Exercices de Équations polynomiales, Terminale (page 2)

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+6z+13=0$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $3z^2+75=0$.

Soit $P$ le polynôme défini par $P(z)=z^3-3z^2+4z-2$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(2z-1)(z^2+9)=0$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $3z^2+2z+2=0$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z^2+4z+5=0$.

Soit l'équation $2z^2+5z+9=0$ d'inconnue $z$ complexe. Sans résoudre cette équation :

On admet que $2+5i$ est solution de l'équation $z^2-4z+29=0$, d'inconnue $z$ complexe. Sans calculer le discriminant, déterminer l'autre solution, puis contrôler le résultat à l'aide de la somme et du produit des racines.

Soit $P$ le polynôme défini par $P(z)=z^3-2z^2-5z+6$.

On considère l'équation $z^3-3z^2-10z+24=0$, d'inconnue $z$ complexe. On admet que $4$ est une solution de cette équation.

On considère l'équation $z^3-3z^2+4z-12=0$, d'inconnue $z$ complexe. On admet que $2i$ est une solution de cette équation.

Un élève affirme que pour tout complexe $z$ : $z^4-16=(z-2)(z^3+2z^2+4z+8)$. Vérifier cette égalité en développant le membre de droite, puis expliquer pourquoi elle est un cas particulier de la factorisation de $z^n-a^n$ par $z-a$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z+1)(2z^2-2z+5)=0$.

On considère l'équation $z^3-5z^2+7z-3=0$, d'inconnue $z$ complexe. On admet que $3$ est une solution.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3-3z^2+3z-9=0$. Aucune racine n'est fournie : on cherchera une racine évidente parmi les diviseurs entiers du terme constant.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $3z^3+2z^2+2z-1=0$.

Soit $P$ le polynôme défini par $P(z)=z^4-2z^3+6z^2-8z+8$. On admet que $z^2+4$ est un facteur de $P(z)$.

On considère l'équation $z^3-4z^2+9z-10=0$, d'inconnue $z$ complexe.

Une balle est lancée vers le haut depuis une hauteur de $12$ mètres. Sa hauteur en mètres, à l'instant $t$ en secondes, est donnée par $h(t)=-5t^2+10t+12$. Un élève affirme que la balle atteint la hauteur de $18$ mètres.

On considère l'équation $z^5=32$, d'inconnue $z$ complexe. a) Vérifier que $2$ est une solution. b) À l'aide de la factorisation de $z^n-a^n$, écrire $z^5-32$ sous la forme $(z-2)Q(z)$, où $Q$ est un polynôme de degré $4$ dont on précisera l'expression. c) Quel est le nombre maximal de solutions de l'équation $z^5=32$ ? Combien en reste-t-il au maximum à trouver ? d) Montrer que $2$ est l'unique solution réelle strictement positive de l'équation.

Soit $m$ un nombre réel et $P_m$ le polynôme défini par $P_m(z)=z^3+m{z}^2-4z-8$.

Un nombre complexe $z$ et son conjugué $\overline{z}$ vérifient $z+\overline{z}=2$ et $z\overline{z}=5$.

Soit $m$ un nombre réel et $P_m$ le polynôme défini par $P_m(z)=z^3-5z^2+mz-6$. Déterminer la valeur de $m$ pour que $1+i$ soit une racine de $P_m$, puis résoudre complètement l'équation $P_m(z)=0$ dans $\mathbb{C}$.

On considère l'équation $z^4+3z^2+2=0$, d'inconnue $z$ complexe.

On se donne des réels $a$, $b$, $c$ avec $a\ne 0$, et on considère l'équation $a{z}^2+bz+c=0$, d'inconnue $z$ complexe. a) Montrer que l'équation s'écrit $a\left[{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a^2}\right]=0$, où $\Delta =b^2-4ac$. b) En distinguant les trois cas $\Delta >0$, $\Delta =0$ et $\Delta <0$, démontrer le théorème de résolution : deux solutions réelles $\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ si $\Delta >0$, une solution double $\frac{-b}{2a}$ si $\Delta =0$, deux solutions conjuguées $\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$ si $\Delta <0$. c) Appliquer le résultat à l'équation $z^2-2z+5=0$.

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $n\ge 1$, écrit $P(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$, avec $a_n\ne 0$, et soit $a$ un nombre complexe tel que $P(a)=0$.

On veut démontrer qu'un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines distinctes dans $\mathbb{C}$.

On considère l'équation $z^4+2z^3-7z^2-8z+12=0$, d'inconnue $z$ complexe.

Soit $n$ un entier avec $n\ge 2$, et $a$ un nombre complexe. a) Démontrer que pour tout complexe $z$ : $z^n-a^n=(z-a)\left(z^{n-1}+a{z}^{n-2}+a^2{z}^{n-3}+\cdots +a^{n-1}\right)$. b) Utiliser ce résultat pour résoudre complètement dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4=81$.

Soit $P$ un polynôme à coefficients réels, $P(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$, et $z_0$ un nombre complexe non réel tel que $P(z_0)=0$.

On considère le polynôme $P(z)=z^4+2z^3-z^2-2z+10$ et l'équation $P(z)=0$, d'inconnue $z$ complexe. On admet que $1+i$ est une solution. a) Justifier que $1-i$ est aussi une solution. b) Factoriser $P(z)$ par $z^2-2z+2$, puis déterminer le second facteur du second degré. c) Résoudre l'équation dans $\mathbb{C}$. d) Placer dans le plan complexe les points d'affixes les quatre solutions, puis montrer qu'ils sont les sommets d'un rectangle.

On cherche un polynôme $P$ unitaire (de coefficient dominant $1$) de degré $4$, à coefficients réels, admettant $i$ et $1+i$ comme racines. a) Justifier que $-i$ et $1-i$ sont alors aussi des racines de $P$. b) Déterminer l'expression de $P(z)$. c) Justifier que le polynôme $P$ ainsi obtenu est unique, et vérifier que $i$ et $1+i$ sont bien ses racines.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z^2-5z-3=0$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $9z^2+12z+4=0$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $3z^2+6z+15=0$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z^2+18=0$, sans calculer de discriminant.

Soit $P(z)=z^3+2z^2+9z+18$. Vérifier que $3i$ est racine de $P$, puis en faire autant pour $-3i$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z+3)(z^2+16)=0$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z-1)(z+4)(z^2+25)=0$.