .

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31. $Règle de Raabe-Duhamel$

(Règle de Raabe-Duhamel) Soient

(u_{n})_{n \in N}

(v_{n})_{n \in N}

deux suites de réels strictement positifs.

Q1-On suppose qu'à partir d'un certain rang

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \leq \frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

. Montrer que

u_{n} = O_{n \to + \infty} (v_{n})

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32. $(u_{n}), (v_{n}) et convergence de (n^{λ} u_{n})$

On étudie un critère de comparaison raffiné pour les séries à termes positifs, basé sur le logarithme des termes généraux, et on l'applique à la série de terme général

\frac{n ^{n}}{n ! e ^{n}}

Q1-Soient

(u_{n})_{n \geq 0}

(v_{n})_{n \geq 0}

deux suites réelles,

λ \in R

. On suppose :

\forall n \in N

u_{n} \geq 0

\sum ∣ v_{n} ∣

converge et

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 1 - \frac{λ}{n} + v_{n}

. Montrer que

(n^{λ} u_{n})

converge

33. $u_{n}, v_{n} par Raabe-Duhamel$

Soient

u_{n} = \frac{1}{3 ^{n} n !} k = 1 \prod n (3 k - 2) et v_{n} = \frac{1}{n ^{3/4}} .

Q1-Montrer que pour

n

assez grand,

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \geq \frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

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34. $v_{n} = u_{n + 1} / S_{n} : même nature$

Soit

(u_{n})

une suite réelle strictement positive et convergeant vers

0

. On pose

v_{n} = \frac{u _{n + 1}}{S _{n}}

avec

S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}

.

Montrer que les séries

\sum u_{n}

\sum v_{n}

ont même nature.

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35. $v_{n} = u_{n} / S_{n} : nature$

Soit

(u_{n})_{n \geq 1}

une suite de réels strictement positifs. On pose, pour

n \in N^{*}

v_{n} = \frac{u _{n}}{S _{n}} o \overset{u}{ˋ} S_{n} = u_{1} + \dots + u_{n} .

Déterminer la nature de

\sum v_{n}

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36. $u_{n} / R_{n} et u_{n} / R_{n - 1} : nature$

Soit

(u_{n})

une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général

u_{n}

converge. On note le reste d'ordre

n

R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k} .

Étudier la nature des séries de termes généraux

u_{n} / R_{n}

u_{n} / R_{n - 1}

37. $\sum a_{n} / S_{n}^{2} et \sum a_{n} / S_{n}$

Soit

(a_{n})

une suite de réels strictement positifs et

S_{n} = k = 0 \sum n a_{k}

38. $Décroissante: n^{α + 1} u_{n} \to 0$

Soient

(u_{n})

une suite décroissante de réels positifs et

α

un réel positif. On suppose la convergence de la série

\sum n^{α} u_{n} .

Montrer

n^{α + 1} u_{n} \to 0.

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39. $Comparaison série-intégrale$

À l'aide d'une comparaison avec une intégrale, donner la nature de la série

n \geq 2 \sum \frac{1}{n ln n} .

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40. $\sum a^{n}, a \in] 0; 1 [$

Soit

a \in] 0; 1 [

. Déterminer la nature de la série

n \geq 0 \sum a^{n}

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1.Nature de séries : un​=n/(n2+1)

2.Nature : un​=(n/(n+1))n2

3.Série de TG (1/n)1+1/n

4.TG : (e−(1+1/n)n)/(n3/2−⌊n3/2⌋+n)

5.vn​=n(n+1)1​∑kuk​ : même nature

6.∑an​ cv. : ∑an​/bn​ et ∑bn​

7.Nature de ∑e−nα

8.Nature de lnn+aln(n+1)+bln(n+2)

9.CNS sur a,b,c pour la convergence

10.∑λn/(1+λ2n) et variantes

11.Série nα1​∫01/n​f(tn)dt

12.Nature si un1/n​→L

13.a(a+1)⋯(a+n−1)/n! : limite et nature

14.un​=n!/xn : nature selon x

15.Comparaison (un​) et (vn​)

16.∑un​vn​​ si ∑un​

17.∑un​un+1​​

18.∑an​ et ∑an​an+1​​

19.un​/(1+un​) et un​/(u1​+⋯+un​) : même nature que ∑un​

20.(un​),(vn​) pos.: ∑vn​ cv. ⇒ ∑un​ dv.

21.∑an​ cv. : ∑an1−1/n​

22.∑an​ cv. : ∑a0​a1​⋯an​ ?

23.∑k=1n​uk​−nun​ bornée : convergence

24.∑1/(n(n+1)(n+2))

25.Séries via ∑1/k2=π2/6

26.Séries déduites de ∑1/n!=e

27.∑xn/((1−xn)(1−xn+1))

28.Sm​=∑1/(n⋯(n+m))

29.ap​=∑np/2n : récurrence

30.Suite a0​=α>2, an+1​

31.Règle de Raabe-Duhamel

32.(un​), (vn​) et convergence de (nλun​)

33.un​, vn​ par Raabe-Duhamel

34.vn​=un+1​/Sn​ : même nature

35.vn​=un​/Sn​ : nature

36.un​/Rn​ et un​/Rn−1​ : nature

37.∑an​/Sn2​ et ∑an​/Sn​

38.Décroissante: nα+1un​→0

39.Comparaison série-intégrale

40.∑an​, a∈]0;1[

1. $Nature de séries : u_{n} = n / (n^{2} + 1)$

2. $Nature : u_{n} = (n / (n + 1))^{n^{2}}$

3. $Série de TG (1/ n)^{1 + 1/ n}$

4. $TG : (e - (1 + 1/ n)^{n}) / (n^{3/2} - ⌊ n^{3/2} ⌋ + n)$

5. $v_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )} \sum k u_{k} : même nature$

6. $\sum a_{n} cv. : \sum a_{n} / b_{n} et \sum b_{n}$

7. $Nature de \sum e^{- n α}$

8. $Nature de ln n + a ln (n + 1) + b ln (n + 2)$

9. $CNS sur a, b, c pour la convergence$

10. $\sum λ^{n} / (1 + λ^{2 n}) et variantes$

11. $Série \frac{1}{n ^{α}} \int_{0}^{1/ n} f (t^{n}) d t$

12. $Nature si u_{n}^{1/ n} \to L$

13. $a (a + 1) \dots (a + n - 1) / n! : limite et nature$

14. $u_{n} = n! / x^{n} : nature selon x$

15. $Comparaison (u_{n}) et (v_{n})$

16. $\sum u_{n} v_{n} si \sum u_{n}$

17. $\sum u_{n} u_{n + 1}$

18. $\sum a_{n} et \sum a_{n} a_{n + 1}$

19. $u_{n} / (1 + u_{n}) et u_{n} / (u_{1} + \dots + u_{n}) : même nature que \sum u_{n}$

20. $(u_{n}), (v_{n}) pos.: \sum v_{n} cv. \Rightarrow \sum u_{n} dv.$

21. $\sum a_{n} cv. : \sum a_{n}^{1 - 1/ n}$

22. $\sum a_{n} cv. : \sum a_{0} a_{1} \dots a_{n} ?$

23. $\sum_{k = 1}^{n} u_{k} - n u_{n} bornée : convergence$

24. $\sum 1/ (n (n + 1) (n + 2))$

25. $Séries via \sum 1/ k^{2} = π^{2} /6$

26. $Séries déduites de \sum 1/ n! = e$

27. $\sum x^{n} / ((1 - x^{n}) (1 - x^{n + 1}))$

28. $S_{m} = \sum 1/ (n \dots (n + m))$

29. $a_{p} = \sum n^{p} / 2^{n} : récurrence$

30. $Suite a_{0} = α > 2, a_{n + 1}$

31. $Règle de Raabe-Duhamel$

32. $(u_{n}), (v_{n}) et convergence de (n^{λ} u_{n})$

33. $u_{n}, v_{n} par Raabe-Duhamel$

34. $v_{n} = u_{n + 1} / S_{n} : même nature$

35. $v_{n} = u_{n} / S_{n} : nature$

36. $u_{n} / R_{n} et u_{n} / R_{n - 1} : nature$

37. $\sum a_{n} / S_{n}^{2} et \sum a_{n} / S_{n}$

38. $Décroissante: n^{α + 1} u_{n} \to 0$

39. $Comparaison série-intégrale$

40. $\sum a^{n}, a \in] 0; 1 [$