Exercices de Dérivation, Terminale (page 3)

Soit $f$ la fonction définie sur $]2;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{(3x-6{)}^2}$.
En écrivant $f(x)$ sous la forme $(u(x){)}^{-2}$, calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\text{e}}^{(x-2)(2x+1)}$.
Calculer la dérivée de l'exposant, puis en déduire l'expression de $f^{\prime }(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par $f(x)=4x+\sqrt{1-x^2}$.
Démontrer que $f$ est dérivable sur $]-1;1[$ et expliciter sa fonction dérivée $f^{\prime }$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+1)(x-3{)}^3$.
Calculer $f^{\prime }(x)$ et présenter le résultat sous forme factorisée.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.
Démontrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et que pour tout $x>0$ :$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{3x+7}$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=3$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\text{e}}^{2x^2-8x+3}$.
Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la dérivée $f^{\prime }(x)$ s'annule, et préciser le signe de $f^{\prime }(x)$ selon les valeurs de $x$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par $f(x)=\frac{5}{(1-x{)}^4}$.
Exprimer $f(x)$ sous la forme $5(u(x){)}^{-4}$ pour déterminer la dérivée $f^{\prime }(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5-3{\text{e}}^{-2x+1}$.
Calculer $f^{\prime }(x)$ et justifier rigoureusement que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\text{e}}^{\frac{x}{x^2+1}}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(3x-5){\text{e}}^{4x}$.
Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(12x-17){\text{e}}^{4x}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\text{e}}^{-x^2+4}$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{9-x^2}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2x-3{)}^2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-{\text{e}}^{2x-1}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x-1){\text{e}}^{-x}$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

La masse de produit formé lors d'une réaction chimique est modélisée sur l'intervalle de temps $[0;10]$ (en minutes) par la fonction $q(t)=50(1-{\text{e}}^{-0,2t})$, où $q(t)$ est exprimée en milligrammes.

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par $f(x)={\left(\frac{x-1}{2x+1}\right)}^{-3}$.

L'intensité lumineuse d'un faisceau sur un écran est modélisée pour $x\in [0;4]$ par la fonction $f(x)=x(4-x{)}^2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2-6x+13}$.

La température d'un fluide (en degrés Celsius) au cours du temps $t$ (en heures) est modélisée pour $t\in [0;5]$ par la fonction $T(t)=20+60{\text{e}}^{-0,5t}$.

Le théorème de dérivation d'une fonction composée énonce que si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $v$ est dérivable sur un intervalle $J$ contenant $u(I)$, alors la fonction $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v\circ u{)}^{\prime }=u^{\prime }\times (v^{\prime }\circ u)$.
Soit $n$ un entier naturel non nul fixé. En appliquant ce théorème à la fonction $v:y\mapsto y^n$, démontrer la formule de dérivation de la fonction $f=u^n$ sur $I$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;4]$ par $f(x)=\frac{2x+1}{{\text{e}}^{2x}}$.
Sans indication intermédiaire, déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0;4]$ et la valeur exacte de son maximum global.

Le profil vertical d'une colline est modélisé sur l'intervalle $[-2;2]$ par la fonction $h(x)=100{\text{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$, où $x$ et $h(x)$ sont exprimés en mètres.

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et soit $v$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que pour tout $x\in I$, $u(x)\in J$.

Partie A
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2-4x+5$.
1. Écrire $g(x)$ sous forme canonique et en déduire que pour tout réel $x$, $g(x)⩾1$.

Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{g(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}}$.
1. Justifier, à l'aide du résultat de la partie A, que la fonction $f$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=\frac{2-x}{(x^2-4x+5)\sqrt{x^2-4x+5}}$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et déterminer son extremum global.

Pour tout réel $m$ non nul, on considère la fonction $f_m$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f_m(x)={\text{e}}^{m(x^2-2x)}$.

La concentration en principe actif dans le sang d'un patient, en mg/L, $t$ heures après la prise d'un médicament, est modélisée sur $[0;+\infty [$ par la fonction $c$ définie par $c(t)=(2t+1)e^{-t}$.

1. Calculer $c^{\prime }(t)$ et étudier son signe. En déduire les variations de $c$ sur $[0;+\infty [$.
2. Calculer $c^{\prime \prime }(t)$ et étudier son signe.
3. En déduire les variations de $c^{\prime }$ ainsi que la convexité de la courbe de $c$. Que se passe-t-il pour la courbe en $t=\frac{3}{2}$ ?
4. Interpréter ces résultats : à quel moment la concentration diminue-t-elle le plus vite ? Donner la valeur exacte de cette vitesse (en mg/L par heure) puis une valeur approchée au centième.