Exercices de Continuité des fonctions en maths Terminale (page 3) | The Maths Tailor
Exercices de Continuité des fonctions, Terminale (page 3)
108 exercices de Continuité des fonctions pour les maths Terminale, avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Notion de continuité, Théorème des valeurs intermédiaires, Application à l'étude de suites.
On considère la fonction g définie sur [0;2] par g(x)=ex+2x−4. On admet que la fonction g est continue et strictement croissante sur [0;2], et que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α dans cet intervalle.
Q1-Calculer les valeurs de g(0,8) et g(0,9) arrondies à 10−3 près. En déduire un premier encadrement de α au dixième.
Q2-Calculer les valeurs de g(0,84) et g(0,85) arrondies à 10−3 près.
Une fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [1;3], avec f(1)=−2 et f(3)=4. L'équation f(x)=0 possède donc une unique solution α∈[1;3]. On applique l'algorithme de dichotomie pour déterminer un encadrement de α d'amplitude inférieure ou égale à 0,5. On donne les valeurs calculées : f(2)=1,5 et f(1,5)=−0,4.
Q1-À la première étape, quel est le milieu m de l'intervalle [1;3] ? Quel sous-intervalle conserve-t-on ? Justifier en observant le signe de f(m).
Q2-À la deuxième étape, quel est le nouveau milieu ? Quel intervalle retient-on ensuite ?
Q3-Quelle est l'amplitude de l'intervalle obtenu après ces deux étapes ? Conclure en donnant l'encadrement final de α.
88.Tarification de recharge électrique et continuité aux changements de palier
Une station de recharge rapide facture le coût C(x) (en euros) en fonction de l'énergie rechargée x (en kilowattheures, pour x∈[0;50]) selon trois paliers : - Pour 0⩽x⩽10 : C(x)=0,35x ; - Pour 10<x⩽30 : C(x)=0,25x+1 ; - Pour 30<x⩽50 : C(x)=0,20x+3,5.
Q1-Étudier la continuité de la fonction coût C en x=10.
Q2-Étudier la continuité de la fonction coût C en x=30.
Q3-Interpréter concrètement le résultat obtenu en x=30 pour un automobiliste qui recharge son véhicule.
90.Étude complète et corollaire du théorème des valeurs intermédiaires avec exponentielle
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x−2)ex+3.
Q1-Déterminer la fonction dérivée f′, étudier son signe sur R et dresser le tableau de variations de f (on admet que x→−∞limf(x)=3 et x→+∞limf(x)=+∞).
Q2-Montrer que le minimum de f sur R est strictement positif.
Q3-Démontrer que l'équation f(x)=5 admet une unique solution α sur l'intervalle [1;+∞[.
Q4-Justifier que l'équation f(x)=5 n'admet aucune solution sur l'intervalle ]−∞;1].
92.Nombre de solutions d'une équation selon un paramètre réel
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x2+14x. On admet que f est dérivable sur R, avec f′(x)=(x2+1)24(1−x2), et que x→−∞limf(x)=0 et x→+∞limf(x)=0.
Q1-Dresser le tableau de variations de f en faisant apparaître les extremums locaux.
Q2-Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=2,5.
Q3-Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=2.
Q4-Discuter, selon les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l'équation f(x)=m sur R.
93.Seuil d'alerte de pollution aux particules fines
La concentration de particules fines dans l'air d'une agglomération (en microgrammes par mètre cube) est modélisée au cours d'une journée par la fonction C définie sur [0;24] par : C(t)=30+15te−0,2t, où t est le temps écoulé depuis minuit, exprimé en heures. On admet que C est strictement croissante sur [0;5] et atteint en t=5 son pic journalier avec C(5)≈57,6 microgrammes par mètre cube.
Q1-Calculer la concentration C(0) à minuit.
Q2-Le seuil d'alerte à la pollution est fixé à 50 microgrammes par mètre cube. Démontrer que sur l'intervalle [0;5], la concentration atteint ce seuil d'alerte à un unique instant noté t1.
Q3-À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de t1 d'amplitude 0,1 heure.
94.Tri des points fixes pour identifier la limite d'une suite
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=3x2+2. Soit (un) la suite définie par u0=0,5 et, pour tout entier naturel n, un+1=f(un). On admet que la suite (un) est croissante et que tous ses termes appartiennent à l'intervalle [0,5;1]. Elle converge donc vers une limite finie ℓ∈[0,5;1].
Q1-Résoudre dans R l'équation f(x)=x.
Q2-Justifier que la limite ℓ de la suite vérifie l'égalité f(ℓ)=ℓ.
Q3-Déterminer la valeur exacte de ℓ en éliminant la solution non recevable.
95.Analyse d'un algorithme Python de recherche de racine
On considère la fonction g définie sur [1;2] par g(x)=x3+2x−5. On admet que g est continue et strictement croissante sur [1;2], avec g(1)=−2 et g(2)=7. L'équation g(x)=0 admet donc une unique racine α∈[1;2]. On considère le programme Python suivant :
def dichotomie(eps):
a = 1.0
b = 2.0
while b - a > eps:
m = (a + b) / 2
if m**3 + 2 * m - 5 < 0:
a = m
else:
b = m
return a, b
Q1-Expliquer le rôle des variables a, b et m ainsi que la condition `b - a > eps`.
Q2-Pourquoi l'instruction `a = m` est-elle exécutée lorsque la condition `m**3 + 2*m - 5 < 0`, c'est-à-dire g(m)<0, est vérifiée ?
Q3-Déterminer les valeurs prises par a et b après la première puis la deuxième itération de la boucle.
96.Point d'intersection de deux courbes par fonction auxiliaire
Dans un repère, on note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f(x)=ex et g(x)=4−x2 définies sur [0;2]. On pose, pour tout x∈[0;2], h(x)=f(x)−g(x)=ex+x2−4.
Q1-Étudier le sens de variation de la fonction h sur [0;2].
Q2-Démontrer que les courbes Cf et Cg se coupent en un unique point A d'abscisse α∈[0;2].
97.Démonstration de l'unicité dans le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] (a<b). On suppose que f est continue et strictement croissante sur [a;b]. Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins un réel c∈[a;b] tel que f(c)=k.
Q1-Rappeler la définition mathématique d'une fonction strictement croissante sur [a;b].
Q2-Démontrer par l'absurde que le réel c vérifiant f(c)=k est unique : supposer qu'il existe deux réels distincts c1 et c2 dans [a;b] tels que f(c1)=k et f(c2)=k, et aboutir à une contradiction.
98.Étude complète d'une suite récurrente avec fonction homographique
Partie A : Étude d'une fonction Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x+22x+1. Partie B : Étude de la suite On considère la suite (un) définie par u0=0 et, pour tout n∈N, un+1=f(un).
Q1-Calculer f′(x) et justifier que f est strictement croissante sur [0;1].
Q2-Démontrer que le segment [0;1] est stable par f.
Q3-Résoudre dans l'intervalle [0;1] l'équation f(x)=x.
99.Convergence d'une suite vers l'unique solution d'une équation transcendante
Partie A : Existence et unicité d'une solution On considère la fonction g définie sur [0;1] par g(x)=e−x−x. Partie B : Limite de la suite récurrente On pose f(x)=e−x et on considère la suite (un) définie par u0=0,5 et un+1=f(un) pour tout n∈N. On admet que la suite (un) converge vers un réel noté ℓ, et que pour tout n, un∈[0;1].
Q1-Justifier que g est continue et strictement décroissante sur [0;1].
Q2-Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α dans [0;1].
Q3-Justifier que le réel ℓ appartient à [0;1], puis prouver que f(ℓ)=ℓ en précisant les arguments de continuité nécessaires.
100.Fonction auxiliaire, extremum et simplification par la relation du point d'annulation
Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur [0;2] par g(x)=2x+1−ex. Partie B : Exploitation de la relation On considère la fonction f définie sur [0;2] par f(x)=x2+x−ex.
Q1-Étudier les variations de g sur [0;2].
Q2-Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α sur [1;2], et donner un encadrement de α au dixième.
101.Pharmacocinétique, temps de demi-élimination et algorithme de recherche
Après l'administration d'un médicament, la concentration plasmatique du principe actif (en milligrammes par litre) est modélisée au cours du temps t (en heures, pour t∈[0;12]) par la fonction C définie par : C(t)=8te−0,5t.
Q1-Calculer la dérivée C′(t) et dresser le tableau de variations complet de la fonction C sur [0;12].
Q2-Vérifier que la concentration maximale est atteinte à l'instant t=2 et calculer sa valeur exacte ainsi qu'une valeur approchée à 10−3 près.
102.Plage de rentabilité d'une production sur deux branches
Une entreprise fabrique des composants électroniques. Le résultat financier mensuel pour une production de x centaines de composants (x∈[1;15]) est modélisé par la fonction B définie par : B(x)=(20−2x)ln(x)−4, où B(x) est exprimé en milliers d'euros.
Q1-On admet que la fonction B est continue sur [1;15] et qu'il existe un réel x0 de ]4;5[ tel que B soit strictement croissante sur [1;x0] et strictement décroissante sur [x0;15]. Calculer la valeur exacte de B(1), puis donner les valeurs de B(4) et B(15) arrondies au centième.
On considère la fonction f définie et continue sur [0;+∞[ et la suite (un) définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, un+1=f(un).
u0=5 et f(x)=21x+2
Q1-Établir les variations de la fonction f : dérivée, signe de la dérivée.
Q2-➜ En s'aidant de la calculatrice, représenter dans un repère la fonction f et la droite d'équation y=x. ➜ Représenter sur l'axe des abscisses, à l'aide d'un « escalier » ou d'une « spirale », les premiers termes de la suite (un). ➜ Marquer en vert l'escalier ou la spirale.
Q3-En déduire graphiquement le comportement de la suite (un) à l'infini.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=e0,1x et la suite (un) définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n, un+1=f(un).
1) Établir les variations de la fonction f : dérivée, signe de la dérivée.
2) Représenter dans un repère la fonction f et la droite d'équation y=x, puis représenter sur l'axe des abscisses, à l'aide d'un « escalier » ou d'une « spirale », les premiers termes de la suite (un).
3) En déduire graphiquement le comportement de la suite (un) à l'infini.
4) En cas de convergence, déterminer par calcul la valeur exacte de la limite de la suite (un).
On considère la fonction f définie sur ]−∞;5[∪]5;+∞[ par f(x)=5−x4 et la suite (un) définie par u0=6 et, pour tout entier naturel n, un+1=f(un).
1) Établir les variations de la fonction f : dérivée, signe de la dérivée.
2) Représenter dans un repère la fonction f et la droite d'équation y=x, puis représenter sur l'axe des abscisses, à l'aide d'un « escalier » ou d'une « spirale », les premiers termes de la suite (un).
3) En déduire graphiquement le comportement de la suite (un) à l'infini.
4) En cas de convergence, déterminer par calcul la valeur exacte de la limite de la suite (un).
Une publicité vue sur internet annonce : « Le prix de l'article = le pourcentage de réduction ». Elle montre un top à 22 € affiché avec une réduction de 22 % et une robe à 35 € affichée avec une réduction de 35 %. En petits caractères, on lit : « Offre valable sur les produits d'une valeur inférieure ou égale à 50 €. Le prix initial de l'article égale le pourcentage de réduction. Pour les produits d'une valeur supérieure à 50 €, une réduction de 50 % sera appliquée. »
Q1-Le prix de la robe après réduction est de 22,75 €. Justifier.
Q2-Calculer le prix du top après réduction.
Q3-Retrouver le prix de départ d'un article coûtant 24 € après réduction.
Q4-Pourquoi le magasin est obligé d'imposer une valeur limite au-delà de laquelle la promotion n'est plus appliquée ?
On reprend la publicité de la partie 1 : pour un article d'une valeur inférieure ou égale à 50 €, le pourcentage de réduction est égal au prix initial ; au-delà de 50 €, la réduction est de 50 %. On note f la fonction définie sur l'intervalle [0;100] par : f(x)=x−100x2.
Q1-Que représente f(x) lorsque x représente le prix d'un article en euros ? Justifier.
Q2-Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Q3-Jusqu'à quel prix la formule f(x)=x−100x2 est-elle valable selon la publicité ? Quelle formule doit-on utiliser ensuite ?
Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 1 par valeurs supérieures.
Q4-La fonction f est-elle continue sur R ? Justifier avec soin.
Q4-Peut-on affirmer, à ce stade, que cette solution est unique ? Justifier.
Q3-Justifier que f est strictement croissante sur [1;3], bien que sa dérivée s'annule en un point.
Q4-Démontrer que l'équation f(x)=7 admet une unique solution sur [1;3].
Q3-En déduire un encadrement de α au centième.
Q3-En citant le théorème du cours sur l'image d'une suite convergente par une fonction continue, déterminer la limite de la suite (vn).
Q3-Démontrer que l'équation f(x)=1 admet une unique solution α sur [0;+∞[ et déterminer sa valeur exacte par le calcul.
Q4-L'équation f(x)=2 admet-elle des solutions sur [0;+∞[ ? Justifier soigneusement.
Q4-En déduire à quelle heure et à quelle minute près ce seuil est franchi.
Q3-Déterminer un encadrement de α au dixième par balayage.
Q4-En déduire la position relative des courbes Cf et Cg sur [0;2].
Q3-Donner un exemple de fonction strictement croissante sur un intervalle mais non continue pour laquelle l'équation f(x)=k ne possède aucune solution pour une certaine valeur intermédiaire k.
Q4-On admet que pour tout entier n, 0⩽un⩽un+1⩽1. Justifier que la suite (un) converge vers une limite réelle ℓ∈[0;1].
Q5-En énonçant avec précision le théorème sur la limite d'une suite définie par récurrence, déterminer la valeur exacte de la limite ℓ.
Q4-En déduire que ℓ est solution de l'équation g(x)=0 sur [0;1], puis que ℓ=α.
Q5-À l'aide de la calculatrice, donner la valeur de ℓ arrondie à 10−2 près.
Q4-Calculer f′(x) et montrer que pour tout x∈[0;2], f′(x)=g(x).
Q5-Dresser le tableau de variations de f sur [0;2] et en déduire qu'elle admet un maximum en α.
Q6-En exploitant l'égalité g(α)=0, montrer que f(α)=α2−α−1.
Q7-En utilisant l'encadrement au dixième de α, donner un encadrement de f(α).
Q3-On appelle temps de demi-élimination post-pic l'instant ts∈[2;12] auquel la concentration retombe à la moitié de sa valeur maximale, soit 8e−1 milligrammes par litre. Démontrer que cet instant ts existe et est unique dans l'intervalle [2;12].
Q4-Écrire en Python une fonction `temps_seuil(precision)` utilisant l'algorithme de dichotomie pour renvoyer un encadrement de ts d'amplitude inférieure ou égale à `precision`.
Q2-Démontrer que l'équation B(x)=0 admet exactement deux solutions α et β sur [1;15], avec α∈[1;4] et β∈[4;15].
Q3-À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de α et de β.
Q4-L'entreprise réalise un bénéfice lorsque B(x)⩾0. Déterminer le nombre minimal et le nombre maximal de composants que l'entreprise doit produire par mois pour être rentable.
Q4-En cas de convergence, déterminer par calcul la valeur exacte de la limite de la suite (un).
Q5-À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement au centième de la solution α.
Q6-Retrouver la valeur exacte du résultat par calcul.
