Exercices de Calcul intégral, Terminale (page 3)

Soit $f$ la fonction définie sur $[2;6]$ par $f(x)=\frac{6}{x^2}$.

Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2;6]$.

Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante en faisant apparaître la forme $\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$ :$$I={\int }_0^2\frac{2x+3}{x^2+3x+2}dx$$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale :$$J={\int }_0^2(2x-1){\mathrm{e}}^{x^2-x}dx$$

Soit $F$ la fonction définie sur $[0;4]$ par :$$F(x)={\int }_1^x(t^2-4t+3)dt$$

On considère la fonction $f$ définie sur $[1;3]$ par $f(x)=\frac{1}{x}$. On découpe l'intervalle $[1;3]$ en quatre sous-intervalles de même largeur $h=0,5$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=\frac{x^2}{x+2}$.

Dans un repère orthogonal du plan, on considère la parabole d'équation $y=-x^2+4x+1$ et la droite d'équation $y=x+1$ sur l'intervalle $[0;3]$.

Calculer à l'aide d'une intégration par parties la valeur exacte de l'intégrale :$$I={\int }_0^{\pi }(2x-1)\cos (x)dx$$

Calculer à l'aide d'une intégration par parties la valeur exacte de l'intégrale :$$J={\int }_0^2(3x+1){\mathrm{e}}^{-x}dx$$

On considère la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel $n$ par :$$I_n={\int }_0^1{x}^n(1-x{)}^{2}dx$$

Soit $f$ la fonction définie sur $[1;4]$ par $f(x)=\frac{\ln (x)}{x^2+1}$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;2]$ par :$$f(x)=x^3-2x\text{et}g(x)=x^2-2x$$On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal.

On considère l'intégrale :$$I={\int }_0^1(x^2+2x){\mathrm{e}}^{2x}dx$$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante au moyen de deux intégrations par parties successives :$$K={\int }_0^{\pi }{x}^2\sin (x)dx$$

Soit l'intégrale :$$I={\int }_1^4\sqrt{x}\ln (x)dx$$

On considère la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ définie pour tout entier $n⩾1$ par :$$u_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin (x){)}^{n}dx$$

Pour tout entier naturel $n$, on pose :$$I_n={\int }_1^{\mathrm{e}}(\ln (x){)}^{n}dx$$

La puissance instantanée (en watts) absorbée par un récepteur électrique durant les $6$ premières secondes de son fonctionnement est modélisée par :$$P(t)=\frac{24t}{t^2+4}\text{pour }t\in [0;6]$$

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$.

Soit $G$ la fonction définie sur $[0;3]$ par :$$G(x)={\int }_0^x(2t-1){\mathrm{e}}^{-2t}dt$$

On considère la fonction $f$ définie sur $[1;5]$ par $f(x)=\frac{2x+1}{x}$.

Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle $[a;b]$ (avec $a<b$).

On définit la fonction $F$ sur $[a;b]$ par $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soient $a,b\in I$. On admet que la fonction $F_0$ définie sur $I$ par $F_0(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ est une primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $[a;b]$ (avec $a<b$), telles que leurs fonctions dérivées $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ soient continues sur $[a;b]$.

On considère la suite $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel $n$ par :$$I_n={\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^{-nx}}{1+x}dx$$

Dans un repère orthonormé, on considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\ln (x)$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
2. Démontrer que pour tout $x>0$, $\ln (x)⩽x-1$. En déduire la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$.
3. Soit $a\in ]0;1[$. On note $\mathcal{A}(a)$ l'aire du domaine délimité par la tangente $T$, la courbe $\mathcal{C}$, et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=1$.
a. À l'aide d'une intégration par parties, déterminer une primitive de la fonction $\ln$ sur $[a;1]$.
b. Démontrer que $\mathcal{A}(a)=\frac{1-a^2}{2}+a\ln (a)$.
c. Déterminer la limite de l'aire $\mathcal{A}(a)$ lorsque $a$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.

1. Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ avec $a⩽b$.
En utilisant la définition de l'intégrale d'une fonction positive comme aire géométrique sous la courbe, ou le théorème fondamental, justifier rigoureusement que :$${\int }_a^{b}f(x)dx⩾0$$2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$ avec $a⩽b$, vérifiant pour tout $x\in [a;b]$ :$$f(x)⩽g(x)$$a. Justifier que la fonction différence $h=g-f$ est continue et positive sur $[a;b]$.
b. À l'aide du résultat de la question 1 et de la linéarité de l'intégrale, démontrer que :$${\int }_a^{b}f(x)dx⩽{\int }_a^{b}g(x)dx$$3. Expliquer pourquoi la condition $a⩽b$ est indispensable pour que l'inégalité soit conservée, en considérant un exemple où $a>b$.