Exercices de Séries numériques en maths Sup (prépa) (page 2)

41. $Fonction ζ : équivalent$

42. $Équivalent de \sum k$

En exploitant une comparaison avec des intégrales, établir :

Q1-

k = 1 \sum n k \sim \frac{2}{3} n n

Q2-

ln (n!) \sim n ln n

Q3-

k = 2 \sum n \frac{1}{k ln k} \sim ln (ln n)

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43. $\sum f (n) - \int f : série-intégrale$

En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

a \to + \infty lim n = 1 \sum + \infty \frac{a}{n ^{2} + a ^{2}} .

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44. $A_{n} = \frac{1}{n} \sum (a + bk) : limite de B_{n} / A_{n}$

Soit

a > 0

b > 0

et pour

n \in N^{*}

A_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (a + bk), B_{n} = k = 1 \prod n (a + bk)^{1/ n} .

Trouver

n \to + \infty lim \frac{B _{n}}{A _{n}}

en fonction de

e

45. $n^{α} / (\sum_{k = 2}^{n} ln^{2} k)$

Nature de la série de terme général

\frac{n ^{α}}{\sum _{k = 2}^{n} ln ^{2} k}

où

α

est réel.

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46. $Série x^{a_{n}} / n^{3}, a_{n} =nb chiffres$

On note

a_{n}

le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de l'entier

n \geq 1

. Pour quelles valeurs de

x \in R

y a-t-il convergence de la série

\sum \frac{x ^{a_{n}}}{n ^{3}} ?

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47. $\sum 1/ (n^{α} ln n)$

Étudier en fonction de

α \in R

la nature de

n \geq 2 \sum \frac{1}{n ^{α} ln n} .

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48. $\sum 1/ (n (ln n)^{α})$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \frac{1}{n ( ln n ) ^{α}} .

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49. $Nature de \sum 1/ \sum_{k = 1}^{n} k^{α}$

Soit

α \in R^{*}

. On pose, pour

n \in N^{*}

u_{n} = \frac{1}{\sum _{k = 1}^{n} k ^{α}} .

Nature de la série de terme général

u_{n}

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50. $Équiv. de H_{n} pour α < 1$

Soit

α < 1

. Déterminer un équivalent de

k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{α}} .

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51. $Reste R_{N} : \sum n^{- α}$

Soit

α > 1

. Donner un équivalent simple à

R_{N} = n = N + 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{α}} .

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52. $Conv. de \sum 1/ k! et reste$

Montrer la convergence de

k = 0 \sum + \infty \frac{1}{k !}

puis la majoration du reste

k = n + 1 \sum + \infty \frac{1}{k !} \leq \frac{1}{n \cdot n !} .

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53. $u_{n + 1} = 1 - cos u_{n} : \sum u_{n}$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} \in [0; π]

et pour tout

n \in N

u_{n + 1} = 1 - cos u_{n} .

Montrer que

u_{n} \to 0

et déterminer la nature de la série de terme général

u_{n}

54. $u_{n + 1} = 1 + u_{n} : nature de u_{n} - ℓ$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} > 0

et pour tout

n \in N

u_{n + 1} = 1 + u_{n} .

Montrer que

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ

. Quelle est la nature de la série de terme général

u_{n} - ℓ

55. $u_{n + 1} = sin u_{n} : \sum u_{n}$

Soient

u_{0} \in] 0; π /2 [

u_{n + 1} = sin u_{n}

pour tout

n \in N

Q1-Montrer que

u_{n} \to 0^{+}

Q2-Exploiter

u_{n + 1} - u_{n}

pour montrer que

n \geq 0 \sum u_{n}^{3}

converge

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56. $Limite de H_{n} - \frac{1}{n} - \dots$

Calculer la limite de

u_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}) .

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57. $a_{n} = \sum_{k = n + 1}^{3 n} 1/ k : limite$

On pose

a_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{3 n} .

Q1-Montrer que la suite

(a_{n})

converge et trouver sa limite

λ

Q2-Trouver un équivalent simple de

a_{n} - λ

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58. $(2 n)! / (2^{n} n!)^{2} : équivalent$

Pour tout

n \in N

, soit

u_{n} = \frac{( 2 n )!}{( 2 ^{n} n ! ) ^{2}} .

Q1-Déterminer un équivalent de

ln u_{n + 1} - ln u_{n}

. En déduire que

u_{n} \to 0

Q2-

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59. $(2 n)! / (2^{n} n!)^{2} : \sum u_{n}$

Pour tout

n \in N

, on pose

u_{n} = \frac{( 2 n )!}{( 2 ^{n} n ! ) ^{2}} .

Q1-Déterminer un équivalent de

ln u_{n + 1} - ln u_{n}

. En déduire que

u_{n} \to 0

Q2-Montrer que

n u_{n} \to + \infty

. En déduire la nature de la série

\sum u_{n}

Q3-On pose

v_{n} = \frac{u _{n}}{n + 1}

. En observant et en sommant les égalités

(2 k + 4) v_{k + 1} = (2 k + 1) v_{k}

calculer

T_{n} = k = 0 \sum n v_{k}

en fonction de

n

v_{n + 1}

. En déduire la valeur de

n = 0 \sum + \infty \frac{u _{n}}{n + 1}

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60. $0 < a < b : u_{n} \to 0 par encadrement$

Soient

0 < a < b

(u_{n})_{n \in N}

une suite strictement positive telle que pour tout

n \in N

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{n + a}{n + b} .

Q1-Montrer que

u_{n} n \to + \infty 0

. On pourra étudier

ln (u_{n})

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61. $u_{n + 1} / u_{n} = 1 + α / n + O (1/ n^{2})$

Soit

(u_{n})

une suite de réels strictement positifs telle que

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 1 + \frac{α}{n} + O (\frac{1}{n ^{2}}), avec α \in R .

62. $Raabe-Duhamel généralisé$

Pour

α \in R ∖ Z_{-}^{*}

, on considère

(u_{n})_{n \geq 1}

définie par

u_{1} = 1

u_{n + 1} = (1 + α / n) u_{n}

Q1-Pour quel(s)

β \in R

y a-t-il convergence de la série de terme général

v_{n} = ln \frac{( n + 1 ) ^{β} u _{n + 1}}{n ^{β} u _{n}}

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63. $n! e^{n} / n^{n + 1/2} : limite finie$

Montrer que

u_{n} = \frac{n ! e ^{n}}{n ^{n + 1/2}}

a une limite non nulle.

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64. $u_{n + 1} = sin (u_{n} /2) : limite$

Soit

u_{0} \in] 0; 2 π [

puis

\forall n \in N, u_{n + 1} = sin (u_{n} /2) .

Q1-Montrer que

(u_{n})

tend vers

0

Q2-Montrer que

lim (2^{n} u_{n}) = A

pour un certain

A > 0

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65. $Suite : u_{p n} - u_{n} \to 0$

Soit

(u_{n})

une suite complexe telle que pour tout

p \in N^{*}

u_{p n} - u_{n} \to 0

. Peut-on affirmer que la suite

(u_{n})

converge ?

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66. $\sum_{k = 1}^{n} (k / n)^{n} : limite$

Étudier la limite quand

n \to + \infty

k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{n} .

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67. $Centrale: A_{n} et série-intégrale$

centrale

Soit

a > 0

b > 0

et pour

n \in N^{*}

A_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (a + bk), B_{n} = (k = 1 \prod n (a + bk))^{1/ n} .

Trouver

n \to + \infty lim \frac{B _{n}}{A _{n}}

en fonction de

e

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68. $Mines: \sum u_{n} et \sum v_{n}$

mines

Soient

(u_{n})_{n \geq 0}

(v_{n})_{n \geq 0}

deux suites réelles,

λ \in R

Q1-On suppose

\forall n \in N, u_{n} \geq 0

\sum ∣ v_{n} ∣

converge et

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 1 - \frac{λ}{n} + v_{n}

. Montrer que

(n^{λ} u_{n})

converge.

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69. $Mines: v_{n} = u_{n + 1} / S_{n} même nature$

mines

Soit

(u_{n})

une suite réelle strictement positive et convergeant vers

0

. On pose

v_{n} = \frac{u _{n + 1}}{S _{n}} avec S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} .

Montrer que les séries

\sum u_{n}

\sum v_{n}

ont même nature.

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70. $Nature de \sum cos^{n} (1/ n^{α})$

Déterminer, en fonction de

α > 0

, la nature de la série de terme général

u_{n} = cos^{n} (1/ n^{α}) .

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71. $\sum sin (1/ n) / n + 1$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = \frac{sin ( 1/ n )}{n + 1} .

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72. $Autour du binôme$

Convergence de la série

n \geq 0 \sum \frac{1}{( n 2 n )}

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73. $Nature de a^{1/ n} - (b^{1/ n} + c^{1/ n}) /2$

Soient

a

b

c > 0

. Étudier la convergence de la série de terme général :

u_{n} = a^{1/ n} - \frac{b ^{1/ n} + c ^{1/ n}}{2} .

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74. $Nature de (1/ n)^{1 + 1/ n}$

Nature de la série de terme général

u_{n} = (\frac{1}{n})^{1 + 1/ n}

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75. $Nature de \sum e^{- n}$

Nature de la série de terme général :

u_{n} = e^{- n}

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76. $Nature de (ln n)^{- l n n}$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = (ln (n))^{- l n (n)}

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77. $tan (π (7 + 43)^{n})$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = tan (π (7 + 43)^{n})

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78. $Autour de la série harmonique$

Soit

a > 0

. Étudier la nature de la série de terme général

u_{n} = a^{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}}

Voir le corrigé

On a

u_{n} = a^{H_{n}}

où

H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = ln n + γ + o (1)

(constante d'Euler

γ

).

Donc

u_{n} = e^{H_{n} l n a}

.

Cas $a > 1$ :

ln a > 0

H_{n} \to + \infty

, donc

u_{n} \to + \infty

. La série diverge grossièrement.

Cas $a = 1$ :

u_{n} = 1

pour tout

n

. La série diverge grossièrement.

Cas $0 < a < 1$ :

ln a < 0

u_{n} = e^{H_{n} l n a} = e^{γ l n a} e^{l n (n) l n a} e^{o (1)}

, donc

u_{n} \sim a^{γ} n^{l n a}

. Comme

ln a < 0

, la série est du type Riemann avec exposant

- ln a > 0

. Elle converge si et seulement si

- ln a > 1

, c'est-à-dire

ln a < - 1

, soit

a < 1/ e

.

Conclusion : La série converge si et seulement si

0 < a < 1/ e

, et diverge pour

a \geq 1/ e

79. $Nature de ln n + a ln (n + 1) + b ln (n + 2)$

Soient

a

b

dans

R

. Étudier la nature de la série de terme général

u_{n} = ln (n) + a ln (n + 1) + b ln (n + 2) .

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80. $Nature de sin (π (2 + 3)^{n})$

Déterminer la nature de la série de terme général

u_{n} = sin (π (2 + 3)^{n})

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41.Fonction ζ: équivalent

42.Équivalent de ∑k​

43.∑f(n)−∫f: série-intégrale

44.An​=n1​∑(a+bk) : limite de Bn​/An​

45.nα/(∑k=2n​ln2k)

46.Série xan​/n3, an​=nb chiffres

47.∑1/(nαlnn)

48.∑1/(n(lnn)α)

49.Nature de ∑1/∑k=1n​kα

50.Équiv. de Hn​ pour α<1

51.Reste RN​: ∑n−α

52.Conv. de ∑1/k! et reste

53.un+1​=1−cosun​ : ∑un​

54.un+1​=1+un​​ : nature de un​−ℓ

55.un+1​=sinun​ : ∑un​

56.Limite de Hn​−n1​−⋯

57.an​=∑k=n+13n​1/k: limite

58.(2n)!/(2nn!)2: équivalent

59.(2n)!/(2nn!)2: ∑un​

60.0<a<b: un​→0 par encadrement

61.un+1​/un​=1+α/n+O(1/n2)

62.Raabe-Duhamel généralisé

63.n!en/nn+1/2: limite finie

64.un+1​=sin(un​/2): limite

65.Suite : upn​−un​→0

66.∑k=1n​(k/n)n: limite

67.Centrale: An​ et série-intégrale

68.Mines: ∑un​ et ∑vn​

69.Mines: vn​=un+1​/Sn​ même nature

70.Nature de ∑cosn(1/nα)

71.∑sin(1/n)/n+1​

72.Autour du binôme

73.Nature de a1/n−(b1/n+c1/n)/2

74.Nature de (1/n)1+1/n

75.Nature de ∑e−n​

76.Nature de (lnn)−lnn

77.tan(π(7+43​)n)

78.Autour de la série harmonique

79.Nature de lnn+aln(n+1)+bln(n+2)

80.Nature de sin(π(2+3​)n)

41. $Fonction ζ : équivalent$

42. $Équivalent de \sum k$

43. $\sum f (n) - \int f : série-intégrale$

44. $A_{n} = \frac{1}{n} \sum (a + bk) : limite de B_{n} / A_{n}$

45. $n^{α} / (\sum_{k = 2}^{n} ln^{2} k)$

46. $Série x^{a_{n}} / n^{3}, a_{n} =nb chiffres$

47. $\sum 1/ (n^{α} ln n)$

48. $\sum 1/ (n (ln n)^{α})$

49. $Nature de \sum 1/ \sum_{k = 1}^{n} k^{α}$

50. $Équiv. de H_{n} pour α < 1$

51. $Reste R_{N} : \sum n^{- α}$

52. $Conv. de \sum 1/ k! et reste$

53. $u_{n + 1} = 1 - cos u_{n} : \sum u_{n}$

54. $u_{n + 1} = 1 + u_{n} : nature de u_{n} - ℓ$

55. $u_{n + 1} = sin u_{n} : \sum u_{n}$

56. $Limite de H_{n} - \frac{1}{n} - \dots$

57. $a_{n} = \sum_{k = n + 1}^{3 n} 1/ k : limite$

58. $(2 n)! / (2^{n} n!)^{2} : équivalent$

59. $(2 n)! / (2^{n} n!)^{2} : \sum u_{n}$

60. $0 < a < b : u_{n} \to 0 par encadrement$

61. $u_{n + 1} / u_{n} = 1 + α / n + O (1/ n^{2})$

62. $Raabe-Duhamel généralisé$

63. $n! e^{n} / n^{n + 1/2} : limite finie$

64. $u_{n + 1} = sin (u_{n} /2) : limite$

65. $Suite : u_{p n} - u_{n} \to 0$

66. $\sum_{k = 1}^{n} (k / n)^{n} : limite$

67. $Centrale: A_{n} et série-intégrale$

68. $Mines: \sum u_{n} et \sum v_{n}$

69. $Mines: v_{n} = u_{n + 1} / S_{n} même nature$

70. $Nature de \sum cos^{n} (1/ n^{α})$

71. $\sum sin (1/ n) / n + 1$

72. $Autour du binôme$

73. $Nature de a^{1/ n} - (b^{1/ n} + c^{1/ n}) /2$

74. $Nature de (1/ n)^{1 + 1/ n}$

75. $Nature de \sum e^{- n}$

76. $Nature de (ln n)^{- l n n}$

77. $tan (π (7 + 43)^{n})$

78. $Autour de la série harmonique$

79. $Nature de ln n + a ln (n + 1) + b ln (n + 2)$

80. $Nature de sin (π (2 + 3)^{n})$