Exercices de Séries numériques, Sup (prépa) (page 4)

123 exercices de Séries numériques pour les maths Sup (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Généralités, Comparaison à une intégrale, Séries à termes positifs.

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Exercices 121 à 123 sur 123 · page 4 sur 4

121. $Décimales périodiques et géom.$

Montrer que le développement décimal d'un réel est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si ce réel est rationnel.

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122. $f contractante: suite conv.$

Soient

k \in [0, 1 [

et

f : C \to C

tels que

\forall (x, y) \in C^{2}, ∣ f (x) - f (y) ∣ \leq k ∣ x - y ∣

Soit

u \in C^{N}

telle que

u_{n + 1} = f (u_{n})

pour tout

n \in N

. En considérant la série

n \in N \sum u_{n + 1} - u_{n}

, montrer que

u

converge.

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123. $Picard: ∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ \leq k^{n}$

Soient

f : R \to R

k

-lipschitzienne avec

k < 1

et

(x_{n})

une suite telle que

x_{n + 1} = f (x_{n})

pour tout

n \in N

.

Q1-Montrer que

∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ \leq k^{n} ∣ x_{1} - x_{0} ∣

.

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Q2-En considérant la série

n \in N \sum x_{n + 1} - x_{n}

, montrer que la suite

(x_{n})

converge.

Q3-En déduire que

f

admet un unique point fixe.

121.Décimales périodiques et géom.

122.f contractante: suite conv.

123.Picard: ∣xn+1​−xn​∣≤kn

121. $Décimales périodiques et géom.$

122. $f contractante: suite conv.$

123. $Picard: ∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ \leq k^{n}$