Exercices de Convexité, Terminale (page 2)

Soit $g$ une fonction dérivable sur $[1;9]$. On sait que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1;9]$, la courbe de $g$ est située en dessous de la tangente à cette courbe au point d'abscisse $x$. La fonction $g$ est-elle convexe ou concave sur $[1;9]$ ? Peut-on en conclure que $g$ est concave sur $[0;10]$ ? Justifier.

Soit $v$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $v(x)=\frac{1}{x^2}$. Calculer $v^{\prime \prime }(x)$ et en déduire la convexité de $v$ sur $]0;+\infty [$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+3x^2-5x+2$. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$, étudier son signe, puis donner les intervalles de $\mathbb{R}$ sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels $f$ est concave.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-9x^2+12x-1$. Déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe de $f$, en vérifiant tous les arguments nécessaires.

Démontrer que la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$, puis donner l'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $3$ et préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente.

Soient $A$ et $B$ les points de la courbe de la fonction logarithme népérien d'abscisses respectives $1$ et $e^2$. Justifier que $\ln$ est concave sur $]0;+\infty [$, déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$, puis donner la position de la courbe de $\ln$ par rapport à cette droite sur $[1;e^2]$. Vérifier la cohérence du résultat en comparant $\ln (e)$ à l'ordonnée de la droite $(AB)$ en $x=e$.

À l'aide de la concavité de la fonction logarithme népérien, démontrer que pour tout réel $x>0$ : $\ln (x)⩽\ln (3)+\frac{x-3}{3}$. Préciser le cas d'égalité.

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=x+\frac{1}{x}$. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ puis étudier la convexité de $f$ sur chacun des deux intervalles de son domaine de définition. La fonction $f$ est-elle convexe sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4+6x^2+5$. Montrer que $f^{\prime \prime }$ est un trinôme du second degré qui ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, et en déduire que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et que sa courbe n'admet aucun point d'inflexion.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;6]$ par $f(x)=6x-x^2$. Soient $A$ et $B$ les points de sa courbe d'abscisses respectives $1$ et $5$. Démontrer que la droite $(AB)$ est la droite d'équation $y=5$, puis que la courbe de $f$ est au-dessus de cette droite sur tout l'intervalle $[1;5]$.

Une fonction $f$ est définie et dérivable sur $[-4;4]$. On donne son tableau de variations : $f$ est strictement décroissante sur $[-4;1]$, strictement croissante sur $[1;4]$, avec $f(-4)=5$, $f(1)=-2$ et $f(4)=1$. On donne aussi le signe de $f^{\prime \prime }$ : strictement négatif sur $[-4;0[$, nul en $0$, strictement positif sur $]0;4]$. Sans aucun calcul supplémentaire, décrire l'allure de la courbe de $f$ : sens de variation, convexité, position par rapport aux tangentes et point d'inflexion éventuel.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x}$. Établir la convexité de $f$ sur $]0;+\infty [$, donner l'équation de sa tangente au point d'abscisse $1$, puis en déduire que pour tout $x>0$ : $x+\frac{1}{x}⩾2$. Préciser le cas d'égalité.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-4x+5)e^x$. Une étude précédente a établi que $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2{e}^x$ et que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. En repartant de ce résultat, calculer $f^{\prime \prime }(x)$, étudier son signe, puis donner les intervalles de convexité et de concavité de $f$ et les coordonnées de ses éventuels points d'inflexion.

Démontrer que pour tout réel $x>0$ : $\ln (x)⩾1-\frac{1}{x}$. Préciser le cas d'égalité.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{x^2-2x}$. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$, montrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, puis dire si sa courbe admet un point d'inflexion.

On considère l'équation $e^x=x+3$ d'inconnue réelle $x$. Montrer, en étudiant la convexité et les variations d'une fonction auxiliaire bien choisie, que cette équation admet exactement deux solutions réelles, puis donner un encadrement d'amplitude $1$ de chacune d'elles.

La hauteur, en centimètres, d'un plant de tomate $t$ jours après la plantation est modélisée, pour $t\in [0;20]$, par $h(t)=60\left(1-e^{-t/10}\right)$. Calculer $h^{\prime }(t)$ et $h^{\prime \prime }(t)$, étudier leur signe sur $[0;20]$, puis interpréter : la plante grandit-elle de plus en plus vite ou de moins en moins vite ? Que représente le nombre $60$ dans ce modèle ?

Soit $a$ un nombre réel et $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_a(x)=x^4+a{x}^2$. Déterminer, selon les valeurs de $a$, le nombre de points d'inflexion de la courbe de $f_a$ et, le cas échéant, donner leurs abscisses.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3^x$. En écrivant $3^x=e^{x\ln 3}$, vérifier que $f^{\prime \prime }(x)=(\ln 3{)}^2{3}^x$ et en déduire la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$. En utilisant la position de la courbe par rapport à la corde reliant les points $A(1;3)$ et $B(3;27)$ de cette courbe, comparer sans calculatrice $f(2)$ et $\frac{f(1)+f(3)}{2}$.

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=(\ln (x){)}^2$. Une étude précédente a établi que $g^{\prime }(x)=\frac{2\ln (x)}{x}$, que $g$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty [$, avec un minimum nul atteint en $1$. En repartant de ces résultats, calculer $g^{\prime \prime }(x)$, étudier son signe sur $]0;+\infty [$ et donner les coordonnées du point d'inflexion de la courbe de $g$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2{e}^{-x}$. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$, montrer que la courbe de $f$ admet exactement deux points d'inflexion et donner, à l'aide de $\sqrt{2}$, les abscisses de ces points.

Un atelier de menuiserie modélise le coût total de production de $q$ dizaines d'étagères, pour $q\in [0;10]$, par $C(q)=q^3-6q^2+15q+30$, exprimé en centaines d'euros. Le coût marginal est assimilé à la dérivée $C^{\prime }(q)$. Calculer $C^{\prime \prime }(q)$, étudier son signe sur $[0;10]$, puis interpréter : sur quel intervalle le coût marginal diminue-t-il, sur quel intervalle augmente-t-il ? Quel est le lien avec la convexité du coût total ?

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$. On suppose que $f^{\prime \prime }(x)⩽0$ pour tout $x$ de $I$. Démontrer que la courbe représentative de $f$ est en dessous de chacune de ses tangentes, c'est-à-dire que pour tous réels $a$ et $x$ de $I$ : $f(x)⩽f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$. Rédiger la démonstration complète à l'aide d'une fonction auxiliaire.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+2)e^{1-x}$. Partie A : une étude précédente a établi que $f^{\prime }(x)=-(x+1)e^{1-x}$, que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;+\infty [$, avec un maximum égal à $e^2$ atteint en $-1$. Partie B : en repartant de ces résultats, calculer $f^{\prime \prime }(x)$, étudier son signe, déterminer les coordonnées du point d'inflexion de la courbe de $f$ puis l'équation réduite de la tangente à la courbe en ce point.

Démontrer que pour tout réel $x⩾0$ : $e^x⩾1+x+\frac{x^2}{2}$. Aucune méthode n'est indiquée : construire une fonction auxiliaire et étudier ses variations à l'aide de sa dérivée seconde. Préciser le cas d'égalité.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables et convexes sur un même intervalle $I$. En utilisant la position de la courbe d'une fonction convexe par rapport à ses tangentes, démontrer que la fonction $h=f+g$ est convexe sur $I$. Appliquer ensuite le résultat à la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=e^x+x^2$, en justifiant la convexité de chacune des deux fonctions additionnées.

Une fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On ne dispose d'aucune expression de $f$, $f^{\prime }$ ou $f^{\prime \prime }$, mais on connaît le tableau de variations de $f^{\prime }$ : $f^{\prime }$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;-3]$, avec $f^{\prime }(-5)=0$ et $f^{\prime }(-3)=-2$, puis strictement croissante sur $[-3;+\infty [$, avec $f^{\prime }(1)=0$. Sans calculer aucune dérivée seconde, dresser le tableau de signes de $f^{\prime }$, donner le sens de variation de $f$, déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ et préciser l'abscisse du point d'inflexion de sa courbe.

Dans un lycée, cinq élèves connaissent une nouvelle à midi. On admet que la vitesse de propagation de cette nouvelle est proportionnelle au nombre d'élèves qui la connaissent déjà : si $N(t)$ désigne le nombre d'élèves informés $t$ heures après midi, on a $N(t)=C{e}^{kt}$ pour des constantes réelles $C$ et $k$ à déterminer. À $14$ heures, $80$ élèves sont informés. Déterminer l'expression de $N(t)$, étudier la convexité de $N$ sur $[0;4]$, puis interpréter : tant qu'aucune saturation n'intervient, la propagation s'accélère-t-elle ou ralentit-elle ?

Soit $f$ une fonction convexe sur un segment $[a;b]$. En utilisant la définition de la convexité par la position de la courbe par rapport à ses sécantes, démontrer que pour tout réel $x$ de $[a;b]$ : $f(x)⩽\max (f(a);f(b))$, où $\max$ désigne le plus grand des deux nombres $f(a)$ et $f(b)$. Que traduit ce résultat pour le maximum d'une fonction convexe sur un segment ? Appliquer ensuite le résultat à la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-4x+7$ sur $[1;5]$ et le vérifier en $x=3$.

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=x-2\ln (x)$. Étudier les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$, puis ses variations. Étudier ensuite la convexité de $g$, démontrer que sa courbe est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $2$, et en déduire que pour tout $x>0$ : $x-2\ln (x)⩾2-2\ln (2)$.

Soit $f$ la fonction exponentielle et $A$ et $B$ les points de sa courbe d'abscisses respectives $0$ et $1$. En utilisant la convexité de l'exponentielle, démontrer que pour tout réel $x$ de $[0;1]$ : $e^x⩽1+(e-1)x$. Préciser les cas d'égalité, puis vérifier la cohérence du résultat en comparant $\sqrt{e}$ et $\frac{1+e}{2}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Calculer la dérivée première $f^{\prime }(x)$, puis la dérivée seconde $f^{\prime \prime }(x)$ pour tout réel $x\in ]1;+\infty [$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x^2-5x+4$. Justifier que la fonction $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$ en utilisant sa dérivée seconde.

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2+{\mathrm{e}}^{-2x}$. Calculer $h^{\prime \prime }(x)$ pour tout réel $x$, et préciser son signe sur $\mathbb{R}$.

Une fonction $f$, deux fois dérivable sur $[-2;4]$, vérifie $f^{\prime \prime }(x)⩽0$ pour tout $x\in [-2;4]$. Que peut-on en déduire pour la position de la courbe de $f$ par rapport à ses tangentes sur cet intervalle ?

Le tableau ci-dessous décrit le signe de la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ d'une fonction $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ :
- sur $]-\infty ;-1[$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ ;
- pour $x=-1$, $f^{\prime \prime }(-1)=0$ ;
- sur $]-1;3[$, $f^{\prime \prime }(x)<0$ ;
- pour $x=3$, $f^{\prime \prime }(3)=0$ ;
- sur $]3;+\infty [$, $f^{\prime \prime }(x)>0$.
Préciser les abscisses des points d'inflexion de la courbe représentative de $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x^2\ln (x)$. Calculer $f^{\prime }(x)$ puis $f^{\prime \prime }(x)$ pour tout réel $x>0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-6x^2+8x-1$. Déterminer les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-9x^2+12x-5$. Déterminer les coordonnées exactes du point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.