Exercices de Combinatoire et dénombrement en maths Terminale

1.Exercice 1

1. Calculer

(3 7)

(4 7)

. Vérifier l'identité

(3 7) = (4 7)

.
2. Montrer que pour tout

n \geq 1

1 \leq k \leq n

, on a

(k n) + (k - 1 n) = (k n + 1)

(formule de Pascal).
3. Développer

(1 + x)^{4}

en calculant d'abord

(1 + x)^{2}

, puis comparer ses coefficients à la ligne

n = 4

du triangle de Pascal.

2.Exercice 2

Un groupe de 10 élèves doit être réparti en deux équipes : une de 4 et une de 6.

1. Combien de façons y a-t-il de former l'équipe de 4 ?
2. Une fois l'équipe de 4 formée, combien de façons y a-t-il de former l'équipe de 6 parmi les 6 restants ?
3. Combien y a-t-il de façons de choisir un capitaine dans chaque équipe ?
4. Un élève particulier (Alice) doit être dans l'équipe de 4. Combien de façons y a-t-il de former les deux équipes ?

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1. Équipe de 4 parmi 10 :

(4 10) = \frac{10 !}{4 ! 6 !} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210

2. Équipe de 6 parmi les 6 restants :

(6 6) = 1

: il n'y a qu'une façon (on prend tous les 6 restants).

3. Choix des capitaines :

Une fois les équipes formées, on choisit 1 capitaine parmi 4 et 1 parmi 6 :

4 \times 6 = 24

façons.

Nombre total de façons de former les équipes et choisir les capitaines :

210 \times 1 \times 24 = 5040

.

4. Alice dans l'équipe de 4 :

Alice est fixée dans l'équipe de 4, il reste à choisir 3 élèves parmi les 9 restants :

(3 9) = \frac{9 !}{3 ! 6 !} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 84

Il y a donc 84 façons.

3.Exercice 3

On considère les mots formés avec les lettres de MATHEMA (7 lettres : M, A, T, H, E, M, A, avec M et A répétés).

1. Combien de mots distincts peut-on former avec les 7 lettres de MATHEMA ?
2. Parmi ces mots, combien commencent par M ?
3. Combien de façons peut-on choisir 3 lettres distinctes parmi les 5 lettres différentes {M, A, T, H, E} ?

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4. $Principe additif et options sportives$

Dans une association sportive, 24 adhérents pratiquent uniquement le tennis de table et 18 adhérents pratiquent uniquement le badminton. Aucun adhérent ne pratique les deux activités simultanément.
Déterminer le nombre total d'adhérents pratiquant l'une ou l'autre de ces deux activités.

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5. $Composition d'un menu de restaurant$

Un restaurant propose une formule déjeuner comprenant obligatoirement une entrée, un plat principal et un dessert.
Le client peut choisir parmi 4 entrées, 5 plats principaux et 3 desserts différents.
Combien de menus distincts un client peut-il composer ?

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6. $Nombre d'octets et mots binaires de longueur fixée$

En informatique, un octet est un mot de 8 bits, où chaque bit prend la valeur 0 ou 1.
1. Combien d'octets distincts peut-on former ?
2. Combien d'octets distincts se terminent par le bit 0 ?

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7. $Podium d'une course de vitesse$

Huit athlètes participent à la finale du 100 mètres. On suppose qu'il n'y a aucun ex æquo.
Combien y a-t-il de podiums possibles (médaille d'or, médaille d'argent et médaille de bronze) ?

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8. $Rangement de romans sur une étagère$

Un lecteur souhaite ranger 5 romans distincts côte à côte sur une étagère.
1. Combien de rangements différents sont possibles ?
2. S'il décide de placer un roman de science-fiction particulier à la première place, combien de rangements reste-t-il ?

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9. $Calcul de coefficients binomiaux et symétrie$

1. Calculer à l'aide de la formule factorielle les coefficients binomiaux

(2 6)

(3 8)

.
2. En déduire, sans nouveau calcul de quotient, les valeurs de

(4 6)

(5 8)

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1. Pour tous entiers naturels

n

k

tels que

0 ⩽ k ⩽ n

, on a

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !}

.
Ainsi :

(2 6) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15

(3 8) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56

2. D'après la propriété de symétrie des coefficients binomiaux, pour tout entier

k

vérifiant

0 ⩽ k ⩽ n

, on a

(k n) = (n - k n)

.
On en déduit immédiatement :

(4 6) = (6 - 4 6) = (2 6) = 15

(5 8) = (8 - 5 8) = (3 8) = 56

10. $Codes numériques à quatre chiffres$

Un cadenas s'ouvre à l'aide d'un code secret composé de 4 chiffres, chaque chiffre étant choisi parmi

{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

.
1. Combien de codes différents peut-on former au total ?
2. Combien de codes sont constitués uniquement de chiffres pairs ?

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11. $Choix d'un binôme dans une classe$

Dans un groupe de 12 élèves, le professeur souhaite former un binôme de deux délégués pour assister à un conseil.
1. Justifier que le choix d'un binôme correspond à une combinaison.
2. Déterminer le nombre de binômes distincts que le professeur peut constituer.

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12. $Dénombrement à l'aide d'un diagramme et réunion non disjointe$

Dans une promotion de 50 étudiants, 32 suivent l'option Anglais renforcé, 21 suivent l'option Espagnol renforcé, et 8 étudiants suivent ces deux options simultanément.
1. Combien d'étudiants suivent au moins l'une des deux options ?
2. Combien d'étudiants ne suivent aucune de ces deux options ?
3. Combien d'étudiants suivent uniquement l'option Anglais renforcé ?

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13. $Distinction entre arrangements et combinaisons$

Une urne contient 9 jetons numérotés de 1 à 9.
1. On extrait successivement et sans remise 3 jetons en tenant compte de l'ordre d'apparition. Combien de tirages distincts peut-on obtenir ?
2. On extrait simultanément 3 jetons de l'urne. Combien de tirages distincts peut-on obtenir ?
3. Comparer ces deux résultats et expliquer le facteur qui les relie.

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14. $Création d'un mot de passe structuré par blocs$

Le mot de passe d'un compte informatique est formé d'un bloc de 3 lettres minuscules distinctes choisies parmi les 26 lettres de l'alphabet, suivi d'un bloc de 2 chiffres (distincts ou non) choisis parmi

{0; 1; \dots; 9}

.
1. Déterminer le nombre de choix possibles pour le bloc de lettres.
2. Déterminer le nombre de choix possibles pour le bloc de chiffres.
3. En déduire le nombre total de mots de passe différents que l'on peut ainsi créer.

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15. $Nombres à chiffres distincts et contrainte sur le premier chiffre$

On forme des nombres entiers à 4 chiffres distincts en utilisant uniquement les chiffres de l'ensemble

E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

.
On rappelle qu'un nombre à 4 chiffres ne peut pas débuter par le chiffre 0.
1. Combien a-t-on de choix possibles pour le premier chiffre (chiffre des milliers) ?
2. Une fois le premier chiffre fixé, combien de choix a-t-on pour former le bloc des 3 chiffres restants ?
3. En déduire le nombre total de nombres entiers à 4 chiffres distincts que l'on peut écrire.

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16. $Dénombrement d'issues équiprobables pour un code d'accès$

Un digicode requiert la saisie d'un code de 4 chiffres, chaque chiffre étant choisi au hasard et avec équiprobabilité parmi

{0; 1; 2; 3; 4; 5}

.
1. Déterminer le nombre total de codes possibles.
2. Déterminer le nombre de codes dont les 4 chiffres sont deux à deux distincts.
3. En déduire la probabilité que le code généré soit constitué de 4 chiffres deux à deux distincts.

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17. $Constitution d'un comité avec personnes incompatibles$

Dans un groupe de 10 personnes, on souhaite désigner une délégation de 4 membres.
1. Combien de délégations différentes peut-on constituer sans aucune restriction ?
2. Deux membres du groupe, Camille et David, sont en désaccord et refusent de siéger ensemble dans la délégation.
a. Combien de délégations contiennent simultanément Camille et David ?
b. En déduire le nombre de délégations possibles respectant cette contrainte.

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18. $Vérification calculatoire de la relation de Pascal$

1. Calculer les coefficients binomiaux

(3 7)

(4 7)

.
2. Calculer le coefficient binomial

(4 8)

.
3. Vérifier numériquement l'égalité

(3 7) + (4 7) = (4 8)

et énoncer la formule générale correspondante.

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19. $Parties d'un ensemble fini et sous-ensembles par taille$

Soit

E = {1; 2; 3; 4; 5}

un ensemble à 5 éléments.
1. Déterminer le nombre total de sous-ensembles (ou parties) de

E

.
2. Déterminer le nombre de parties de

E

possédant exactement 3 éléments.
3. Déterminer le nombre de parties de

E

possédant au moins 4 éléments.

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20. $Tirage simultané de cartes et événement contraire$

Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément une main de 5 cartes.
1. Combien de mains différentes de 5 cartes peut-on obtenir ?
2. Combien de mains ne contiennent aucun As ?
3. En déduire le nombre de mains contenant au moins un As.

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21. $Plaques minéralogiques sous contraintes alphabétiques$

Un format de plaque d'identification est composé de 2 lettres distinctes choisies parmi les 20 consonnes de l'alphabet, immédiatement suivies de 3 chiffres distincts choisis parmi

{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

.
De plus, la première consonne ne peut pas être la lettre W.
1. Combien de choix a-t-on pour la paire de consonnes ordonnée ?
2. Combien de choix a-t-on pour le triplet de chiffres ordonné ?
3. En déduire le nombre total de plaques différentes respectant ces critères.

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22. $Attribution de prix distincts ou identiques lors d'un concours$

Quinze élèves ont participé à un concours scientifique.
1. Le jury attribue un premier prix, un deuxième prix et un troisième prix distincts. Combien y a-t-il d'attributions possibles ?
2. Le jury décide finalement d'attribuer 3 calculatrices identiques aux 3 meilleurs élèves, sans classement entre eux. Combien y a-t-il de choix possibles ?

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23. $Rangement en ligne avec éléments contigus imposés$

Sept personnes, 3 femmes et 4 hommes, doivent s'asseoir sur un banc comportant 7 places alignées.
1. Combien de dispositions différentes sont possibles au total sans aucune restriction ?
2. On impose que les 3 femmes soient assises côte à côte.
a. En modélisant les 3 femmes par un bloc unique, combien d'éléments a-t-on à ordonner sur le banc ?
b. Combien d'ordres différents existe-t-il pour placer les femmes à l'intérieur de ce bloc ?
c. En déduire le nombre total de dispositions vérifiant cette condition.

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24. $Rangement de livres par matière en blocs disjoints$

Sur une étagère, on range 4 manuels de mathématiques différents et 3 manuels de physique différents.
On souhaite que tous les livres d'une même matière restent groupés ensemble.
1. Combien y a-t-il d'ordres possibles pour la succession des matières sur l'étagère ?
2. Pour un ordre des matières fixé, combien y a-t-il de manières de ranger les manuels de chaque discipline ?
3. En déduire le nombre total de dispositions possibles respectant cette contrainte.

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25. $Tirage de jetons bicolores et combinaisons sous contraintes$

Une urne contient 5 jetons blancs et 4 jetons noirs, tous discernables. On extrait simultanément 3 jetons de l'urne.
1. Combien de tirages distincts peut-on réaliser au total ?
2. Combien de tirages sont constitués de 3 jetons de même couleur ?
3. Combien de tirages contiennent exactement 2 jetons blancs et 1 jeton noir ?
4. Combien de tirages contiennent au moins un jeton noir ?

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26. $Dénombrement par arbre d'un tournoi à élimination$

Quatre équipes A, B, C et D s'affrontent lors d'un tournoi. Les demi-finales opposent A à B d'une part, et C à D d'autre part. Les deux vainqueurs disputent ensuite la finale.
On suppose qu'il n'y a pas de match nul.
1. Représenter la structure des résultats possibles à l'aide d'un arbre de choix successifs.
2. Déterminer le nombre de finales possibles (couples formés du vainqueur de la première demi-finale et du vainqueur de la seconde).
3. Déterminer le nombre total de scénarios complets possibles pour l'ensemble du tournoi (finalistes et vainqueur final).

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27. $Tirage sans remise et probabilité combinatoire$

Une urne contient 6 boules rouges et 4 boules vertes. On extrait au hasard, successivement et sans remise, 3 boules de l'urne.
1. Déterminer le nombre total d'issues ordonnées possibles.
2. Déterminer le nombre d'issues pour lesquelles on tire dans l'ordre : une boule rouge, puis une verte, puis une verte.
3. Déterminer le nombre d'issues pour lesquelles le tirage comporte exactement une boule rouge et deux boules vertes, quel que soit l'ordre.
4. En déduire la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge et deux boules vertes.

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28. $Dispositions en ligne avec interdiction de voisinage$

Cinq amis, dont Antoine et Béatrice, s'assoient sur 5 chaises alignées.
Antoine et Béatrice refusent d'être assis l'un à côté de l'autre.
1. Calculer le nombre total de dispositions possibles sans contrainte.
2. Calculer le nombre de dispositions pour lesquelles Antoine et Béatrice sont assis côte à côte.
3. En déduire le nombre de dispositions respectant leur condition.

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29. $Constitution d'un comité avec parité et majorité$

Une association est composée de 8 femmes et de 6 hommes. On souhaite constituer un comité de 4 personnes.
1. Combien de comités différents peut-on former sans condition ?
2. Combien de comités comportent exactement 2 femmes et 2 hommes ?
3. Combien de comités comportent une majorité stricte de femmes (au moins 3 femmes) ?

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30. $Dénombrement de chemins sur une grille$

Dans le plan muni d'un repère, un pion part de l'origine

(0; 0)

et doit rejoindre le point

(4; 3)

. À chaque étape, le pion ne peut se déplacer que d'une unité vers la droite (D) ou d'une unité vers le haut (H).
1. Justifier que tout chemin est constitué de 7 déplacements, dont 4 vers la droite.
2. Déterminer le nombre total de chemins possibles pour aller de

(0; 0)

(4; 3)

.
3. Combien de chemins passent obligatoirement par le point intermédiaire

(2; 1)

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31. $Démonstration combinatoire de la somme des coefficients binomiaux$

Soit

n

un entier naturel non nul et

E

un ensemble fini ayant

n

éléments.
1. En associant à chaque sous-ensemble de

E

un mot binaire de longueur

n

, démontrer que le nombre total de parties de

E

est égal à

2^{n}

.
2. Pour

0 ⩽ k ⩽ n

, exprimer le nombre de parties de

E

k

éléments.
3. En déduire la formule :

k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}

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32. $Démonstration par le calcul de la relation de Pascal$

Soient

n

k

deux entiers naturels vérifiant

1 ⩽ k ⩽ n

.
Démontrer par le calcul, en utilisant l'expression factorielle des coefficients binomiaux, la relation de Pascal :

(k - 1 n) + (k n) = (k n + 1)

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33. $Démonstration combinatoire de la relation de Pascal$

Soit

n

un entier naturel non nul et

k

un entier vérifiant

1 ⩽ k ⩽ n

.
Soit

E

un ensemble à

n + 1

éléments, et soit

a

un élément particulier fixé dans

E

.
En effectuant une partition de l'ensemble des parties à

k

éléments de

E

, démontrer la relation de Pascal :

(k n + 1) = (k - 1 n) + (k n)

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34. $Démonstration de la formule factorielle du nombre d'arrangements$

Soit

E

un ensemble à

n

éléments (

n ⩾ 1

) et soit

k

un entier tel que

1 ⩽ k ⩽ n

.
1. En analysant la succession des choix, établir que le nombre de

k

-uplets d'éléments distincts de

E

est égal au produit :

n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)

2. En complétant ce produit par

(n - k)!

, démontrer que ce nombre s'écrit sous la forme :

\frac{n !}{( n - k )!}

3. Préciser le lien avec le nombre de permutations de

E

lorsque

k = n

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35. $Démonstration bijective de la symétrie des coefficients binomiaux$

Soit

E

un ensemble à

n

éléments et soit

k

un entier tel que

0 ⩽ k ⩽ n

.
On note

P_{k} (E)

l'ensemble des parties de

E

k

éléments et

P_{n - k} (E)

l'ensemble des parties à

n - k

éléments.
1. Pour tout sous-ensemble

A \in P_{k} (E)

, déterminer le cardinal de son complémentaire

\overline{A} = E ∖ A

.
2. On considère l'application

f : P_{k} (E) \to P_{n - k} (E)

définie par

f (A) = \overline{A}

. Démontrer que

f

est une bijection.
3. En déduire la propriété de symétrie :

(k n) = (n - k n)

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36. $Configurations de pions sur une grille quadrillée$

Sur une grille carrée de 16 cases (

4 \times 4

), on dispose 3 jetons identiques de telle sorte que chaque case contienne au plus un jeton.
1. Combien y a-t-il de configurations possibles pour placer les 3 jetons ?
2. Combien de configurations ont leurs 3 jetons situés sur une même ligne horizontale ?
3. Combien de configurations ont leurs 3 jetons situés dans 3 lignes différentes et 3 colonnes différentes ?

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37. $Dénombrement de mots binaires sans motifs consécutifs$

On s'intéresse aux mots de 5 lettres formés avec les caractères de l'alphabet

{0; 1}

.
1. Déterminer le nombre total de mots de 5 lettres que l'on peut former.
2. On souhaite dénombrer les mots contenant au moins une fois la séquence « 00 » (deux zéros consécutifs).
a. Dénombrer les mots ne contenant aucun zéro.
b. Dénombrer les mots contenant exactement un zéro.
c. Dénombrer les mots contenant exactement deux zéros non consécutifs.
d. Dénombrer les mots contenant trois zéros ou plus sans aucun « 00 ».
e. En déduire, par passage au complémentaire, le nombre de mots contenant au moins deux zéros consécutifs.

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38. $Applications entre ensembles finis et listes d'éléments distincts$

Soient

E = {1; 2; 3}

F = {a; b; c; d}

deux ensembles finis.
1. Combien d'applications de

E

dans

F

peut-on définir au total ?
2. Démontrer que le nombre d'applications

f

E

dans

F

telles que

f (1)

f (2)

f (3)

soient deux à deux distincts est égal au nombre de 3-uplets d'éléments distincts de

F

, et calculer ce nombre.
3. Soit

G = {1; 2; 3; 4}

un ensemble à 4 éléments. Combien d'applications bijectives de

G

dans

F

existe-t-il ? Justifier.

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39. $Partition de délégations et identité de Vandermonde$

Un groupe de travail est composé de 6 femmes et 4 hommes. On souhaite constituer une délégation de 3 membres.
1. Calculer le nombre total de délégations de 3 membres que l'on peut former.
2. Dénombrer le nombre de délégations selon le nombre

k

de femmes retenues, pour

k \in {0; 1; 2; 3}

.
3. En déduire, en justifiant par un argument de partition, l'égalité :

(0 6) (3 4) + (1 6) (2 4) + (2 6) (1 4) + (3 6) (0 4) = (3 10)

et vérifier numériquement cette identité.

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40. $Réunion de collections d'objets distincts$

Un passionné de philatélie classe ses timbres rares. Il possède un classeur contenant 35 timbres commémoratifs et un second classeur contenant 47 timbres thématiques. Aucun timbre ne figure dans les deux classeurs à la fois.
Déterminer le nombre total de timbres rares possédés par ce collectionneur.

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1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Principe additif et options sportives

5.Composition d'un menu de restaurant

6.Nombre d'octets et mots binaires de longueur fixée

7.Podium d'une course de vitesse

8.Rangement de romans sur une étagère

9.Calcul de coefficients binomiaux et symétrie

10.Codes numériques à quatre chiffres

11.Choix d'un binôme dans une classe

12.Dénombrement à l'aide d'un diagramme et réunion non disjointe

13.Distinction entre arrangements et combinaisons

14.Création d'un mot de passe structuré par blocs

15.Nombres à chiffres distincts et contrainte sur le premier chiffre

16.Dénombrement d'issues équiprobables pour un code d'accès

17.Constitution d'un comité avec personnes incompatibles

18.Vérification calculatoire de la relation de Pascal

19.Parties d'un ensemble fini et sous-ensembles par taille

20.Tirage simultané de cartes et événement contraire

21.Plaques minéralogiques sous contraintes alphabétiques

22.Attribution de prix distincts ou identiques lors d'un concours

23.Rangement en ligne avec éléments contigus imposés

24.Rangement de livres par matière en blocs disjoints

25.Tirage de jetons bicolores et combinaisons sous contraintes

26.Dénombrement par arbre d'un tournoi à élimination

27.Tirage sans remise et probabilité combinatoire

28.Dispositions en ligne avec interdiction de voisinage

29.Constitution d'un comité avec parité et majorité

30.Dénombrement de chemins sur une grille

31.Démonstration combinatoire de la somme des coefficients binomiaux

32.Démonstration par le calcul de la relation de Pascal

33.Démonstration combinatoire de la relation de Pascal

34.Démonstration de la formule factorielle du nombre d'arrangements

35.Démonstration bijective de la symétrie des coefficients binomiaux

36.Configurations de pions sur une grille quadrillée

37.Dénombrement de mots binaires sans motifs consécutifs

38.Applications entre ensembles finis et listes d'éléments distincts

39.Partition de délégations et identité de Vandermonde

40.Réunion de collections d'objets distincts

4. $Principe additif et options sportives$

5. $Composition d'un menu de restaurant$

6. $Nombre d'octets et mots binaires de longueur fixée$

7. $Podium d'une course de vitesse$

8. $Rangement de romans sur une étagère$

9. $Calcul de coefficients binomiaux et symétrie$

10. $Codes numériques à quatre chiffres$

11. $Choix d'un binôme dans une classe$

12. $Dénombrement à l'aide d'un diagramme et réunion non disjointe$

13. $Distinction entre arrangements et combinaisons$

14. $Création d'un mot de passe structuré par blocs$

15. $Nombres à chiffres distincts et contrainte sur le premier chiffre$

16. $Dénombrement d'issues équiprobables pour un code d'accès$

17. $Constitution d'un comité avec personnes incompatibles$

18. $Vérification calculatoire de la relation de Pascal$

19. $Parties d'un ensemble fini et sous-ensembles par taille$

20. $Tirage simultané de cartes et événement contraire$

21. $Plaques minéralogiques sous contraintes alphabétiques$

22. $Attribution de prix distincts ou identiques lors d'un concours$

23. $Rangement en ligne avec éléments contigus imposés$

24. $Rangement de livres par matière en blocs disjoints$

25. $Tirage de jetons bicolores et combinaisons sous contraintes$

26. $Dénombrement par arbre d'un tournoi à élimination$

27. $Tirage sans remise et probabilité combinatoire$

28. $Dispositions en ligne avec interdiction de voisinage$

29. $Constitution d'un comité avec parité et majorité$

30. $Dénombrement de chemins sur une grille$

31. $Démonstration combinatoire de la somme des coefficients binomiaux$

32. $Démonstration par le calcul de la relation de Pascal$

33. $Démonstration combinatoire de la relation de Pascal$

34. $Démonstration de la formule factorielle du nombre d'arrangements$

35. $Démonstration bijective de la symétrie des coefficients binomiaux$

36. $Configurations de pions sur une grille quadrillée$

37. $Dénombrement de mots binaires sans motifs consécutifs$

38. $Applications entre ensembles finis et listes d'éléments distincts$

39. $Partition de délégations et identité de Vandermonde$

40. $Réunion de collections d'objets distincts$