Exercices de Équations polynomiales en maths Terminale (page 3)

82. $Somme et produit ne suffisent pas à tout dire$

On considère l'équation

2 z^{2} + 3 z + 7 = 0

. Sans résoudre l'équation, déterminer la somme

S

et le produit

P

de ses deux racines dans

C

. Le produit

P

est-il un nombre réel strictement positif ? Peut-on en conclure que l'équation admet deux solutions réelles de même signe ?

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83. $Déduire la seconde racine par conjugaison$

Soit l'équation

2 z^{2} - 6 z + 13 = 0

, dont une des solutions est

z_{1} = \frac{3 + i 17}{2}

. Retrouver l'autre solution sans calculer le discriminant, puis contrôler le résultat par la somme et le produit des racines.

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84. $Factoriser par identification après un test réussi$

Soit

P (z) = z^{3} - 3 z^{2} - 4 z + 12

. Vérifier que

2

est racine de

P

, puis déterminer les réels

a

b

c

tels que

P (z) = (z - 2) (a z^{2} + b z + c)

. On ne demande pas de résoudre l'équation

P (z) = 0

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85. $Une racine fournie, une résolution complète$

On considère l'équation

z^{3} + z^{2} - 10 z + 8 = 0

, dont on admet que

2

est une solution. Vérifier cette affirmation, puis résoudre complètement l'équation dans

C

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86. $Une racine complexe donnée, le reste par déduction$

On considère l'équation

z^{3} - 2 z^{2} + 5 z + 26 = 0

, dont une solution est

z_{1} = 2 + 3 i

. En déduire toutes les solutions de cette équation dans

C

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87. $Contrôler une différence de puissances quatrièmes$

Vérifier la factorisation

z^{4} - 81 = (z - 3) (z^{3} + 3 z^{2} + 9 z + 27)

en développant le membre de droite, puis expliquer le lien avec la factorisation générale de

z^{n} - a^{n}

par

z - a

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88. $Produit nul, racine rationnelle et conjuguées$

Résoudre dans

C

l'équation

(2 z + 3) (z^{2} - 2 z + 5) = 0

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89. $Discriminant positif non carré parfait$

Résoudre dans

C

l'équation

3 z^{2} - 4 z - 5 = 0

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90. $Tester les diviseurs, factoriser, conclure$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{3} + 2 z^{2} - 5 z - 6 = 0

, en commençant par chercher une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant.

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91. $Une racine entière négative et deux imaginaires pures$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{3} + 3 z^{2} + z + 3 = 0

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92. $Une racine fractionnaire à débusquer$

Résoudre dans

C

l'équation

2 z^{3} - z^{2} + 2 z - 1 = 0

, dont on cherchera une racine sous la forme d'une fraction simple.

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93. $Un carré d'imaginaire dans un degré quatre$

Soit

P (z) = z^{4} - 2 z^{3} + 7 z^{2} - 8 z + 12

. On admet que

z^{2} + 4

divise

P (z)

. Déterminer le polynôme

Q (z) = z^{2} + b z + c

tel que

P (z) = (z^{2} + 4) Q (z)

, puis résoudre l'équation

P (z) = 0

dans

C

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94. $Une racine complexe donnée, les deux autres par factorisation$

Soit l'équation

z^{3} - 4 z^{2} + 6 z - 4 = 0

, dont une solution est

1 + i

. Déterminer les deux autres solutions.

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95. $Un triangle rectangle impossible$

Existe-t-il un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure

4

cm et dont le périmètre vaut

12

cm ? On note

x

y

les longueurs des deux côtés de l'angle droit.

Q1-Justifier que

x + y = 8

x y = 24

Q2-En déduire que

x

y

sont solutions de l'équation

t^{2} - 8 t + 24 = 0

Q3-Résoudre cette équation dans

C

, puis répondre à la question posée.

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96. $Compter les racines d'un degré cinq$

Soit

P (z) = z^{5} - 32

. On ne demande pas de résoudre complètement l'équation

P (z) = 0

Q1-Vérifier que

2

est une racine de

P

Q2-Vérifier la factorisation

z^{5} - 32 = (z - 2) (z^{4} + 2 z^{3} + 4 z^{2} + 8 z + 16)

Q3-Justifier que

P

admet au plus

4

racines distinctes autres que

2

Q4-Le corollaire du cours permet-il, à lui seul, d'affirmer que

P

admet exactement cinq racines distinctes ?

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97. $Régler un coefficient pour ancrer la racine i$

Soit

m

un nombre réel et

P (z) = z^{3} + m z^{2} + z - 10

. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

i

est racine de

P

, puis résoudre dans

C

l'équation

P (z) = 0

pour cette valeur de

m

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98. $Les racines d'abord, l'équation ensuite$

Déterminer une équation du second degré à coefficients réels, de coefficient dominant égal à

1

, dont les deux solutions sont

2 + 3 i

et son conjugué. Vérifier la réponse en résolvant l'équation obtenue.

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99. $Une racine cachée et un quotient sans solution réelle$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{3} + 2 z^{2} + 2 z + 4 = 0

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100. $Factorisations successives jusqu'au bout$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{4} - 5 z^{3} + 5 z^{2} + 5 z - 6 = 0

, en factorisant successivement par deux racines évidentes.

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101. $Deux entières trouvées, deux conjuguées en sortie$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{4} + 3 z^{3} + z^{2} - 7 z - 30 = 0

, en cherchant deux racines entières.

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102. $Deux complexes donnés, un degré quatre reconstitué$

Soit

P

un polynôme de degré

4

, à coefficients réels, de coefficient dominant égal à

1

, admettant

1 + 2 i

3 - 5 i

comme racines.

Q1-Justifier que

1 - 2 i

3 + 5 i

sont aussi racines de

P

Q2-En déduire la liste complète des racines de

P

Q3-Déterminer l'expression développée de

P (z)

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103. $Trois racines et un triangle isocèle à mesurer$

On considère l'équation

z^{3} - 6 z^{2} + 25 z = 0

. On note

A

B

C

les points du plan complexe d'affixes respectives les trois solutions de cette équation. Déterminer la nature du triangle

A B C

et calculer son aire.

Q1-Résoudre l'équation

z^{3} - 6 z^{2} + 25 z = 0

dans

C

Q2-Calculer les distances

A B

A C

B C

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104. $Démonstration : le cas du discriminant négatif$

Soient

b

c

deux nombres réels vérifiant

b^{2} - 4 c < 0

. Démontrer que l'équation

z^{2} + b z + c = 0

admet exactement deux solutions dans

C

, conjuguées l'une de l'autre, et préciser leur expression.

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105. $Un degré quatre par deux factorisations$

Résoudre dans

C

l'équation

z^{4} - 3 z^{3} - 22 z + 24 = 0

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106. $Parité des racines non réelles d'un degré six$

Soit

P

un polynôme à coefficients réels de degré

6

. Répondre aux trois questions suivantes en justifiant chaque fois.

Q1-Montrer que le nombre de racines non réelles distinctes de

P

est pair.

Q2-Le polynôme

P

peut-il admettre exactement

3

racines non réelles distinctes ?

Q3-Le polynôme

P

peut-il admettre six racines non réelles et aucune racine réelle ?

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Exercices de Équations polynomiales, Terminale (page 3)

81.

82. $Somme et produit ne suffisent pas à tout dire$

83. $Déduire la seconde racine par conjugaison$

84. $Factoriser par identification après un test réussi$

85. $Une racine fournie, une résolution complète$

86. $Une racine complexe donnée, le reste par déduction$

87. $Contrôler une différence de puissances quatrièmes$

88. $Produit nul, racine rationnelle et conjuguées$

89. $Discriminant positif non carré parfait$

90. $Tester les diviseurs, factoriser, conclure$

91. $Une racine entière négative et deux imaginaires pures$

92. $Une racine fractionnaire à débusquer$

93. $Un carré d'imaginaire dans un degré quatre$

94. $Une racine complexe donnée, les deux autres par factorisation$

95. $Un triangle rectangle impossible$

96. $Compter les racines d'un degré cinq$

97. $Régler un coefficient pour ancrer la racine i$

98. $Les racines d'abord, l'équation ensuite$

99. $Une racine cachée et un quotient sans solution réelle$

100. $Factorisations successives jusqu'au bout$

101. $Deux entières trouvées, deux conjuguées en sortie$

102. $Deux complexes donnés, un degré quatre reconstitué$

103. $Trois racines et un triangle isocèle à mesurer$

104. $Démonstration : le cas du discriminant négatif$

105. $Un degré quatre par deux factorisations$

106. $Parité des racines non réelles d'un degré six$

81.

82.Somme et produit ne suffisent pas à tout dire

83.Déduire la seconde racine par conjugaison

84.Factoriser par identification après un test réussi

85.Une racine fournie, une résolution complète

86.Une racine complexe donnée, le reste par déduction

87.Contrôler une différence de puissances quatrièmes

88.Produit nul, racine rationnelle et conjuguées

89.Discriminant positif non carré parfait

90.Tester les diviseurs, factoriser, conclure

91.Une racine entière négative et deux imaginaires pures

92.Une racine fractionnaire à débusquer

93.Un carré d'imaginaire dans un degré quatre

94.Une racine complexe donnée, les deux autres par factorisation

95.Un triangle rectangle impossible

96.Compter les racines d'un degré cinq

97.Régler un coefficient pour ancrer la racine i

98.Les racines d'abord, l'équation ensuite

99.Une racine cachée et un quotient sans solution réelle

100.Factorisations successives jusqu'au bout

101.Deux entières trouvées, deux conjuguées en sortie

102.Deux complexes donnés, un degré quatre reconstitué

103.Trois racines et un triangle isocèle à mesurer

104.Démonstration : le cas du discriminant négatif

105.Un degré quatre par deux factorisations

106.Parité des racines non réelles d'un degré six

82. $Somme et produit ne suffisent pas à tout dire$

83. $Déduire la seconde racine par conjugaison$

84. $Factoriser par identification après un test réussi$

85. $Une racine fournie, une résolution complète$

86. $Une racine complexe donnée, le reste par déduction$

87. $Contrôler une différence de puissances quatrièmes$

88. $Produit nul, racine rationnelle et conjuguées$

89. $Discriminant positif non carré parfait$

90. $Tester les diviseurs, factoriser, conclure$

91. $Une racine entière négative et deux imaginaires pures$

92. $Une racine fractionnaire à débusquer$

93. $Un carré d'imaginaire dans un degré quatre$

94. $Une racine complexe donnée, les deux autres par factorisation$

95. $Un triangle rectangle impossible$

96. $Compter les racines d'un degré cinq$

97. $Régler un coefficient pour ancrer la racine i$

98. $Les racines d'abord, l'équation ensuite$

99. $Une racine cachée et un quotient sans solution réelle$

100. $Factorisations successives jusqu'au bout$

101. $Deux entières trouvées, deux conjuguées en sortie$

102. $Deux complexes donnés, un degré quatre reconstitué$

103. $Trois racines et un triangle isocèle à mesurer$

104. $Démonstration : le cas du discriminant négatif$

105. $Un degré quatre par deux factorisations$

106. $Parité des racines non réelles d'un degré six$