Exercices de Dérivation, Terminale

1. Dérivée et variations :$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$Signe de $f^{\prime }(x)$ : $f^{\prime }(x)>0$ pour $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ pour $-1<x<1$, $f^{\prime }(x)>0$ pour $x>1$.

Tableau de variations :
- $f$ croissante sur $]-\infty ,-1]$
- $f$ décroissante sur $[-1,1]$
- $f$ croissante sur $[1,+\infty [$

2. Extrema :

$f(-1)=-1+3+2=4$ : maximum local.

$f(1)=1-3+2=0$ : minimum local.

3. Solutions de l'équation $f(x)=0$ :

- Sur $]-\infty ,-1]$, $f$ est continue et strictement croissante, avec $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ et $f(-1)=4>0$ : par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction strictement monotone, l'équation $f(x)=0$ y admet une unique solution $x_1\in ]-\infty ,-1[$.
- Sur $[-1,1]$, $f$ est strictement décroissante de $4$ à $0$ : $f(x)>0$ pour $-1\le x<1$ et $f(1)=0$, donc $x=1$ est la seule solution sur cet intervalle. Sur $]1,+\infty [$, $f$ est strictement croissante, donc $f(x)>f(1)=0$ : aucune solution.
- Détermination de $x_1$ : $f(-2)=-8+6+2=0$ avec $-2<-1$, donc $x_1=-2$. On le confirme en vérifiant que $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ (développement : $(x^2-2x+1)(x+2)=x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2=x^3-3x+2$). Donc les racines sont $x=1$ (double) et $x=-2$.

L'équation $f(x)=0$ admet donc exactement deux solutions réelles : $-2$ et $1$ ($1$ étant racine double).

1. La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty [$. Ainsi, $f(x)$ est définie si et seulement si :
$6-2x⩾0⟺2x⩽6⟺x⩽3$.
L'ensemble de définition de $f$ est donc $D_f=]-\infty ;3]$.

2. La fonction $x\mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable en tout point où la fonction $u$ est dérivable et strictement positive :
$u(x)>0⟺6-2x>0⟺x<3$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $]-\infty ;3[$.
En $x=3$, pour $h<0$ : $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{\sqrt{-2h}}{h}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-h}}$, qui tend vers $-\infty$ quand $h$ tend vers $0$ : $f$ n'est pas dérivable en $3$. L'ensemble de dérivabilité de $f$ est donc $]-\infty ;3[$.

Pour tout $x<3$, on a $u^{\prime }(x)=-2$, d'où :
$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{-2}{2\sqrt{6-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{6-2x}}$.