Exercices de Continuité des fonctions, Terminale (page 2)

Un moteur, arrêté à l'instant $t=0$, est à la température de $80$ degrés Celsius. Sa température, en degrés Celsius, pour tout instant $t⩾0$ exprimé en heures, est modélisée par $T(t)=18+62e^{-0,25t}$. 1) Vérifier que $T(0)=80$, puis déterminer le sens de variation de $T$ sur $[0;+\infty [$ ainsi que sa limite en $+\infty$, et dresser le tableau de variations de $T$. 2) Montrer qu'il existe un unique instant $t_0$ auquel la température du moteur vaut exactement $30$ degrés. 3) On exécute le programme suivant:

from math import exp

t = 0
while 18 + 62*exp(-0.25*t) > 30:
t = t + 0.05
print(t - 0.05, t)

a) Expliquer ce que calcule ce programme. b) On donne $T(6,55)\approx 30,06$ et $T(6,6)\approx 29,91$: quelles valeurs s'affichent à l'écran ? c) En déduire un encadrement de $t_0$, puis répondre à la question posée: au bout de combien de temps, en heures et minutes, est-on sûr que la température du moteur est passée sous les $30$ degrés ?

Une entreprise fabrique et vend des objets. Pour un niveau de production de $q$ centaines d'objets, avec $q$ compris entre $1$ et $20$, le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, est modélisé par $B(q)=2\ln q+10q-q^2$. 1) Justifier que $B$ est définie et continue sur l'intervalle $[1;20]$, puis calculer $B^{\prime }(q)$. 2) Montrer que $B^{\prime }$ s'annule une unique fois sur l'intervalle $[1;20]$, en $\gamma =\frac{5+\sqrt{29}}{2}$, puis dresser le tableau de variations de $B$ (on donne $B(1)=9$, $B(\gamma )\approx 28,3$ et $B(20)\approx -194$). 3) Montrer que l'équation $B(q)=24$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[1;20]$, notées $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha <\gamma <\beta$. 4) On donne $B(3,1)\approx 23,7$, $B(3,2)\approx 24,1$, $B(7,2)\approx 24,1$ et $B(7,3)\approx 23,7$: encadrer $\alpha$ et $\beta$. 5) En déduire l'ensemble des niveaux de production $q$ pour lesquels le bénéfice atteint au moins $24$ milliers d'euros, puis donner un intervalle d'entiers, en nombre d'objets, dont on est sûr qu'ils garantissent tous un bénéfice d'au moins $24$ milliers d'euros. 6) Estimer la production qui maximise le bénéfice, en nombre d'objets.

Après l'injection d'un médicament, sa concentration dans le sang, en milligrammes par litre, en fonction du temps $t⩾0$ exprimé en heures, est modélisée par $C(t)=40t{e}^{-t}$. On admet que $\underset{t\to +\infty }{\lim }t{e}^{-t}=0$. Le médicament est efficace tant que la concentration reste supérieure ou égale à $8$ milligrammes par litre. 1) Justifier que $C$ est continue sur l'intervalle $[0;+\infty [$ et dresser son tableau de variations (on donne $\frac{40}{e}\approx 14,7$). 2) Montrer que l'équation $C(t)=8$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[0;+\infty [$ : une solution $t_1$ appartenant à l'intervalle $[0;1]$ et une solution $t_2$ appartenant à l'intervalle $]1;+\infty [$. 3) On donne $C(0,25)\approx 7,79$, $C(0,26)\approx 8,02$, $C(2,5)\approx 8,21$ et $C(2,6)\approx 7,72$: encadrer $t_1$ et $t_2$. 4) En déduire l'ensemble des instants $t$ pour lesquels le médicament est efficace, puis encadrer la durée d'efficacité $t_2-t_1$.

On modélise un signal électrique par une fonction $s$ définie sur l'intervalle $[0;6]$. La courbe représentative de $s$ est constituée de deux parties : pour $x\in [0;2[$, un segment de droite reliant le point $(0;0)$ au point $(2;4)$ exclu (point creux) ; pour $x=2$, un point isolé de coordonnées $(2;1)$ ; pour $x\in ]2;6]$, un arc de parabole d'équation $y=-(x-2{)}^2+4$ reliant le point creux $(2;4)$ au point $(6;-12)$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;5]$ par $f(x)=\sqrt{2x+8}$. On donne la droite d'équation $y=x$. On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+1}{{\mathrm{e}}^x+2}$.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty [$ par $f(x)=(3x-1)\sqrt{x}$. 1) Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle dérivable ? Justifier. 2) Justifier que $f$ est continue sur $]0;+\infty [$. 3) Étudier la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures et en déduire la continuité de $f$ sur $[0;+\infty [$.

On donne le tableau de variations d'une fonction $g$ continue sur $[-4;6]$ : $g$ est strictement décroissante sur $[-4;-1]$ avec $g(-4)=5$ et $g(-1)=-2$ ; strictement croissante sur $[-1;3]$ avec $g(3)=4$ ; strictement décroissante sur $[3;6]$ avec $g(6)=1$.

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[-2;4]$ vérifiant $f(-2)=7$ et $f(4)=-3$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;\pi ]$ par $f(x)=x\cos (x)+1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\ln 2;+\infty [$ par $f(x)=\ln (2{\mathrm{e}}^x-1)$. 1) Justifier que pour tout $x>-\ln 2$, l'expression $f(x)$ est bien définie. 2) Soit $a=\ln 2$. Calculer la valeur exacte de $f(a)$ et préciser si $a$ est un point fixe de $f$. 3) Le nombre $0$ est-il un point fixe de la fonction $f$ ? Justifier.

Soit $m$ un nombre réel. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)={\mathrm{e}}^{2x}+m$ si $x⩽0$, et $f(x)=\frac{3x+2}{x+1}$ si $x>0$.

On considère l'équation $x^3-4x+1=0$ sur l'intervalle $[0;1]$. 1) Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x^3-4x+1$. Justifier que $f$ est continue sur $[0;1]$. 2) Calculer $f(0)$ et $f(1)$. 3) Démontrer que l'équation $x^3-4x+1=0$ admet au moins une solution $\alpha$ sur $[0;1]$. 4) Calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$ et déterminer son signe sur $[0;1]$. En déduire que la solution $\alpha$ est unique sur $[0;1]$.

Soit $g$ la fonction définie sur $[1;3]$ par $g(x)=x^2+\ln (x)$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;2]$ par $f(x)=(x-1{)}^3+2x$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[1;2]$ par $f(x)=x^3+2x-5$. On admet que $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;2]$, et que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans cet intervalle.

On cherche à encadrer la solution positive de l'équation $x^2-3=0$ sur l'intervalle $[1;2]$. Soit $f(x)=x^2-3$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;2]$ avec $f(1)=-2<0$ et $f(2)=1>0$. L'algorithme de dichotomie initialise $a=1$ et $b=2$. À chaque étape, on calcule le milieu $m=\frac{a+b}{2}$ : si $f(m)<0$, on remplace $a$ par $m$, sinon on remplace $b$ par $m$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x+6}{x+2}$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$. On admet que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n⩾0$ et que la suite $(u_n)$ converge vers un nombre réel $\ell ⩾0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\ln (4-3{\mathrm{e}}^{-x})$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$. On admet que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in [0;+\infty [$. 1) En admettant que $f$ est continue sur $[0;+\infty [$, écrire l'équation vérifiée par la limite $\ell$. 2) Montrer que cette équation équivaut à $({\mathrm{e}}^{\ell }{)}^2-4{\mathrm{e}}^{\ell }+3=0$. 3) En posant $X={\mathrm{e}}^{\ell }$, déterminer les solutions de cette équation. Sachant que pour tout $n$, $u_n⩾1$, en déduire la valeur exacte de $\ell$.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $u_n=\frac{2n^2+1}{n^2+3}$. Pour tout entier $n⩾1$, on pose $v_n=\ln (u_n)$ et $w_n=\sqrt{u_n+2}$. 1) Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 2) Justifier que la fonction logarithme népérien est continue en $\ell$. En déduire la limite de la suite $(v_n)$. 3) Justifier la continuité de la fonction $x\mapsto \sqrt{x+2}$ en $\ell$ et en déduire la limite de la suite $(w_n)$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;4]$ par $f(x)=\frac{3x+4}{x+2}$.

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;3]$ par $g(x)=\sqrt{x+6}$.

Un distributeur d'eau facture le volume consommé $x$ (en mètres cubes) selon la fonction $C$ définie sur $[0;100]$ par : $C(x)=2,5x$ si $0⩽x⩽30$, $C(x)=2x+15$ si $30<x⩽70$, et $C(x)=1,8x+29$ si $70<x⩽100$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^x+2$.

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $g(x)={\mathrm{e}}^x-2x-1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+3x+1$.

Dans une cuve industrielle, la température $T(t)$ en degrés Celsius d'un mélange à l'instant $t$ (en heures, pour $t\in [0;5]$) est modélisée par $T(t)=80-60{\mathrm{e}}^{-0,5t}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\frac{u_n^2+5}{6}$. On admet que pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $1⩽u_{n+1}⩽u_n⩽2$ et que la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $\ell$.

On considère la fonction Python suivante :

def seuil(p):
    x = 1.0
    while x**3 + x < 10:
        x = x + p
    return x - p, x

1) Quelle équation mathématique ce programme cherche-t-il à approcher ? 2) Justifier que l'équation $x^3+x=10$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $[1;3]$. 3) Pour $p=0,1$, déterminer la valeur de la variable $x$ lors de la dernière itération et en déduire le couple renvoyé par l'appel `seuil(0.1)`. 4) Que représente mathématiquement le couple renvoyé par cette fonction pour la solution $\alpha$ ?

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;+\infty [$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x$ et $g(x)=4-x^2$. 1) On pose pour tout $x⩾0$, $h(x)=f(x)-g(x)={\mathrm{e}}^x+x^2-4$. Démontrer que la fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty [$. 2) Calculer $h(1)$ et $h(2)$, puis justifier que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;+\infty [$. 3) Que peut-on en déduire pour les courbes représentatives de $f$ et $g$ sur $[0;+\infty [$ ? Préciser les coordonnées de leur point d'intersection en fonction de $\alpha$. 4) Déterminer le signe de $h(x)$ et en déduire la position relative des courbes de $f$ et $g$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-2){\mathrm{e}}^x$.