Exercices de Combinatoire et dénombrement, Terminale (page 3)

Dans une clinique, un service dispose de 9 infirmiers volontaires pour assurer des gardes. Pour une nuit donnée, la direction doit sélectionner une équipe de 7 soignants parmi ces 9 volontaires, sans distinction de rôle au sein de l'équipe.

Dans une promotion de 100 étudiants d'une université, une enquête sur les loisirs donne les résultats suivants :
- 58 étudiants vont régulièrement au cinéma ;
- 42 étudiants visitent régulièrement des musées ;
- 23 étudiants pratiquent ces deux activités régulièrement.

Une association de sauvegarde du patrimoine compte 20 membres adhérents.

Dans un club d'aviation, les aéronefs légers reçoivent une immatriculation personnalisée respectant le format suivant :
- le préfixe fixe formé des deux caractères « F- » ;
- suivi d'un premier bloc de 2 chiffres choisis parmi les chiffres de $1$ à $9$, les répétitions étant autorisées ;
- suivi d'un second bloc de 3 lettres distinctes choisies parmi les 26 lettres de l'alphabet français.
Déterminer le nombre total d'immatriculations distinctes que l'on peut créer selon ce format.

Lors d'une épreuve cycliste contre-la-montre, 8 coureurs s'élancent les uns après les autres. Parmi ces 8 sportifs figure le vainqueur de l'édition précédente. Le règlement impose que ce tenant du titre s'élance obligatoirement en toute dernière position (au rang numéro 8).
Déterminer le nombre d'ordres de départ possibles pour l'ensemble des 8 coureurs.

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, numérotées de $1$ à $10$. On extrait simultanément et au hasard 3 boules de cette urne. Tous les tirages sont équiprobables.

Un conseil municipal est composé de 16 élus, parmi lesquels figurent Monsieur Martin et Madame Bernard. Une commission de 5 membres doit être constituée parmi ces 16 élus.
En raison de différends personnels, Monsieur Martin et Madame Bernard refusent de siéger ensemble au sein de cette commission.
Déterminer le nombre de commissions de 5 membres que l'on peut constituer en respectant cette contrainte.

On s'intéresse aux coefficients binomiaux associés aux entiers $n=8$ et $n=9$.

Une agence de notation immobilière évalue la qualité environnementale des bâtiments selon un ensemble de 6 critères indépendants : $E=\{c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6\}$. Chaque bâtiment est caractérisé par le sous-ensemble (la partie de $E$) des critères qu'il valide.

On considère l'ensemble de chiffres $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$. On s'intéresse aux nombres entiers formés de trois chiffres deux à deux distincts choisis dans $A$.

Un groupe d'accueil de 18 étudiants est composé de 6 étudiants boursiers et de 12 étudiants non boursiers. Une institution propose 4 bourses de stage international et sélectionne 4 étudiants au hasard parmi ces 18 étudiants, sans ordre de priorité.

Un technicien chimiste doit ranger en ligne sur une étagère 8 flacons de laboratoire distincts : 3 flacons d'acides concentrés différents et 5 flacons de solvants organiques différents. Pour respecter les consignes de sécurité, les 3 flacons d'acides doivent impérativement être placés côte à côte sur l'étagère.
Déterminer le nombre de dispositions possibles des 8 flacons répondant à cette exigence.

Dans une salle de réception internationale, une tribune officielle comporte une rangée de 7 sièges numérotés de 1 à 7. On doit y asseoir 7 personnalités réparties en deux délégations : une délégation française comprenant 4 membres distincts et une délégation italienne comprenant 3 membres distincts.
Le protocole impose que tous les membres d'une même délégation soient assis côte à côte (les Français forment un bloc contigu et les Italiens forment un autre bloc contigu).
Déterminer le nombre de placements possibles des 7 personnalités.

Un club d'aviron prépare un bateau pour un championnat. Le bateau nécessite un équipage de 9 personnes : 1 barreur et 8 rameurs. Les 8 postes de rameurs sont numérotés de 1 à 8 le long du bateau, chaque poste ayant des spécificités techniques.
Le club dispose pour cette épreuve de 3 barreurs confirmés et de 12 rameurs confirmés.

Une application logicielle propose un écran d'accueil doté d'un menu principal structuré en trois rubriques disjointes :
- La rubrique « Documents » contient 4 fonctionnalités. Chacune de ces 4 fonctionnalités ouvre une boîte de dialogue proposant 2 options de validation (« Sauvegarder » ou « Exporter »).
- La rubrique « Outils » contient 5 utilitaires directs. Chacun de ces 5 utilitaires s'exécute immédiatement sans option supplémentaire.
- La rubrique « Affichage » contient 3 thèmes graphiques. Chacun de ces 3 thèmes propose ensuite 3 niveaux de contraste différents.

Un centre d'examen dispose d'une équipe de 14 enseignants : 8 professeurs de mathématiques et 6 professeurs de physique-chimie. On doit former au hasard et de manière équiprobable un jury de 4 correcteurs choisis parmi ces 14 enseignants.

Dans une salle d'attente d'un concours, 6 chaises sont alignées en une rangée numérotée de 1 à 6. On doit y asseoir 3 candidats de Première et 3 candidats de Terminale. Les 6 candidats sont tous distincts.
Pour éviter les échanges, les organisateurs imposent que deux candidats d'un même niveau scolaire ne soient jamais assis sur deux chaises voisines (les niveaux doivent obligatoirement alterner).
Déterminer le nombre de dispositions possibles des 6 candidats sur cette rangée.

Une boîte contient 9 jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 9 : les jetons impairs $\{1,3,5,7,9\}$ et les jetons pairs $\{2,4,6,8\}$. On tire simultanément 2 jetons de cette boîte.

Deux joueuses de tennis de table $A$ et $B$ disputent un match selon la règle des « deux sets gagnants ». La première joueuse qui remporte deux sets est déclarée vainqueur et la partie s'arrête aussitôt.

Soit $E$ un ensemble fini non vide comptant $n$ éléments ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). On note $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$.

Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels vérifiant $1⩽k⩽n$. On considère un ensemble fini $E$ ayant $n+1$ éléments, et on choisit un élément particulier fixé noté $a\in E$.

Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels vérifiant $0⩽k⩽n-1$.
On rappelle que pour tout entier $p$ tel que $0⩽p⩽m$, on a la formule factorielle :$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p}\right)=\frac{m!}{p!(m-p)!}$$Démontrer par le calcul algébrique d'addition des écritures factorielles que pour tous entiers $n$ et $k$ vérifiant $0⩽k⩽n-1$, on a :$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$$

Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) et soit $k$ un entier vérifiant $1⩽k⩽n$. Un $k$-uplet d'éléments distincts de $E$ (ou arrangement de $k$ éléments de $E$) est une suite ordonnée $(x_1,x_2,\dots ,x_k)$ d'éléments de $E$ deux à deux distincts.

Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments et soit $k$ un entier tel que $0⩽k⩽n$.
On note ${\mathcal{P}}_k(E)$ l'ensemble des parties de $E$ ayant exactement $k$ éléments, et ${\mathcal{P}}_{n-k}(E)$ l'ensemble des parties de $E$ ayant exactement $n-k$ éléments.

Dans un jeu standard de 32 cartes (composé de 4 couleurs de 8 cartes chacune : Pique, Cœur, Carreau, Trèfle), une « main » est un ensemble non ordonné de 5 cartes distribuées simultanément à un joueur.

On considère des codes d'accès composés de 4 chiffres choisis dans l'ensemble $D=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.
Un code est dit « régulier » si deux chiffres occupant deux positions immédiatement consécutives sont toujours distincts (par exemple, 2582 et 0909 sont réguliers, alors que 2552 et 0098 ne le sont pas).

Soit $n$ un entier naturel non nul ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Une assemblée compte $2n$ personnes, réparties exactement en $n$ femmes et $n$ hommes. On souhaite constituer une commission formée de $n$ personnes choisies parmi ces $2n$ personnes.