Exercices de Calcul intégral, Terminale (page 2)

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$ par $g(x)=4\cos (2x)$.

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[-2;5]$.
On donne les trois valeurs suivantes :
${\int }_{-2}^{1}f(x)dx=5$, ${\int }_3^{1}f(x)dx=2$ et ${\int }_{-2}^{5}f(x)dx=11$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[0;2]$.
On sait que :
${\int }_0^{2}f(t)dt=-3$ et ${\int }_0^{2}g(t)dt=4$.
Calculer la valeur de l'intégrale $I$ définie par :
$I={\int }_0^2(5f(t)-2g(t)+3)dt$.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;2]$ par $f(x)=6x-3x^2$.

Soit $f$ une fonction continue et strictement positive sur l'intervalle $[1;5]$.
On souhaite encadrer l'intégrale $I={\int }_1^{5}f(x)dx$ représentant l'aire située sous la courbe de $f$ en unités d'aire (u.a.).
Dans un repère orthogonal où chaque carreau du quadrillage correspond à $1\text{ u.a.}$ :
- la réunion des rectangles situés entièrement sous la courbe (de largeur 1 chacun) a une aire totale de $7\text{ u.a.}$ ;
- la réunion des rectangles contenant entièrement la région sous la courbe (de largeur 1 chacun) a une aire totale de $12\text{ u.a.}$.

On considère l'intégrale :
$I={\int }_0^1(2x+3)e^{x^2+3x}dx$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;2]$ par $f(x)=\frac{6}{(2x+1{)}^3}$.

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[1;8]$ par :
$g(x)={\int }_2^x\frac{\ln (t)}{t^2+1}dt$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=\frac{4}{1+x}$. On souhaite encadrer l'intégrale $I={\int }_0^{2}f(x)dx$.
1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$.
2. On partage l'intervalle $[0;2]$ en deux sous-intervalles de même longueur : $[0;1]$ et $[1;2]$.
a. Déterminer un encadrement de $f(x)$ sur $[0;1]$, puis sur $[1;2]$.
b. En déduire la somme des aires des rectangles inférieurs et la somme des aires des rectangles supérieurs.
c. Établir l'encadrement de $I$ qui en résulte.
3. Calculer la valeur exacte de $I$ et vérifier la cohérence de l'encadrement obtenu.

Soit $I$ l'intégrale définie par :
$I={\int }_0^1\frac{1}{3+\cos (x)}dx$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur l'intervalle $[0;3]$ par :
$f(x)=-x^2+4x+1$ et $g(x)=x+1$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ leurs courbes représentatives respectives.

On souhaite calculer l'intégrale :
$I={\int }_0^2(3x-1)e^{-x}dx$.

On considère l'intégrale :
$J={\int }_0^{\pi }(2x+1)\cos (x)dx$.

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite d'intégrales :
$I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{2x}dx$.

Soit $I$ l'intégrale définie par :
$I={\int }_1^3\frac{x^2-4x+5}{x+2}dx$.

Un véhicule se déplace sur une piste rectiligne pendant une durée de 4 secondes. Sa vitesse instantanée (en mètres par seconde, notée $\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$) à l'instant $t\in [0;4]$ est modélisée par :
$v(t)=3t^2-\frac{1}{2}{t}^3$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur l'intervalle $[0;4]$ par :
$f(x)=x^2-2x$ et $g(x)=-x^2+4x$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ leurs courbes représentatives respectives.

On souhaite calculer l'intégrale :
$I={\int }_0^1{x}^2{e}^{3x}dx$.

On considère l'intégrale :
$K={\int }_0^{\pi }{x}^2\cos (x)dx$.

On considère l'intégrale :
$I={\int }_1^e\frac{\ln (x)}{x^2}dx$.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(u_n)$ définie par :
$u_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose :
$I_n={\int }_0^1(1-x{)}^n{e}^{x}dx$.

La température relevée dans une serre horticole au cours d'une journée de 24 heures est modélisée par la fonction $T$ définie pour tout $t\in [0;24]$ par :
$T(t)=15+6\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)$,
où $t$ est exprimé en heures et $T(t)$ en degrés Celsius.

On considère l'intégrale :
$I={\int }_0^1\sqrt{1+x^3}dx$.

Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;4]$ par :
$H(x)={\int }_1^x(2t-3)e^{t}dt$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien $f(x)=\ln (x)$ sur l'intervalle $[1;e]$.
On considère la droite sécante $\mathcal{D}$ passant par les points $A(1;0)$ et $B(e;1)$ de la courbe $\mathcal{C}$.

Soit $f$ une fonction continue, positive et strictement croissante sur un intervalle $[a;b]$ (avec $a<b$).
Pour tout $x\in [a;b]$, on pose :
$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soient $a,b\in I$.
On admet l'existence de la primitive $F_0$ de $f$ s'annulant en $a$, définie sur $I$ par $F_0(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un segment $[a;b]$ (avec $a⩽b$), dont les dérivées $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ sont continues sur $[a;b]$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose :
$I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose :
$W_n={\int }_0^{\pi /2}(\sin x{)}^{n}dx$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;e]$ par $f(x)=x^2\ln (x)$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative et $\mathcal{D}$ la droite sécante passant par les points $A(1;0)$ et $B(e;e^2)$ de $\mathcal{C}$.

Soient $a$ et $b$ deux réels vérifiant $a⩽b$.
1. On rappelle que si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)dx⩾0$ (propriété de positivité).
Justifier cette propriété à l'aide de la primitive $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ et de ses variations.
2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$ telles que pour tout $x\in [a;b]$, $f(x)⩽g(x)$.
a. Justifier que la fonction différence $h=g-f$ est continue et positive sur $[a;b]$.
b. Appliquer le résultat de la question 1 à la fonction $h$.
c. En exploitant la linéarité de l'intégrale, démontrer que :
${\int }_a^{b}f(x)dx⩽{\int }_a^{b}g(x)dx$.
3. Application : soit $f$ une fonction continue sur $[0;1]$ telle que pour tout $x\in [0;1]$, on a $0⩽f(x)⩽1$.
Démontrer l'inégalité :
${\int }_0^1(f(x){)}^{2}dx⩽{\int }_0^{1}f(x)dx$.

Dans un repère orthogonal du plan, l'unité graphique est de $1\text{ cm}$ sur l'axe des abscisses et de $2\text{ cm}$ sur l'axe des ordonnées. Une unité d'aire correspond ainsi à $2{\text{ cm}}^2$.

On considère une fonction $f$ continue et positive sur $[0;4]$. Le domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=4$ recouvre exactement $7,5$ carreaux du quadrillage, chaque carreau mesurant $1\text{ cm}\times 1\text{ cm}$ (soit $0,5\text{ u.a.}$).

Soit $f$ la fonction affine par morceaux définie sur $[1;6]$ par :$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1& \text{si }x\in [1;3]\\ -x+8& \text{si }x\in [3;6]\end{array}$$Calculer l'intégrale ${\int }_1^{6}f(x)dx$ uniquement à l'aide de formules d'aires de figures géométriques usuelles, sans déterminer de primitive.

Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante en utilisant une primitive adaptée :$$J={\int }_{-1}^2(4x^3-3x^2+2x-5)dx$$

Calculer la valeur exacte de l'intégrale :$$K={\int }_0^{\ln (3)}(5{\mathrm{e}}^{2x}-2)dx$$

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[-3;5]$. On donne les trois valeurs numériques suivantes :$${\int }_{-3}^{2}f(t)dt=7,{\int }_5^{2}f(t)dt=3,{\int }_{-3}^{0}f(t)dt=2$$Déterminer la valeur exacte de l'intégrale ${\int }_0^{5}f(t)dt$.