Exercices de Équations polynomiales en maths Terminale

1.Exercice 1

Résoudre dans

C

les équations suivantes :

1.

z^{2} - 4 z + 13 = 0

z^{2} + 2 z + 5 = 0

2 z^{2} - z + 1 = 0

2.Exercice 2

1. Montrer que

z_{0} = 1 + 2 i

est racine du polynôme

P (z) = z^{3} - 3 z^{2} + 7 z - 5

.
2. En déduire une factorisation complète de

P (z)

dans

C [z]

.
3. Résoudre

P (z) = 0

dans

C

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3.Exercice 3

Résoudre dans

C

l'équation

z^{4} - 1 = 0

.

1. Factoriser

z^{4} - 1

dans

R [z]

puis dans

C [z]

.
2. En déduire les quatre racines complexes et les représenter sur le cercle unité.

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4. $Trinôme à discriminant strictement positif$

Résoudre dans

C

l'équation

3 z^{2} + 5 z - 2 = 0

Voir le corrigé

Les coefficients sont réels, avec

a = 3

b = 5

c = - 2

a \neq = 0

. On calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4 \times 3 \times (- 2) = 25 + 24 = 49

.

Comme

Δ > 0

49 = 7

, l'équation admet deux solutions réelles :

z_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} = \frac{- 5 - 7}{6} = \frac{- 12}{6} = - 2

z_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a} = \frac{- 5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

L'ensemble des solutions est

S = {- 2; \frac{1}{3}}

.

Vérification : la somme des racines vaut

- 2 + \frac{1}{3} = - \frac{5}{3} = - \frac{b}{a}

et leur produit vaut

- 2 \times \frac{1}{3} = - \frac{2}{3} = \frac{c}{a}

5. $Racine double d'un trinôme$

Résoudre dans

C

l'équation

9 z^{2} - 12 z + 4 = 0

Voir le corrigé

Ici

a = 9

b = - 12

c = 4

. On calcule :

Δ = b^{2} - 4 a c = (- 12)^{2} - 4 \times 9 \times 4 = 144 - 144 = 0

.

Le discriminant est nul : l'équation admet une unique solution, appelée racine double :

z_{0} = - \frac{b}{2 a} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

.

L'ensemble des solutions est

S = {\frac{2}{3}}

.

Remarque :

9 z^{2} - 12 z + 4 = (3 z - 2)^{2}

, donc l'équation s'écrit

(3 z - 2)^{2} = 0

, qui n'a bien qu'une seule solution. Il ne faut surtout pas annoncer deux solutions distinctes : quand

Δ = 0

, la formule

z = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

donne deux fois le même nombre.

6. $Trinôme à discriminant strictement négatif$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{2} - 2 z + 10 = 0

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7. $Équations en z au carré, sans discriminant$

Résoudre dans

C

, sans calculer de discriminant :

Q1-Résoudre

2 z^{2} + 24 = 0

Q2-Résoudre

3 z^{2} - 15 = 0

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8. $Tester si un nombre complexe est racine$

Soit le polynôme

P (z) = z^{3} - 4 z^{2} + 6 z - 4

Q1-Calculer

P (1 + i)

. Le nombre

1 + i

est-il racine de

P

Q2-Calculer

P (i)

. Le nombre

i

est-il racine de

P

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9. $Lire les racines d'un produit de facteurs$

Résoudre dans

C

l'équation

(z - 3) (z^{2} + 16) = 0

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10. $Deux racines rationnelles$

Résoudre dans

C

l'équation

2 z^{2} - 7 z + 3 = 0

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11. $Discriminant négatif et coefficient dominant 2$

Résoudre dans

C

l'équation

2 z^{2} + 2 z + 5 = 0

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12. $Discriminant négatif dont l'opposé n'est pas un carré parfait$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{2} + 4 z + 9 = 0

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13. $Simplifier un radical dans les racines$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{2} + 2 z + 13 = 0

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14. $Somme et produit des racines sans résoudre$

Soit l'équation

z^{2} - 5 z + 8 = 0

d'inconnue

z

dans

C

, et

z_{1}

z_{2}

ses racines complexes.

Q1-Donner, sans résoudre l'équation, la somme

S = z_{1} + z_{2}

et le produit

P = z_{1} z_{2}

des racines.

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15. $Retrouver la racine conjuguée$

Soit l'équation

z^{2} - 6 z + 13 = 0

. On admet que

z_{1} = 3 + 2 i

en est une racine, l'autre étant notée

z_{2}

.

1. Expliquer pourquoi

z_{2} = 3 - 2 i

, sans calculer le discriminant.
2. Vérifier la cohérence du résultat à l'aide de la somme et du produit des racines.

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16. $Factoriser par identification avec une racine évidente$

Soit le polynôme

P (z) = z^{3} - 2 z^{2} - 5 z + 6

Q1-Montrer que

1

est une racine de

P

Q2-En déduire qu'il existe des réels

b

c

tels que

P (z) = (z - 1) (z^{2} + b z + c)

, puis déterminer

b

c

par identification. On ne demande pas de résoudre l'équation

z^{2} + b z + c = 0

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17. $Équation du troisième degré avec racine donnée$

On considère l'équation

z^{3} + z^{2} - 5 z + 3 = 0

, d'inconnue

z

dans

C

Q1-Vérifier que

1

est une racine de l'équation.

Q2-Factoriser le polynôme puis résoudre complètement l'équation dans

C

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18. $Troisième degré avec racine imaginaire pure$

Soit

P (z) = z^{3} - 3 z^{2} + 4 z - 12

. On admet que

z_{1} = 2 i

est une racine de

P

Q1-Vérifier que

P (2 i) = 0

Q2-En déduire, sans factorisation par identification, les deux autres racines de

P

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19. $Différence de cubes : factoriser puis résoudre$

Q1-Développer

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)

et vérifier que l'on retrouve

z^{3} - 8

Q2-Résoudre dans

C

l'équation

z^{3} = 8

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20. $Facteur linéaire et trinôme à discriminant négatif$

Résoudre dans

C

l'équation

(z + 3) (2 z^{2} - 2 z + 5) = 0

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21. $Résolution complète avec racine négative donnée$

On considère le polynôme

P (z) = 2 z^{3} - 3 z^{2} - 3 z + 2

. On admet que

- 1

est une racine de

P

Q1-Vérifier que

P (- 1) = 0

Q2-Déterminer, par identification, les réels

b

c

tels que

P (z) = (z + 1) (2 z^{2} + b z + c)

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22. $Recherche autonome d'une racine évidente$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{3} + 3 z^{2} - 4 z - 12 = 0

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23. $Racine rationnelle non entière$

Résoudre dans

C

l'équation

2 z^{3} - z^{2} + 2 z - 1 = 0

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24. $Degré quatre avec un facteur du second degré connu$

Soit

P (z) = z^{4} - 2 z^{3} + 6 z^{2} - 8 z + 8

. On admet que

z^{2} + 4

est un facteur de

P

Q1-Déterminer, par identification, les réels

u

v

tels que

P (z) = (z^{2} + 4) (z^{2} + u z + v)

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25. $Conjugaison et racine évidente, sans factorisation$

Soit

P (z) = z^{3} - 4 z^{2} + 14 z - 20

. On admet que

z_{1} = 1 + 3 i

est une racine de

P

. Déterminer les deux autres racines de

P

sans écrire de factorisation de

P

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26. $Un rectangle impossible$

On cherche un rectangle dont le périmètre vaut

8 cm

et l'aire

5 cm^{2}

Q1-Mettre le problème en équation : montrer que la longueur

x

(en

cm

) d'un tel rectangle vérifie

x^{2} - 4 x + 5 = 0

Q2-Résoudre cette équation dans

C

Q3-Le problème initial admet-il une solution ? Justifier.

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27. $Combien de racines reste-t-il ?$

Soit

P (z) = z^{5} - 2 z^{4} + z^{3} + 3 z - 3

Q1-Vérifier que

1

est une racine de

P

Q2-Justifier que

P (z) = (z - 1) Q (z)

où

Q

est un polynôme. Quel est le degré de

Q

Q3-Sans rien résoudre, quel est le nombre maximal de racines de

P

autres que

1

? Et le nombre maximal de racines de

P

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28. $Déterminer un coefficient pour imposer une racine$

Soit

m

un nombre réel et

P (z) = z^{3} + m z^{2} + 6 z - 8

Q1-Déterminer la valeur de

m

pour que

2

soit une racine de

P

Q2-Pour cette valeur de

m

, factoriser

P

puis résoudre dans

C

l'équation

P (z) = 0

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29. $Reconstituer une équation à partir de ses racines$

On cherche une équation du second degré à coefficients réels de la forme

z^{2} + b z + c = 0

, avec

b

c

réels, dont les racines

z_{1}

z_{2}

(éventuellement complexes) vérifient

z_{1} + z_{2} = 5

z_{1} z_{2} = 9

Q1-Déterminer

b

c

Q2-Résoudre l'équation obtenue, puis vérifier la cohérence des solutions avec les données.

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30. $Trois racines réelles à découvrir$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{3} - 7 z + 6 = 0

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31. $Une équation de degré quatre par factorisations successives$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{4} - 16 = 0

Q1-Vérifier que

z^{4} - 16 = (z - 2) (z^{3} + 2 z^{2} + 4 z + 8)

Q2-Vérifier que

- 2

est une racine de

z^{3} + 2 z^{2} + 4 z + 8

, puis factoriser ce polynôme.

Q3-En déduire l'ensemble des solutions de l'équation.

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32. $Démonstration : résolution du second degré dans les complexes$

Soient

a

b

c

des réels avec

a \neq = 0

, et

Δ = b^{2} - 4 a c

. On démontre le théorème de résolution de l'équation

a z^{2} + b z + c = 0

dans

C

Q1-Montrer que pour tout

z

a z^{2} + b z + c = a (z + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

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33. $Démonstration : factorisation par une racine$

Soit

P

un polynôme de degré

n \geq 1

à coefficients réels :

P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}

, et soit

a

un nombre complexe tel que

P (a) = 0

. On admet que pour tout entier

k \geq 1

z^{k} - a^{k} = (z - a) (z^{k - 1} + z^{k - 2} a + \dots + z a^{k - 2} + a^{k - 1})

.

Démontrer qu'il existe un polynôme

Q

, de degré

n - 1

et de coefficient dominant

a_{n}

, tel que pour tout

z

P (z) = (z - a) Q (z)

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34. $Démonstration : au plus n racines$

Démontrer, par récurrence sur

n

, la propriété suivante : pour tout entier

n \geq 0

, tout polynôme non nul de degré

n

admet au plus

n

racines distinctes dans

C

. On utilisera le théorème de factorisation par une racine.

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35. $Problème type bac : degré quatre par factorisations successives$

On considère le polynôme

P (z) = z^{4} - 3 z^{3} + 3 z^{2} - 3 z + 2

Q1-Vérifier que

1

est une racine de

P

Q2-Déterminer un polynôme

Q

de degré 3 tel que

P (z) = (z - 1) Q (z)

Q3-Vérifier que

2

est une racine de

Q

, puis déterminer deux réels

b

c

tels que

Q (z) = (z - 2) (z^{2} + b z + c)

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36. $Racines conjuguées et polynômes de degré impair$

Soit

P

un polynôme à coefficients réels :

P (z) = a_{n} z^{n} + \dots + a_{1} z + a_{0}

, où tous les

a_{k}

sont réels.

Q1-Démontrer que si

a

est une racine complexe de

P

, alors son conjugué

\overline{a}

est aussi une racine de

P

Q2-On admet que tout polynôme à coefficients réels de degré au moins 1 admet au moins une racine complexe. En déduire que tout polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle.

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37. $Résoudre puis dessiner : un triangle isocèle$

Soit

P (z) = z^{3} - 5 z^{2} + 11 z - 15

Q1-Vérifier que

3

est une racine de

P

, puis factoriser

P

Q2-Résoudre dans

C

l'équation

P (z) = 0

Q3-Dans le plan complexe, on note

A

B

C

les points dont les affixes sont les trois racines de

P

A

étant le point d'affixe

3

. Montrer que

B

C

sont symétriques par rapport à l'axe des réels, puis que le triangle

A B C

est isocèle en

A

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38. $Degré quatre sans racine fournie$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{4} + z^{3} + z^{2} - 9 z - 10 = 0

Q1-Trouver une racine évidente entière de

P (z) = z^{4} + z^{3} + z^{2} - 9 z - 10

parmi les diviseurs de

- 10

, puis déterminer un polynôme

Q

de degré 3 tel que

P (z) = (z - a) Q (z)

, où

a

est cette racine.

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39. $Quatre racines et un losange$

On considère l'équation

z^{4} + 3 z^{2} - 4 = 0

Q1-Vérifier que

z^{4} + 3 z^{2} - 4 = (z^{2} - 1) (z^{2} + 4)

Q2-Résoudre dans

C

l'équation.

Q3-Soient

A

B

C

D

les points du plan complexe d'affixes respectives

1

2 i

- 1

- 2 i

. Montrer que le quadrilatère

A B C D

est un losange.

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40. $Trinôme à coefficient dominant 5$

Résoudre dans

C

l'équation

5 z^{2} + 13 z + 6 = 0

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1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Trinôme à discriminant strictement positif

5.Racine double d'un trinôme

6.Trinôme à discriminant strictement négatif

7.Équations en z au carré, sans discriminant

8.Tester si un nombre complexe est racine

9.Lire les racines d'un produit de facteurs

10.Deux racines rationnelles

11.Discriminant négatif et coefficient dominant 2

12.Discriminant négatif dont l'opposé n'est pas un carré parfait

13.Simplifier un radical dans les racines

14.Somme et produit des racines sans résoudre

15.Retrouver la racine conjuguée

16.Factoriser par identification avec une racine évidente

17.Équation du troisième degré avec racine donnée

18.Troisième degré avec racine imaginaire pure

19.Différence de cubes : factoriser puis résoudre

20.Facteur linéaire et trinôme à discriminant négatif

21.Résolution complète avec racine négative donnée

22.Recherche autonome d'une racine évidente

23.Racine rationnelle non entière

24.Degré quatre avec un facteur du second degré connu

25.Conjugaison et racine évidente, sans factorisation

26.Un rectangle impossible

27.Combien de racines reste-t-il ?

28.Déterminer un coefficient pour imposer une racine

29.Reconstituer une équation à partir de ses racines

30.Trois racines réelles à découvrir

31.Une équation de degré quatre par factorisations successives

32.Démonstration : résolution du second degré dans les complexes

33.Démonstration : factorisation par une racine

34.Démonstration : au plus n racines

35.Problème type bac : degré quatre par factorisations successives

36.Racines conjuguées et polynômes de degré impair

37.Résoudre puis dessiner : un triangle isocèle

38.Degré quatre sans racine fournie

39.Quatre racines et un losange

40.Trinôme à coefficient dominant 5

4. $Trinôme à discriminant strictement positif$

5. $Racine double d'un trinôme$

6. $Trinôme à discriminant strictement négatif$

7. $Équations en z au carré, sans discriminant$

8. $Tester si un nombre complexe est racine$

9. $Lire les racines d'un produit de facteurs$

10. $Deux racines rationnelles$

11. $Discriminant négatif et coefficient dominant 2$

12. $Discriminant négatif dont l'opposé n'est pas un carré parfait$

13. $Simplifier un radical dans les racines$

14. $Somme et produit des racines sans résoudre$

15. $Retrouver la racine conjuguée$

16. $Factoriser par identification avec une racine évidente$

17. $Équation du troisième degré avec racine donnée$

18. $Troisième degré avec racine imaginaire pure$

19. $Différence de cubes : factoriser puis résoudre$

20. $Facteur linéaire et trinôme à discriminant négatif$

21. $Résolution complète avec racine négative donnée$

22. $Recherche autonome d'une racine évidente$

23. $Racine rationnelle non entière$

24. $Degré quatre avec un facteur du second degré connu$

25. $Conjugaison et racine évidente, sans factorisation$

26. $Un rectangle impossible$

27. $Combien de racines reste-t-il ?$

28. $Déterminer un coefficient pour imposer une racine$

29. $Reconstituer une équation à partir de ses racines$

30. $Trois racines réelles à découvrir$

31. $Une équation de degré quatre par factorisations successives$

32. $Démonstration : résolution du second degré dans les complexes$

33. $Démonstration : factorisation par une racine$

34. $Démonstration : au plus n racines$

35. $Problème type bac : degré quatre par factorisations successives$

36. $Racines conjuguées et polynômes de degré impair$

37. $Résoudre puis dessiner : un triangle isocèle$

38. $Degré quatre sans racine fournie$

39. $Quatre racines et un losange$

40. $Trinôme à coefficient dominant 5$