Exercices de Calcul intégral en maths Terminale

1.Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

1.

I_{1} = \int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x

I_{2} = \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x

I_{3} = \int_{0}^{π /2} cos (x) d x

2.Exercice 2

Soit

f (x) = x 1 + x^{2}

définie sur

[0, 1]

.

1. Montrer que

F (x) = \frac{1}{3} (1 + x^{2}) 1 + x^{2}

est une primitive de

f

sur

[0, 1]

.
2. En déduire

\int_{0}^{1} x 1 + x^{2} d x

.
3. Calculer l'aire sous la courbe de

f

sur

[0, 1]

(en unités d'aire).

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3.Exercice 3

On considère les fonctions

f (x) = x^{2}

g (x) = x

sur

[0, 1]

.

1. Vérifier que

g (x) \geq f (x)

sur

[0, 1]

.
2. Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes de

f

g

sur

[0, 1]

.
3. Calculer la valeur moyenne de

h = g - f

sur

[0, 1]

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4. $Interpréter une intégrale comme une aire sous une courbe$

Dans un repère orthogonal, on considère la courbe représentative d'une fonction

f

continue et positive sur l'intervalle

[0; 5]

. Le domaine délimité par cette courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations

x = 0

x = 5

a une aire mesurée exactement à

14

unités d'aire.
a. Exprimer l'aire de ce domaine à l'aide d'une intégrale.
b. En déduire la valeur exacte de

\int_{0}^{5} f (x) d x

Q1-a. Exprimer l'aire de ce domaine à l'aide d'une intégrale.

Q2-b. En déduire la valeur exacte de

\int_{0}^{5} f (x) d x

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5. $Calcul géométrique d'une intégrale affine$

Soit

f

la fonction affine définie sur

[0; 4]

par

f (x) = 2 x + 1

.
Calculer l'intégrale

I = \int_{0}^{4} (2 x + 1) d x

à l'aide d'un calcul d'aire géométrique, sans déterminer de primitive.

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6. $Intégrale d'une fonction affine par morceaux par décomposition$

Soit

g

la fonction continue définie sur

[0; 5]

par :

g (x) = {3 - x + 5 si 0 ⩽ x ⩽ 2 si 2 < x ⩽ 5

Calculer l'intégrale

J = \int_{0}^{5} g (x) d x

par décomposition en figures géométriques simples.

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La fonction

g

est continue et positive sur

[0; 5]

. En effet, pour

x = 2

- 2 + 5 = 3 = g (2)

, et sur

[2; 5]

- x + 5 ⩾ 0

.
On décompose le domaine sous la courbe en deux régions géométriques disjointes :
- Sur l'intervalle

[0; 2]

, la fonction est constante égale à

3

. Le domaine correspondant est un rectangle de largeur

2 - 0 = 2

et de hauteur

3

. Son aire vaut

A_{1} = 2 \times 3 = 6

.
- Sur l'intervalle

[2; 5]

, la courbe relie les points

(2; 3)

(5; 0)

. Le domaine correspondant est un triangle rectangle de base

5 - 2 = 3

et de hauteur

3

. Son aire vaut

A_{2} = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4, 5

.
Par additivité des aires, on obtient :

J = A_{1} + A_{2} = 6 + 4, 5 = 10, 5 = \frac{21}{2}

7. $Calcul d'intégrale d'une fonction polynomiale$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale

I = \int_{1}^{3} (3 t^{2} - 2 t + 5) d t

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8. $Intégrale d'une fonction exponentielle simple$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale

K = \int_{0}^{2} e^{3 x} d x

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9. $Application de la relation de Chasles et inversion de bornes$

Soit

f

une fonction continue sur l'intervalle

[- 2; 5]

. On donne :

\int_{- 2}^{1} f (x) d x = 7 et \int_{5}^{1} f (x) d x = 4

.
Déterminer la valeur de

\int_{- 2}^{5} f (x) d x

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10. $Linéarité de l'intégrale$

Soient

f

g

deux fonctions continues sur

[1; 4]

telles que :

\int_{1}^{4} f (x) d x = 5 et \int_{1}^{4} g (x) d x = - 2

.
Calculer l'intégrale

I = \int_{1}^{4} (3 f (x) - 4 g (x) + 2) d x

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11. $Valeur moyenne d'une fonction affine$

Soit

h

la fonction définie sur

[- 1; 3]

par

h (x) = 4 - 2 x

.
Calculer la valeur moyenne de

h

sur l'intervalle

[- 1; 3]

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12. $Intégrale faisant intervenir la dérivée logarithmique$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale

I = \int_{0}^{2} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1} d x

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13. $Intégrale avec exponentielle d'une fonction$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale

J = \int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x

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14. $Variations d'une fonction définie par une intégrale$

Soit

F

la fonction définie sur

[0; 4]

par :

F (x) = \int_{1}^{x} (t^{2} - 3 t + 2) d t

.
a. Préciser sans calcul la valeur de

F (1)

.
b. Déterminer l'expression de la dérivée

F^{'} (x)

sur

[0; 4]

.
c. Dresser le tableau de variations de

F

sur

[0; 4]

Q1-a. Préciser sans calcul la valeur de

F (1)

Q2-b. Déterminer l'expression de la dérivée

F^{'} (x)

sur

[0; 4]

Q3-c. Dresser le tableau de variations de

F

sur

[0; 4]

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a. Lorsque les deux bornes d'une intégrale sont identiques, l'intégrale est nulle. On a donc immédiatement

F (1) = \int_{1}^{1} (t^{2} - 3 t + 2) d t = 0

.
b. La fonction

f : t \mapsto t^{2} - 3 t + 2

est continue sur

[0; 4]

. D'après le théorème fondamental du calcul intégral, la fonction

F

est la primitive de

f

sur

[0; 4]

qui s'annule en

1

. Par conséquent,

F

est dérivable sur

[0; 4]

et pour tout

x \in [0; 4]

F^{'} (x) = f (x) = x^{2} - 3 x + 2

.
c. Déterminons le signe de

F^{'} (x)

. Les racines de

x^{2} - 3 x + 2 = 0

sont

x = 1

x = 2

, car

(x - 1) (x - 2) = x^{2} - 3 x + 2

.
Le coefficient dominant étant

1 > 0

:
-

F^{'} (x) > 0

sur

[0; 1 [\cup] 2; 4]

;
-

F^{'} (x) < 0

sur

] 1; 2 [

;
-

F^{'} (x) = 0

pour

x = 1

x = 2

.
On en déduit que

F

est strictement croissante sur

[0; 1]

, strictement décroissante sur

[1; 2]

, et strictement croissante sur

[2; 4]

.
Pour dresser le tableau, il faut les valeurs de

F

0

1

2

4

: on calcule donc

F

explicitement. La fonction

t \mapsto \frac{t ^{3}}{3} - \frac{3 t ^{2}}{2} + 2 t

est une primitive de

f

, donc pour tout

x \in [0; 4]

F (x) = [\frac{t ^{3}}{3} - \frac{3 t ^{2}}{2} + 2 t]_{1}^{x} = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 2 x - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{3 x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{6}

.
On en tire les valeurs utiles :
-

F (0) = - \frac{5}{6}

;
-

F (1) = 0

(question a) ;
-

F (2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 - \frac{5}{6} = \frac{16 - 36 + 24 - 5}{6} = - \frac{1}{6}

;
-

F (4) = \frac{64}{3} - 24 + 8 - \frac{5}{6} = \frac{128 - 144 + 48 - 5}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

.
Tableau de variations de

F

sur

[0; 4]

$x$	$0$		$1$		$2$		$4$
$F^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$F (x)$	$- \frac{5}{6}$	$↗$	$0$	$↘$	$- \frac{1}{6}$	$↗$	$\frac{9}{2}$

15. $Encadrement d'une intégrale par la méthode des rectangles$

On considère la fonction

f

définie sur

[1; 3]

par

f (x) = \frac{1}{x}

.
On partage l'intervalle

[1; 3]

4

sous-intervalles de même amplitude.
a. Préciser le pas

ℓ

de la subdivision ainsi que les points

x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

.
b. Calculer la somme des aires des rectangles inférieurs et la somme des aires des rectangles supérieurs.
c. En déduire un encadrement de l'intégrale

I = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x

Q1-a. Préciser le pas

ℓ

de la subdivision ainsi que les points

x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

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16. $Encadrement d'une intégrale par comparaison de fonctions$

On admet que pour tout réel

x \in [0; 1]

1 - x ⩽ \frac{1}{1 + x} ⩽ 1

.
En intégrant cet encadrement, déterminer un encadrement de l'intégrale

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} d x

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17. $Aire comprise entre une parabole et une droite sécante$

On considère les fonctions

f

g

définies sur

[0; 2]

par :

f (x) = x^{2} et g (x) = 2 x + 3

.
a. Justifier que pour tout

x \in [0; 2]

g (x) ⩾ f (x)

.
b. Calculer l'aire

A

du domaine délimité par les courbes de

f

et de

g

et les droites verticales

x = 0

x = 2

Q1-a. Justifier que pour tout

x \in [0; 2]

g (x) ⩾ f (x)

Q2-b. Calculer l'aire

A

du domaine délimité par les courbes de

f

et de

g

et les droites verticales

x = 0

x = 2

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18. $Intégration par parties avec produit affine et exponentielle$

En effectuant une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale :

I = \int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x} d x

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19. $Intégration par parties avec produit affine et fonction trigonométrique$

En effectuant une intégration par parties, calculer la valeur exacte de :

J = \int_{0}^{π} x cos (x) d x

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20. $Calcul des premiers termes d'une suite d'intégrales polynomiale$

Pour tout entier naturel

n

, on définit la suite

(I_{n})

par :

I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} (1 - t) d t

.
a. Calculer

I_{0}

.
b. Calculer

I_{1}

Q1-a. Calculer

I_{0}

Q2-b. Calculer

I_{1}

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21. $Déduction du signe d'une intégrale par positivité$

Soit

f

la fonction définie sur

[0; 1]

par

f (x) = \frac{x ^{3} + 2}{x ^{2} + 1}

.
Sans déterminer de primitive de

f

, établir et justifier le signe de l'intégrale :

K = \int_{0}^{1} f (x) d x

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22. $Aire entre deux courbes avec croisement$

On considère les fonctions

f

g

définies sur

[0; 3]

par :

f (x) = x^{2} - 2 et g (x) = x

.
a. Déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes de

f

et de

g

sur

[0; 3]

et étudier le signe de

g (x) - f (x)

.
b. Calculer l'aire totale

A

du domaine compris entre les deux courbes sur

[0; 3]

Q1-a. Déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes de

f

et de

g

sur

[0; 3]

et étudier le signe de

g (x) - f (x)

Q2-b. Calculer l'aire totale

A

du domaine compris entre les deux courbes sur

[0; 3]

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23. $Double intégration par parties avec produit polynomial et exponentielle$

On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale

I = \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x

.
a. À l'aide d'une première intégration par parties, exprimer

I

en fonction de

J = \int_{0}^{1} x e^{x} d x

.
b. Calculer

J

par une seconde intégration par parties.
c. En déduire la valeur exacte de

I

Q1-a. À l'aide d'une première intégration par parties, exprimer

I

en fonction de

J = \int_{0}^{1} x e^{x} d x

Q2-b. Calculer

J

par une seconde intégration par parties.

Q3-c. En déduire la valeur exacte de

I

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24. $Intégration par parties avec un monôme du second degré et un sinus$

On pose

K = \int_{0}^{π} x^{2} sin (x) d x

.
a. Effectuer une première intégration par parties pour exprimer

K

en fonction de

L = \int_{0}^{π} x cos (x) d x

.
b. En utilisant le résultat

L = - 2

, en déduire la valeur exacte de

K

Q1-a. Effectuer une première intégration par parties pour exprimer

K

en fonction de

L = \int_{0}^{π} x cos (x) d x

Q2-b. En utilisant le résultat

L = - 2

, en déduire la valeur exacte de

K

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25. $Intégrale du logarithme par une intégration par parties$

En écrivant

ln (x) = 1 \times ln (x)

, calculer l'intégrale suivante à l'aide d'une intégration par parties :

I = \int_{1}^{e} ln (x) d x

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26. $Intégration par parties d'un produit avec logarithme$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante en effectuant une intégration par parties :

J = \int_{1}^{e} x^{3} ln (x) d x

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27. $Monotonie d'une suite d'intégrales par comparaison directe$

On considère la suite

(I_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par :

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x

.
a. Démontrer que pour tout

x \in [0; 1]

et tout entier naturel

n

, on a

\frac{x ^{n + 1}}{1 + x} ⩽ \frac{x ^{n}}{1 + x}

.
b. En déduire, sans utiliser de raisonnement par récurrence, le sens de variation de la suite

(I_{n})

Q1-a. Démontrer que pour tout

x \in [0; 1]

et tout entier naturel

n

, on a

\frac{x ^{n + 1}}{1 + x} ⩽ \frac{x ^{n}}{1 + x}

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28. $Relation de récurrence par intégration par parties pour une suite$

Pour tout entier naturel

n

, on pose

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x

.
a. Calculer la valeur exacte de

I_{0}

.
b. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout

n \in N

I_{n + 1} = - e^{- 1} + (n + 1) I_{n}

.
c. En déduire la valeur exacte de

I_{1}

et de

I_{2}

Q1-a. Calculer la valeur exacte de

I_{0}

Q2-b. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout

n \in N

I_{n + 1} = - e^{- 1} + (n + 1) I_{n}

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29. $Formule de récurrence par parties sur une suite avec logarithme$

Pour tout entier naturel

n

, on définit la suite

(J_{n})

par :

J_{n} = \int_{1}^{e} x (ln x)^{n} d x

.
a. Calculer

J_{0}

.
b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout

n \in N

J_{n + 1} = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{n + 1}{2} J_{n}

.
c. En déduire la valeur exacte de

J_{1}

Q1-a. Calculer

J_{0}

Q2-b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que pour tout

n \in N

J_{n + 1} = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{n + 1}{2} J_{n}

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30. $Valeur moyenne de la concentration d'un médicament$

La concentration sanguine (en

mg \cdot L^{- 1}

) d'un principe actif

t

heures après son administration est modélisée sur

[0; 4]

par :

C (t) = \frac{10 t}{t ^{2} + 1}

.
a. Déterminer une primitive de la fonction

C

sur

[0; 4]

.
b. Calculer la concentration moyenne du produit dans le sang sur les quatre premières heures. Donner la valeur exacte, puis un arrondi au centième.

Q1-a. Déterminer une primitive de la fonction

C

sur

[0; 4]

Q2-b. Calculer la concentration moyenne du produit dans le sang sur les quatre premières heures. Donner la valeur exacte, puis un arrondi au centième.

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31. $Encadrement d'une intégrale et d'une valeur moyenne non calculables$

On considère la fonction

f

définie sur

[0; 1]

par

f (x) = e^{- x^{2}}

.
a. Démontrer que pour tout

x \in [0; 1]

, on a

1 - x^{2} ⩽ e^{- x^{2}} ⩽ 1

.
b. En déduire un encadrement de l'intégrale

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

.
c. En déduire un encadrement de la valeur moyenne de

f

sur

[0; 1]

Q1-a. Démontrer que pour tout

x \in [0; 1]

, on a

1 - x^{2} ⩽ e^{- x^{2}} ⩽ 1

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32. $Étude d'une fonction intégrale avec étude de signe préalable$

Soit

Φ

la fonction définie sur

[0; 3]

par :

Φ (x) = \int_{0}^{x} (2 t - 1) e^{t} d t

.
a. Justifier que

Φ

est dérivable sur

[0; 3]

et déterminer

Φ^{'} (x)

.
b. Étudier le signe de

Φ^{'} (x)

sur

[0; 3]

.
c. Dresser le tableau de variations de

Φ

et déterminer la valeur exacte de son minimum.

Q1-a. Justifier que

Φ

est dérivable sur

[0; 3]

et déterminer

Φ^{'} (x)

Q2-b. Étudier le signe de

Φ^{'} (x)

sur

[0; 3]

Q3-

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33. $Démonstration du théorème fondamental pour une fonction croissante$

Soit

f

une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle

[a; b]

.
On définit la fonction

F

sur

[a; b]

par

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

.
Démontrer que

F

est dérivable sur

[a; b]

et que pour tout

x \in [a; b]

F^{'} (x) = f (x)

.
(On rédigera la démonstration pour un accroissement

h > 0

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34. $Démonstration de l'indépendance de la primitive choisie$

Soit

f

une fonction continue et positive sur un intervalle

[a; b]

.
On note

F_{0}

la primitive de

f

sur

[a; b]

s'annulant en

a

, définie par

F_{0} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

.
Démontrer que pour toute primitive

F

f

sur

[a; b]

, on a l'égalité :

\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a)

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35. $Démonstration de la formule d'intégration par parties$

Soient

u

v

deux fonctions dérivables sur un intervalle

[a; b]

, telles que leurs dérivées

u^{'}

v^{'}

soient continues sur

[a; b]

.
Démontrer la formule d'intégration par parties :

\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x

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36. $Étude complète de la convergence d'une suite d'intégrales$

On considère la suite

(I_{n})

définie pour tout

n \in N

par :

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{e ^{- n x}}{1 + x} d x

.
a. Démontrer que la suite

(I_{n})

est décroissante.
b. Démontrer que pour tout

n \in N

I_{n} ⩾ 0

.
c. En déduire que la suite

(I_{n})

converge vers une limite réelle

ℓ

.
d. Démontrer que pour tout

n \in N^{*}

0 ⩽ I_{n} ⩽ \frac{1 - e ^{- n}}{n}

, puis déterminer la valeur de

ℓ

Q1-a. Démontrer que la suite

(I_{n})

est décroissante.

Q2-b. Démontrer que pour tout

n \in N

I_{n} ⩾ 0

Q3-c. En déduire que la suite

(I_{n})

converge vers une limite réelle

ℓ

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37. $Convergence et limite d'une suite d'intégrales de puissances$

Soit

(u_{n})

la suite définie pour tout entier naturel

n

non nul par :

u_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2}} d x

.
a. Étudier le sens de variation de la suite

(u_{n})

.
b. Justifier que pour tout

n ⩾ 1

u_{n} ⩾ 0

. En déduire que la suite

(u_{n})

converge.
c. Démontrer que pour tout

n ⩾ 1

u_{n} ⩽ \frac{1}{n + 1}

. En déduire la limite de

(u_{n})

Q1-a. Étudier le sens de variation de la suite

(u_{n})

Q2-b. Justifier que pour tout

n ⩾ 1

u_{n} ⩾ 0

. En déduire que la suite

(u_{n})

converge.

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38. $Synthèse sur l'aire entre une courbe et sa tangente avec intégration par parties$

On considère la fonction

f

définie sur

[1; e]

par

f (x) = x ln (x)

et la fonction affine

g

définie par

g (x) = x - 1

.
a. Étudier le signe de la différence

d (x) = f (x) - g (x)

sur

[1; e]

.
b. À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale

I = \int_{1}^{e} x ln (x) d x

.
c. En déduire la valeur exacte de l'aire

A

du domaine compris entre les courbes de

f

et de

g

sur

[1; e]

Q1-a. Étudier le signe de la différence

d (x) = f (x) - g (x)

sur

[1; e]

Q2-b. À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale

I = \int_{1}^{e} x ln (x) d x

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39. $Démonstration du théorème de comparaison des intégrales$

Soient

f

g

deux fonctions continues sur un intervalle

[a; b]

(avec

a ⩽ b

) telles que pour tout

x \in [a; b]

f (x) ⩽ g (x)

.
En utilisant la propriété de positivité de l'intégrale et la linéarité, démontrer que :

\int_{a}^{b} f (x) d x ⩽ \int_{a}^{b} g (x) d x

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40. $Détermination d'une aire sous une droite par calcul géométrique$

Soit

f

la fonction définie sur l'intervalle

[1; 4]

par

f (x) = 2 x + 1

. Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Q1-Justifier que pour tout

x \in [1; 4]

f (x) > 0

Q2-En observant que le domaine sous la courbe représentative de

f

entre les droites

x = 1

x = 4

est un trapèze, calculer géométriquement l'intégrale

I = \int_{1}^{4} (2 x + 1) d x

Q3-Retrouver ce résultat en calculant

I

à l'aide d'une primitive de

f

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1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Interpréter une intégrale comme une aire sous une courbe

5.Calcul géométrique d'une intégrale affine

6.Intégrale d'une fonction affine par morceaux par décomposition

7.Calcul d'intégrale d'une fonction polynomiale

8.Intégrale d'une fonction exponentielle simple

9.Application de la relation de Chasles et inversion de bornes

10.Linéarité de l'intégrale

11.Valeur moyenne d'une fonction affine

12.Intégrale faisant intervenir la dérivée logarithmique

13.Intégrale avec exponentielle d'une fonction

14.Variations d'une fonction définie par une intégrale

15.Encadrement d'une intégrale par la méthode des rectangles

16.Encadrement d'une intégrale par comparaison de fonctions

17.Aire comprise entre une parabole et une droite sécante

18.Intégration par parties avec produit affine et exponentielle

19.Intégration par parties avec produit affine et fonction trigonométrique

20.Calcul des premiers termes d'une suite d'intégrales polynomiale

21.Déduction du signe d'une intégrale par positivité

22.Aire entre deux courbes avec croisement

23.Double intégration par parties avec produit polynomial et exponentielle

24.Intégration par parties avec un monôme du second degré et un sinus

25.Intégrale du logarithme par une intégration par parties

26.Intégration par parties d'un produit avec logarithme

27.Monotonie d'une suite d'intégrales par comparaison directe

28.Relation de récurrence par intégration par parties pour une suite

29.Formule de récurrence par parties sur une suite avec logarithme

30.Valeur moyenne de la concentration d'un médicament

31.Encadrement d'une intégrale et d'une valeur moyenne non calculables

32.Étude d'une fonction intégrale avec étude de signe préalable

33.Démonstration du théorème fondamental pour une fonction croissante

34.Démonstration de l'indépendance de la primitive choisie

35.Démonstration de la formule d'intégration par parties

36.Étude complète de la convergence d'une suite d'intégrales

37.Convergence et limite d'une suite d'intégrales de puissances

38.Synthèse sur l'aire entre une courbe et sa tangente avec intégration par parties

39.Démonstration du théorème de comparaison des intégrales

40.Détermination d'une aire sous une droite par calcul géométrique

4. $Interpréter une intégrale comme une aire sous une courbe$

5. $Calcul géométrique d'une intégrale affine$

6. $Intégrale d'une fonction affine par morceaux par décomposition$

7. $Calcul d'intégrale d'une fonction polynomiale$

8. $Intégrale d'une fonction exponentielle simple$

9. $Application de la relation de Chasles et inversion de bornes$

10. $Linéarité de l'intégrale$

11. $Valeur moyenne d'une fonction affine$

12. $Intégrale faisant intervenir la dérivée logarithmique$

13. $Intégrale avec exponentielle d'une fonction$

14. $Variations d'une fonction définie par une intégrale$

15. $Encadrement d'une intégrale par la méthode des rectangles$

16. $Encadrement d'une intégrale par comparaison de fonctions$

17. $Aire comprise entre une parabole et une droite sécante$

18. $Intégration par parties avec produit affine et exponentielle$

19. $Intégration par parties avec produit affine et fonction trigonométrique$

20. $Calcul des premiers termes d'une suite d'intégrales polynomiale$

21. $Déduction du signe d'une intégrale par positivité$

22. $Aire entre deux courbes avec croisement$

23. $Double intégration par parties avec produit polynomial et exponentielle$

24. $Intégration par parties avec un monôme du second degré et un sinus$

25. $Intégrale du logarithme par une intégration par parties$

26. $Intégration par parties d'un produit avec logarithme$

27. $Monotonie d'une suite d'intégrales par comparaison directe$

28. $Relation de récurrence par intégration par parties pour une suite$

29. $Formule de récurrence par parties sur une suite avec logarithme$

30. $Valeur moyenne de la concentration d'un médicament$

31. $Encadrement d'une intégrale et d'une valeur moyenne non calculables$

32. $Étude d'une fonction intégrale avec étude de signe préalable$

33. $Démonstration du théorème fondamental pour une fonction croissante$

34. $Démonstration de l'indépendance de la primitive choisie$

35. $Démonstration de la formule d'intégration par parties$

36. $Étude complète de la convergence d'une suite d'intégrales$

37. $Convergence et limite d'une suite d'intégrales de puissances$

38. $Synthèse sur l'aire entre une courbe et sa tangente avec intégration par parties$

39. $Démonstration du théorème de comparaison des intégrales$

40. $Détermination d'une aire sous une droite par calcul géométrique$