Exercices de Dérivation, Terminale (page 2)

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\sqrt{2x^2-4x+5}$. Justifier que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et expliciter sa fonction dérivée $h^{\prime }(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{x^3-3x}$. Justifier la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa dérivée $f^{\prime }(x)$.

On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. On note $f=v\circ u$. Sachant que $u(1)=4$, $u^{\prime }(1)=-2$, $v(1)=3$, $v^{\prime }(1)=7$, $v(4)=-5$ et $v^{\prime }(4)=6$, déterminer la valeur du nombre dérivé $f^{\prime }(1)$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{7-2x}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{1-\frac{2}{x}}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty [$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{\frac{2x-3}{x+1}}$. Déterminer la fonction dérivée de $f$ sur $]-1;+\infty [$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(2x-1{)}^4-4{\mathrm{e}}^{-2x+1}$. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$ et factoriser l'expression obtenue.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-3){\mathrm{e}}^{-2x}$. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=2(-x^2+x+3){\mathrm{e}}^{-2x}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=x^2\sqrt{2x+1}$. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et montrer que pour tout $x>0$ :
$f^{\prime }(x)=\frac{x(5x+2)}{\sqrt{2x+1}}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{3x-1}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$. Calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$ et exprimer le numérateur sous forme développée et ordonnée.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2x-1{)}^2$. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0=2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x^2-5x+1){\mathrm{e}}^{3x}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{(x^2+1{)}^3}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$. Sans dresser de tableau de variations complet, démontrer que $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty [$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par $f(x)=\frac{x}{(x-1{)}^2}$. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x\ne 1$ et factoriser le numérateur.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{x^2-4x+3}$. Déterminer les coordonnées du point de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, et donner l'équation de cette tangente.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-2x^2+4x-1}$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{-x^2+8x-7}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-6x+5{)}^2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x-{\mathrm{e}}^{2x-1}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x-1){\mathrm{e}}^{-x}$. Déterminer l'abscisse du point de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y={\mathrm{e}}^{-1}x+7$.

La puissance délivrée par un dispositif photovoltaïque en fonction du courant $i$ (en ampères), pour $i\in [0;5]$, est modélisée par la fonction :
$P(i)=20i{\mathrm{e}}^{-0,4i}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{5}{{\mathrm{e}}^{3x+2}}$.

On considère la fonction $R$ définie sur $[0;4]$ par $R(x)=(x^2-2x+2){\mathrm{e}}^{-x}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-x^2+2x}$. Déterminer les coordonnées du point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est horizontale, puis écrire l'équation de cette tangente.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x^2-2x-8}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=(3-x){\mathrm{e}}^{2x}$.

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, ne s'annulant pas sur $I$. En utilisant la formule générale de dérivation d'une fonction composée $(v\circ u{)}^{\prime }=u^{\prime }\times (v^{\prime }\circ u)$, démontrer que la fonction $\frac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et que :
${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{3x^2-6x+7}$.
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ en justifiant soigneusement la dérivabilité, puis déterminer la valeur exacte de son minimum absolu et préciser l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$.

La température $\theta (t)$ (en degrés Celsius) d'une enceinte thermique au cours du temps $t$ (en heures), pour $t\in [0;6]$, est donnée par :
$\theta (t)=20+(100-15t){\mathrm{e}}^{-0,5t}$.

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, à valeurs dans un intervalle $J$, et soit $v$ une fonction dérivable sur $J$. On note $f=v\circ u$.

Le problème est structuré en deux parties.
Partie A : Fonction auxiliaire
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\mathrm{e}}^x+x+2$.
1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et justifier que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $g(-1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ pour tout réel $x⩾-1$.
Partie B : Étude de la fonction composée
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{g(x)}=\sqrt{{\mathrm{e}}^x+x+2}$.
1. À l'aide de la partie A, justifier que la fonction $f$ est définie et dérivable sur $[-1;+\infty [$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+1}{2\sqrt{{\mathrm{e}}^x+x+2}}$.
3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[-1;+\infty [$.

Pour tout réel non nul $m$, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f_m(x)={\mathrm{e}}^{m{x}^2-2x}$.

Le problème comporte deux parties.
Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\mathrm{e}}^x-x-1$.
1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et déterminer son signe selon les valeurs de $x$.
2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que pour tout réel $x$, $g(x)⩾0$, avec égalité uniquement en $x=0$.
Partie B : Étude d'une composée cubique
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=({\mathrm{e}}^x-x{)}^3$.
1. Justifier, à l'aide de la partie A, que pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x-x⩾1$.
2. Calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$ et exprimer $f^{\prime }(x)$ en fonction de $g^{\prime }(x)$ et de ${\mathrm{e}}^x-x$.
3. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer son minimum global.

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{\frac{2x+3}{x-1}}$. Déterminer deux fonctions $u$ et $v$ telles que $f=v\circ u$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(3-4x{)}^5$.
Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f^{\prime }$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{2x^2+5}$.
Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f^{\prime }$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\text{e}}^{x^3-3x+1}$.
Calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$.

Deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifient :$$u(1)=-2,u^{\prime }(1)=3,v(-2)=7,v^{\prime }(-2)=-5$$On pose $g=v\circ u$. Justifier que $g$ est dérivable en $1$ et calculer le nombre dérivé $g^{\prime }(1)$.