Exercices de Continuité des fonctions en maths Terminale | The Maths Tailor
Exercices de Continuité des fonctions, Terminale
108 exercices de Continuité des fonctions pour les maths Terminale, avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Notion de continuité, Théorème des valeurs intermédiaires, Application à l'étude de suites.
La courbe représentative d'une fonction g, définie sur l'intervalle [−2;5], est constituée de deux arcs. Pour −2⩽x<1, c'est un arc continu qui joint le point (−2;−3) à un point creux de coordonnées (1;1). Pour 1⩽x⩽5, c'est un arc continu qui part du point plein (1;3), passe par un point anguleux au point (3;4) et se termine au point (5;0).
Q1-La fonction g est-elle continue sur [−2;5] ? Justifier sans calcul.
Q2-Préciser la ou les valeurs de x où g n'est pas continue, puis donner les intervalles maximaux sur lesquels g est continue.
Q3-La courbe présente-t-elle une discontinuité au point d'abscisse 3 ? Justifier.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=1+2x. Dans une feuille de calcul, la cellule A2 contient 0, la cellule B2 contient 0, et la cellule A3 contient 1. Lucas saisit dans la cellule B3 la formule =1+B2/2, puis la recopie vers le bas jusqu'à la ligne 7.
Q1-Expliquer ce que calcule la feuille, en introduisant une suite (un).
Q2-Quelles valeurs s'affichent dans les cellules B4, B5, B6 et B7 ?
Q3-Conjecturer le sens de variation de la suite (un) et sa limite.
Soit f la fonction définie sur [−4;+∞[ par f(x)=x3ex+x+4+x2+11. Justifier, à l'aide des théorèmes du cours et sans aucun calcul de limite, que f est continue sur [−4;+∞[.
Soit f une fonction définie et continue sur [−3;+∞[, strictement croissante sur [−3;1], avec f(−3)=−2 et f(1)=5, puis strictement décroissante sur [1;+∞[, avec x→+∞limf(x)=1. Pour chacune des valeurs suivantes de k, donner le nombre de solutions de l'équation f(x)=k sur [−3;+∞[, ainsi que l'intervalle auquel appartient chacune:
6.Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur l'intervalle [2;10] telle que f(2)=3,1 et f(10)=−0,4. 1) Montrer que l'équation f(x)=1 admet au moins une solution sur l'intervalle [2;10]. 2) Peut-on affirmer que cette équation admet une unique solution sur [2;10] ? Justifier. 3) Montrer que la même méthode ne permet pas de conclure que l'équation f(x)=3,5 admet au moins une solution sur [2;10].
Q1-Montrer que l'équation f(x)=1 admet au moins une solution sur [2;10].
Q2-Peut-on affirmer que cette solution est unique ?
Q3-Pourquoi la méthode ne fonctionne-t-elle pas pour f(x)=3,5 ?
Soit f une fonction continue sur l'intervalle [1;3] telle que f(1)=2 et f(3)=−5. 1) Montrer que l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur l'intervalle [1;3]. 2) On suppose de plus que f est strictement décroissante sur [1;3]. Montrer que l'équation f(x)=0 admet alors une unique solution α sur [1;3], et que α∈]1;3[.
Q1-Montrer que l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur [1;3].
Q2-Montrer que si f est de plus strictement décroissante, la solution est unique et située dans ]1;3[.
Dire qu'un réel c est un point fixe d'une fonction f, c'est dire que f(c)=c. 1) On considère la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x)=3x. Montrer que 3 est un point fixe de f. Le réel 27 est-il un point fixe de f ? 2) On considère la fonction g définie sur R par g(x)=ex−1. Montrer, par un calcul exact, que 1 est un point fixe de g. 3) Pourquoi la vérification d'un point fixe exige-t-elle un calcul exact et non une valeur approchée ?
Q1-Montrer que 3 est un point fixe de f et que 27 ne l'est pas.
Q2-Montrer par un calcul exact que 1 est un point fixe de g.
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x3−3x+1. 1) Justifier que f est continue sur [0;2]. 2) Calculer f(0), f(1) et f(2). 3) Montrer que l'équation f(x)=0 admet au moins deux solutions distinctes sur l'intervalle [0;2]. 4) Le théorème des valeurs intermédiaires suffit-il à affirmer que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions sur [0;2] ? Étudier les variations de f sur [0;2] pour conclure.
Q1-Justifier que f est continue sur [0;2].
Q2-Calculer f(0), f(1) et f(2).
Q3-Montrer que l'équation f(x)=0 admet au moins deux solutions distinctes sur [0;2].
Soit f la fonction définie sur [1;2] par f(x)=x3+2x−5. 1) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur l'intervalle [1;2]. 2) On considère le programme suivant:
def f(x): return x**3 + 2*x - 5
a, b = 1, 2 while b - a > 0.1: m = (a + b) / 2 if f(a) * f(m) <= 0: b = m else: a = m print(a, b)
Pour chaque passage dans la boucle, recopier et compléter un tableau donnant les valeurs de a et b en entrée, la valeur de m, le signe de f(m) et l'affectation réalisée (soit b=m, soit a=m). 3) Quelles valeurs s'affichent à la fin de l'exécution ? Que représentent-elles pour α ?
Q1-Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur [1;2].
Q2-Compléter le tableau d'exécution du programme.
Q3-Quelles valeurs s'affichent et que représentent-elles pour α ?
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=2x+3. On considère la suite (un) définie par u0=5 et un+1=f(un) pour tout entier n. On admet que, pour tout entier n, on a 3⩽un+1⩽un⩽5, et que la suite (un) converge vers un réel ℓ.
Q1-Justifier que f est continue sur l'intervalle [3;5].
17.Image d'une suite convergente par une fonction continue
Soit (un) une suite qui converge vers le réel 2.
Q1-Déterminer la limite de la suite définie pour tout entier n par vn=eun−1.
Q2-Déterminer la limite de la suite définie pour tout entier n par wn=un+7.
Q3-Soit (zn) une suite à termes strictement positifs qui converge vers 0. Peut-on affirmer, en invoquant la continuité, que la suite définie pour tout entier n par tn=lnzn converge ? Justifier.
Un service de livraison facture un colis selon sa masse m, en kilogrammes, avec 0<m⩽30. Le coût total, en euros, est modélisé par la fonction C définie par morceaux: C(m)=1,2m+4 si 0<m⩽5 ; C(m)=1,4m+3 si 5<m⩽10 ; C(m)=am+1 si 10<m⩽30, où a est un réel. 1) Montrer que C est continue au point de raccord m=5. 2) Déterminer la valeur de a pour que C soit continue au point de raccord m=10. 3) Le service choisit finalement a=2. Montrer que C n'est alors plus continue en 10, et interpréter concrètement ce qui se produit pour un client dont le colis passe de 10 kg à 10,1 kg. 4) On revient au choix a=1,6, qui rend C continue sur tout son domaine. Un client paie exactement 23 euros: déterminer la masse de son colis.
Q1-Montrer que C est continue au point de raccord m=5.
Q2-Déterminer a pour que C soit continue en m=10.
Q3-Avec a=2, montrer que C n'est plus continue en 10 et interpréter le saut.
Soit f la fonction définie sur [1;+∞[ par f(x)=x2+12x+1.
Q1-Justifier la continuité de f sur [1;+∞[ et calculer f′(x).
Q2-En déduire le sens de variation de f sur [1;+∞[, puis dresser son tableau de variations complet, en y faisant figurer la valeur f(1) et la limite de f en +∞.
Soit f la fonction définie sur [0;π] par f(x)=2x2+2cosx, et soit g la fonction définie sur [0;π] par g(x)=f′(x). 1) Justifier que f est dérivable sur [0;π] et montrer que g(x)=x−2sinx. 2) Vérifier que g(0)=0. 3) Étudier les variations de g sur [0;π] et montrer que l'équation g(x)=0 admet exactement deux solutions sur [0;π]: le réel 0 et un réel α appartenant à l'intervalle ]3π;π[. 4) Sachant que g(1,8)≈−0,148 et g(1,9)≈0,007, encadrer α. 5) En déduire les variations de f sur l'intervalle [0;π].
Q1-Justifier que f est dérivable sur [0;π] et montrer que g(x)=x−2sinx.
Q2-Vérifier que g(0)=0.
Q3-Étudier les variations de g et montrer que g(x)=0 a exactement deux solutions sur [0;π].
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=3xe−x. On admet que x→+∞limxe−x=0.
Q1-Justifier que f est continue sur [0;+∞[ et dresser son tableau de variations, en donnant la valeur exacte du maximum.
Q2-Déterminer l'image de l'intervalle [0;+∞[ par f, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs prises par f. Pour chacune des valeurs suivantes de k, déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=k sur l'intervalle [0;+∞[:
Un menuisier fabrique un bac à fleurs en forme de parallélépipède droit à base carrée, sans couvercle. La base a pour côté x et la hauteur mesure x+2, où x est exprimée en décimètres, avec 0⩽x⩽10. Le volume, en litres, vaut donc V(x)=x2(x+2), un décimètre cube valant un litre. Le menuisier veut un volume d'au moins 30 litres. 1) Justifier que V est continue et strictement croissante sur [0;10]. 2) Montrer qu'il existe une unique largeur x0 telle que V(x0)=30. 3) Montrer que 2,5<x0<2,6, puis, à l'aide des valeurs V(2,56)≈29,88 et V(2,57)≈30,18, que 2,56<x0<2,57. 4) Le menuisier veut une largeur exprimée en un nombre entier de centimètres et un volume d'au moins 30 litres: quelle largeur minimale doit-il choisir ?
Q1-Justifier que V est continue et strictement croissante sur [0;10].
Q2-Montrer qu'il existe une unique largeur x0 telle que V(x0)=30.
25.Trier les solutions de l'équation du point fixe
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=4x2+3. On considère la suite (un) définie par u0=1,5 et un+1=f(un) pour tout entier n. On admet que, pour tout entier n, on a 1⩽un+1⩽un⩽1,5.
Q1-Justifier que la suite (un) converge vers un réel ℓ.
Q2-Justifier que ℓ appartient à l'intervalle [1;1,5].
Un bassin se remplit. Pour tout instant t⩾0, exprimé en heures, on note h(t) la hauteur d'eau au-dessus du seuil de sécurité, en mètres, modélisée par h(t)=300t3+10t−0,4 (une valeur négative signifie que l'eau se trouve en dessous du seuil). 1) Montrer que h est strictement croissante sur [0;+∞[. 2) Montrer qu'il existe un unique instant t0 auquel l'eau franchit le seuil, c'est-à-dire tel que h(t0)=0. 3) On exécute le programme suivant:
def h(t): return t**3/300 + t/10 - 0.4
p = 0.01 t = 3 while h(t) < 0: t = t + p print(t - p, t)
a) Expliquer ce que fait ce programme. b) On donne h(3,05)≈−0,0004 et h(3,06)≈0,0015: quelles valeurs s'affichent à l'écran ? c) Le programme affiche-t-il la valeur exacte de t0 ? Interpréter les deux valeurs affichées dans le contexte, en heures et minutes.
Q1-Montrer que h est strictement croissante sur [0;+∞[.
Q2-Montrer qu'il existe un unique instant t0 tel que h(t0)=0.
Soient f1 la fonction définie sur [0;5] par f1(x)=3x+4 et f2 la fonction définie sur le même intervalle par f2(x)=20ln(x+1). On pose h(x)=f1(x)−f2(x).
Q1-Montrer que l'équation f1(x)=f2(x) équivaut à h(x)=0.
Q2-Justifier que h est continue et strictement décroissante sur [0;5].
29.L'image d'un segment par une fonction continue strictement croissante
Soit f une fonction continue et strictement croissante sur un segment [a;b]. On admet le théorème des valeurs intermédiaires: pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet au moins une solution sur l'intervalle [a;b]. 1) Montrer que pour tout x de l'intervalle [a;b], on a f(x)∈[f(a);f(b)]. 2) Montrer que tout réel k de l'intervalle [f(a);f(b)] est atteint par f: il existe un réel x de [a;b] tel que f(x)=k. 3) En déduire l'égalité f([a;b])=[f(a);f(b)]. 4) Montrer que pour tout k de l'intervalle [f(a);f(b)], la solution de l'équation f(x)=k sur [a;b] est unique. On raisonnera par l'absurde, en supposant l'existence de deux solutions distinctes c1<c2.
Q1-Montrer que f(x)∈[f(a);f(b)] pour tout x∈[a;b].
Q2-Montrer que tout k∈[f(a);f(b)] est atteint par f.
Partie A. Soit f la fonction définie sur [−31;+∞[ par f(x)=3x+1. 1) Justifier que f est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle [1;4]. 2) Montrer que si x∈[1;4], alors f(x)∈[2;13], intervalle inclus dans [1;4]. 3) Montrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution sur l'intervalle [1;4], et que cette solution est le réel Λ=23+13. Partie B. On considère la suite (un) définie par u0=1 et un+1=f(un) pour tout entier n. 4) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, on a 1⩽un<Λ et un⩽un+1. On admettra que la fonction x↦f(x)−x ne s'annule pas sur l'intervalle [1;Λ[ et qu'elle vaut 1 en 1. 5) En déduire que la suite (un) converge. 6) Déterminer la limite de la suite (un).
Q1-Justifier que f est définie, continue et strictement croissante sur [1;4].
Q2-Montrer que [1;4] est stable par f.
Q3-Montrer que f(x)=x admet l'unique solution Λ sur [1;4].
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Partie A. 1) Sur l'intervalle [1;4], on a 3x+1⩾4>0: f y est bien définie. La fonction x↦3x+1 est continue et strictement croissante, et la fonction racine carrée est continue et strictement croissante sur [0;+∞[: la composée f est continue et strictement croissante sur [1;4]. 2) La fonction f étant strictement croissante sur [1;4], pour tout x de cet intervalle on a f(1)⩽f(x)⩽f(4), soit 2⩽f(x)⩽13. Or 1<2 et 13<4 (car 13<16), donc l'intervalle [2;13] est inclus dans [1;4]: si x∈[1;4], alors f(x)∈[1;4]. 3) Soit x∈[1;4], donc x⩾1>0: l'équation 3x+1=x, entre quantités positives, équivaut, en élevant au carré, à 3x+1=x2, soit x2−3x−1=0. Le discriminant vaut 9+4=13 et les racines sont x=23±13. La racine 23−13 est négative, donc extérieure à [1;4]. Quant à Λ=23+13, on a 3<13<5, donc 3<Λ<4: ainsi Λ appartient à l'intervalle [1;4], et l'équation admet bien l'unique solution Λ sur [1;4]. Partie B. 4) Initialisation: u0=1, et 1⩽u0=1<Λ (car Λ>3), u0⩽u1=f(1)=2. Hérédité: supposons 1⩽un<Λ et un⩽un+1. Alors, f étant strictement croissante et Λ étant un point fixe (f(Λ)=Λ), on obtient un+1=f(un)<f(Λ)=Λ ; et un+1=f(un)⩾f(1)=2⩾1. Enfin, la fonction x↦f(x)−x, qui ne s'annule pas sur [1;Λ[ et vaut 1 en 1, y reste strictement positive: or un+1∈[1;Λ[, donc f(un+1)>un+1, soit un+2>un+1. Ainsi 1⩽un+1<Λ et un+1⩽un+2. Conclusion: pour tout entier n, 1⩽un<Λ et (un) est croissante. 5) La suite (un) est croissante et majorée par Λ: d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ℓ, qui vérifie ℓ⩽Λ et ℓ⩾u0=1. 6) La fonction f est continue sur l'intervalle [1;Λ], qui contient tous les termes de la suite et sa limite. En passant à la limite dans un+1=f(un), avec la continuité de f et l'unicité de la limite, on obtient ℓ=f(ℓ). Donc ℓ est solution de l'équation f(x)=x sur l'intervalle [1;Λ], inclus dans [1;4]. Or la partie A montre que cette équation n'admet qu'une seule solution sur [1;4], le réel Λ, l'autre racine étant négative et donc hors jeu: on conclut ℓ=Λ=23+13≈3,30. La limite est bien celle promise par l'étude de la fonction, sans qu'aucune valeur approchée n'ait été nécessaire pour l'identifier.
31.La limite d'une suite est la solution encadrée
Partie A. Soient f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=lnx+3 et h la fonction définie sur [2;5] par h(x)=f(x)−x. 1) Justifier que h est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [2;5]. 2) Montrer que l'équation h(x)=0 admet une unique solution α sur l'intervalle [2;5]. 3) Montrer que 4,5<α<4,55, sachant que ln4,5≈1,504 et ln4,55≈1,515. Partie B. On considère la suite (un) définie par u0=3 et un+1=f(un) pour tout entier n. On admet que, pour tout entier n, on a 2⩽un⩽un+1⩽5. 4) Justifier que la suite (un) converge vers un réel ℓ appartenant à l'intervalle [2;5]. 5) En déduire que ℓ=f(ℓ), puis que ℓ est solution de l'équation h(x)=0 sur l'intervalle [2;5]. 6) Conclure que ℓ=α et donner une valeur approchée de la limite de la suite.
Q1-Justifier que h est continue et strictement décroissante sur [2;5].
Q2-Montrer que l'équation h(x)=0 admet une unique solution α sur [2;5].
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x−2x2−ex+3. On pose g(x)=f′(x). 1) Justifier que f est dérivable sur R, montrer que g(x)=2−x−ex, puis que g est strictement décroissante sur R. On admet que x→+∞limg(x)=−∞ et que x→−∞limg(x)=+∞. 2) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α sur R, puis que 0<α<0,5 (on rappelle que e≈2,718). 3) À l'aide des valeurs g(0,4)≈0,108 et g(0,45)≈−0,018, affiner l'encadrement de α. 4) En déduire le signe de g sur R, puis les variations de f: que représente α pour f ? 5) Montrer que eα=2−α, puis que f(α)=1+3α−2α2. 6) En déduire un encadrement du maximum de f.
Q1-Montrer que g(x)=2−x−ex et que g est strictement décroissante sur R.
Q2-Montrer que g s'annule une unique fois, en α, et que 0<α<0,5.
Q4-Vérifier que la valeur conjecturée à la question précédente est l'abscisse d'un point d'intersection de la courbe de f avec la droite d'équation y=x.
Q4-Nombre de solutions de f(x)=6 sur [−3;+∞[.
Q4-Le théorème des valeurs intermédiaires suffit-il ? Conclure à l'aide des variations de f.
Q4-Interpréter ce résultat pour une suite (un) définie par un terme initial u0∈[1;3] et la relation un+1=f(un) pour tout entier n.
Q4-Avec a=1,6, déterminer la masse d'un colis facturé 23 euros.
Q3-Montrer que l'équation f(x)=21 admet une unique solution α sur l'intervalle [1;+∞[.
Q4-Déterminer la valeur exacte de α, puis donner le signe de f(x)−21 sur l'intervalle [1;+∞[.
Q4-Encadrer α à l'aide des valeurs fournies.
Q5-En déduire les variations de f sur [0;π].
Q3-Nombre de solutions de f(x)=23.
Q4-Nombre de solutions de f(x)=e3.
Q5-Nombre de solutions de f(x)=21.
Q6-Nombre de solutions de f(x)=0.
Montrer que 2,5<x0<2,6 puis que 2,56<x0<2,57.
Q4-Quelle largeur minimale, en centimètres entiers, garantit au moins 30 litres ?
Résoudre l'équation f(x)=x dans R.
Q5-En déduire la valeur de ℓ, en écartant soigneusement la solution qui ne convient pas.
Q4-Quelles valeurs s'affichent à l'écran ?
Q5-Le programme affiche-t-il la valeur exacte de t0 ? Interpréter dans le contexte.
Q3-Montrer que les courbes de f1 et f2 admettent un unique point d'intersection, d'abscisse α appartenant à l'intervalle ]0;5[.
Q4-Sachant que h(0,25)≈0,29 et h(0,30)≈−0,35, encadrer α.
Q5-Donner les coordonnées du point d'intersection et la position relative des deux courbes.
Q3-Montrer que l'équation g(x)=0 admet exactement deux solutions sur ]0;+∞[ : le réel 1 et un réel α appartenant à l'intervalle [e;+∞[.
Q4-Sachant que g(4,9)≈−0,013 et g(5)≈0,047, encadrer α.
Q5-En déduire le signe de g sur l'intervalle ]0;+∞[.
Q3-En déduire que f([a;b])=[f(a);f(b)].
Q4-Montrer par l'absurde l'unicité de la solution de f(x)=k.
Q4-Montrer par récurrence que 1⩽un<Λ et que (un) est croissante.
Q5-En déduire la convergence de la suite (un).
Q6-Déterminer la limite de la suite (un).
Q4-Justifier que la suite (un) converge vers un réel ℓ∈[2;5].
Q5-En déduire que ℓ=f(ℓ) puis que ℓ est solution de h(x)=0 sur [2;5].
Q6-Conclure que ℓ=α et donner une valeur approchée de la limite.
Q3-Affiner l'encadrement de α à l'aide des valeurs fournies.
Q4-En déduire le signe de g et les variations de f.
