Exercices de Convexité, Terminale

1. La fonction $x\mapsto x^2$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f^{\prime }(x)=2x$ puis $f^{\prime \prime }(x)=2$. Pour tout réel $x$, $f^{\prime \prime }(x)=2>0$ : la fonction carré est donc convexe sur $\mathbb{R}$.
2. La fonction $\ln$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty [$, avec $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ puis $(\ln x{)}^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}$. Pour tout $x>0$, on a $x^2>0$, donc $-\frac{1}{x^2}<0$ : la dérivée seconde est strictement négative sur $]0;+\infty [$, et la fonction $\ln$ est concave sur $]0;+\infty [$. Attention à ne pas oublier le signe moins dans $-\frac{1}{x^2}$ : c'est lui qui donne la concavité.

Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de la dérivée seconde, pas à sa simple annulation. En $x=-1$, $h^{\prime \prime }$ passe de strictement négative à strictement positive : la courbe de $h$ traverse sa tangente et admet un point d'inflexion d'abscisse $-1$. En $x=3$, $h^{\prime \prime }$ s'annule mais reste strictement positive de part et d'autre : il n'y a pas de changement de signe, donc pas de point d'inflexion en $3$. En $x=7$, $h^{\prime \prime }$ passe de strictement positive à strictement négative : il y a un point d'inflexion d'abscisse $7$. La courbe de $h$ admet donc exactement deux points d'inflexion, d'abscisses $-1$ et $7$.