Exercices de Convexité, Terminale (page 3)

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln (x)$ sur l'intervalle $[1;{\mathrm{e}}^2]$. On note $A$ et $B$ les points de la courbe de $f$ d'abscisses respectives $1$ et ${\mathrm{e}}^2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.

Soit $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=x^4+2x^3+3x^2-4x+1$. Démontrer que la courbe représentative de $P$ ne possède aucun point d'inflexion et préciser la convexité de $P$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{2x+1}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x+\frac{4}{x}$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x+5$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+1){\mathrm{e}}^{-x}$.

Soit $m$ un nombre réel et soit $f_m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x)=x^4+m{x}^2+3x-2$.

La quantité d'un principe actif présent dans le sang, en milligrammes par litre, à l'instant $t$ (exprimé en heures, pour $t\in [0;6]$), est modélisée par la fonction $C(t)=10t^2{\mathrm{e}}^{-t}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x+x^2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$.

Une grandeur biologique est modélisée sur $[0;+\infty [$ par $g(t)=\frac{10}{1+4{\mathrm{e}}^{-t}}$.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée première est donnée par $f^{\prime }(x)=(x^2-4){\mathrm{e}}^x$.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x\in I$, $f^{\prime \prime }(x)⩾0$. Soit $a$ un réel fixé de $I$. On note $T_a$ la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$, d'équation $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$. On pose, pour tout $x\in I$, $d(x)=f(x)-[f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)]$.

Démontrer que pour tout réel $x⩾0$, on a ${\mathrm{e}}^x⩾1+x+\frac{x^2}{2}$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions deux fois dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-4;5]$. On ne connaît pas l'expression de $f$, mais on dispose du tableau de variations de sa fonction dérivée $f^{\prime }$ :
- $f^{\prime }$ est strictement décroissante sur $[-4;-1]$, avec $f^{\prime }(-4)=3$ et $f^{\prime }(-1)=-2$ ;
- $f^{\prime }$ est strictement croissante sur $[-1;2]$, avec $f^{\prime }(2)=5$ ;
- $f^{\prime }$ est strictement décroissante sur $[2;5]$, avec $f^{\prime }(5)=0$.

Un site industriel produit chaque jour une quantité $x$ de biomatériaux, avec $x\in [0;10]$ exprimé en centaines de tonnes. La fonction de coût total de production, en dizaines de milliers d'euros, est modélisée par $C(x)=x^3-9x^2+30x+20$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-2){\mathrm{e}}^x+x+2$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ dérivable sur $[-1;4]$.La courbe passe par les points de coordonnées $(0;0)$, $(1;-0,5)$, $(2;-1)$ et $(3;0)$.

1. Par lecture graphique, indiquer sur quel intervalle la courbe est située au-dessus de ses tangentes et sur quel intervalle elle est située en dessous.
2. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe, puis ceux sur lesquels elle est concave.
3. La courbe admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[-1;5]$. On donne ci-dessous la courbe ${\mathcal{C}}^{\prime }$ de sa fonction dérivée $f^{\prime }$.La courbe ${\mathcal{C}}^{\prime }$ passe par les points de coordonnées $(1;0)$, $(2;-1)$ et $(3;0)$.

1. Lire sur le graphique les intervalles sur lesquels $f^{\prime }$ est décroissante et ceux sur lesquels $f^{\prime }$ est croissante.
2. En déduire les intervalles sur lesquels la courbe de $f$ est concave, puis ceux sur lesquels elle est convexe.
3. Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de $f$ ? Justifier.
4. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en ce point d'inflexion ?

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[-3;5]$. On donne ci-dessous la courbe ${\mathcal{C}}^{\prime \prime }$ de sa dérivée seconde $f^{\prime \prime }$.La courbe ${\mathcal{C}}^{\prime \prime }$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $3$ et passe par le point $(1;-2)$.

1. Lire le signe de $f^{\prime \prime }$ sur chacun des intervalles $[-3;-1]$, $[-1;3]$ et $[3;5]$.
2. En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux sur lesquels $f$ est concave.
3. La courbe de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, donner leurs abscisses.
4. Préciser les variations de la fonction dérivée $f^{\prime }$ sur $[-3;5]$.

On considère la fonction $t$ définie sur $[-6;-5,5]$ par $t(x)=e^{-8x-48}-1$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-6;-5]$ par $f(x)=8,5(x+5,5{)}^3+x+7,1$.

On considère la fonction $g$ définie sur $[-5;-1]$ par $g(x)=7-e^{\frac{x^2}{3}+2x+3}$.

On considère la fonction $c$ définie sur $[-1;0,5]$ par $c(x)=1,8x^2+0,1x+1,5$.

On considère la fonction $v$ définie sur $[0,5;3]$ par $v(x)=3,5-e^{\frac{(2x-3{)}^2}{10}}$.

Fonction $j$ : LA JAMBE
On considère la fonction $j$ définie sur $[3;4]$ par $j(x)=-\frac{1}{3}x+2$.
Représenter la fonction $j$ dans le même repère.

Fonction $p$ : LA PATTE
On considère la fonction $p$ définie sur $[4;6]$ par $p(x)=4,2-e^{(1,2x-5,92{)}^2}$.