Exercices de Fonction logarithme népérien en maths Terminale

1. $Partie 1$

« La situation est grave » en France où « la circulation du virus est extrêmement élevée » a annoncé le Premier ministre Jean Castex ce jeudi lors d'une conférence de presse précisant que le nombre de cas de coronavirus Covid-19 a doublé en 15 jours.
« Je vous le dis très clairement. Les semaines qui viennent seront dures, nos services hospitaliers seront mis à rude épreuve et le nombre de morts va continuer d'augmenter (...) Le mois de novembre sera éprouvant, nous le savons déjà », a-t-il prévenu.
« Plus de 1000 malades sont diagnostiqués chaque heure » a ajouté le ministre de la Santé Olivier Véran. « Sans mesure nouvelle, il y aurait dans 15 jours plus de 50000 cas par jour » a-t-il affirmé.
(* Jeudi 22 octobre 2020)*

2. $Partie 2$

Dans cette partie, on note

q = 1, 05

.
On considère la suite

(u_{n})

exprimant le nombre de nouveaux cas le

n

-ième jour après le 22 octobre. On a donc :

u_{0} = 27051

. Et, on admettra que le modèle mathématique reste valable au-delà du 22 octobre 2020.

Q1-a) Quelle est la nature de la suite

(u_{n})

? Donner ses paramètres.
b) Écrire, pour tout entier naturel

n

, l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

Q2-Calculer

u_{10}

et interpréter le résultat.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $Partie 3$

Le 30 octobre 2020, le gouvernement a imposé pour 4 semaines un confinement dans toute la France afin de freiner la propagation de la maladie.
La France doit « réduire très fortement les contaminations » afin d'envisager une sortie de ce nouveau confinement.
Le président de la République a déclaré mercredi 28 octobre lors de son allocution qu'il fallait passer de 40.000 contaminations à 5.000 d'ici le mois de décembre.

Dans cette partie, le coefficient

q

n'est pas connu.

Q1-À quelle condition sur

q

, le nombre de nouveaux cas décroit ?

Q2-Calculer

q

de façon que le nombre de nouveaux cas soit divisé par 2 sur une période de 15 jours.

Q3-a) Calculer le coefficient

q

permettant d'atteindre les objectifs du président.
b) Dans ces conditions, au bout de combien de jours, le nombre de nouveaux cas est-il divisé par 2 ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Valeurs remarquables du logarithme et simplification$

Calculer les valeurs exactes des nombres suivants sans calculatrice :
1.

A = ln (e^{4}) - ln (1) + e^{l n (5)}

B = 3 ln (e) + ln (\frac{1}{e ^{2}}) - e^{0}

C = ln (e) + ln (e^{- 3})

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Calculs numériques combinant exponentielle et logarithme$

Simplifier au maximum les expressions suivantes :
1.

D = e^{2 l n (3)} - ln (e^{7})

E = \frac{e ^{l n (12)}}{e ^{l n (4)}} + ln (e^{2}) \times ln (e^{2})

F = ln (\frac{e ^{5}}{e})

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Regroupement de logarithmes en un terme unique$

Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme

ln (k)

où

k

est un nombre rationnel strictement positif :
1.

A = 2 ln (3) + ln (5) - ln (15)

B = ln (7 - 13) + ln (7 + 13) - ln (9)

C = 3 ln (2) - 2 ln (4) + ln (10)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Décomposition logarithmique en fonction de grandeurs de base$

Exprimer chacun des nombres suivants sous la forme

a ln (2) + b ln (3)

, où

a

b

sont des nombres rationnels :
1.

A = ln (72)

B = ln (\frac{16}{27})

C = ln (54)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Résolution d'équations élémentaires avec logarithme et exponentielle$

Résoudre dans

R

chacune des équations suivantes :
1.

ln (x) = 3

ln (4 x - 1) = 2

e^{2 x - 1} = 7

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Résolution d'inéquations élémentaires$

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes :
1.

ln (x) ⩽ 4

ln (2 x - 5) > 0

e^{3 x} ⩾ 5

Voir le corrigé

1. L'inéquation

ln (x) ⩽ 4

n'a de sens que pour

x > 0

.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur

R

, donc elle conserve le sens des inégalités :

ln (x) ⩽ 4 ⟺ x ⩽ e^{4}

.
En tenant compte du domaine de définition, l'ensemble des solutions est

S =] 0; e^{4}]

.

2. L'inéquation

ln (2 x - 5) > 0

est définie pour

2 x - 5 > 0

, c'est-à-dire

x > \frac{5}{2}

.
Sachant que

0 = ln (1)

et que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

] 0; + \infty [

ln (2 x - 5) > ln (1) ⟺ 2 x - 5 > 1 ⟺ 2 x > 6 ⟺ x > 3

.
Puisque

3 > \frac{5}{2}

, la condition de définition est automatiquement vérifiée.
L'ensemble des solutions est

S =] 3; + \infty [

.

3. Pour tout réel

x

e^{3 x} > 0

. Comme

5 > 0

, on applique le logarithme népérien, strictement croissant sur

] 0; + \infty [

e^{3 x} ⩾ 5 ⟺ 3 x ⩾ ln (5) ⟺ x ⩾ \frac{ln ( 5 )}{3}

.
L'ensemble des solutions est

S = [\frac{ln ( 5 )}{3}; + \infty [

10. $Réciprocité des fonctions carré et racine carrée pour des réels positifs$

Pour tout réel positif ou nul

x

, on pose

f (x) = x^{2}

g (x) = x

.
1. Rappeler pourquoi pour tous réels

a ⩾ 0

b ⩾ 0

, on a l'équivalence

a^{2} = b ⟺ a = b

.
2. Déterminer la valeur exacte du réel positif

x

vérifiant

x^{2} = 45

.
3. Calculer

f (g (16))

g (f (5))

. Que remarque-t-on pour tout réel

t ⩾ 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Symétrie axiale entre les courbes de l'exponentielle et du logarithme$

Dans un repère orthonormé, on note

C_{e x p}

la courbe représentative de la fonction exponentielle et

C_{l n}

celle de la fonction logarithme népérien.
1. Justifier que si un point

M (a; b)

appartient à

C_{e x p}

, alors le point

M^{'} (b; a)

appartient à

C_{l n}

. Quelle transformation géométrique transforme

M

M^{'}

?
2. Le point

A (1; e)

appartient à

C_{e x p}

. En déduire sans calcul les coordonnées du point

A^{'}

correspondant sur

C_{l n}

.
3. Donner les coordonnées du symétrique par rapport à la première bissectrice du point

B (0; 1)

situé sur

C_{e x p}

Voir le corrigé

1. Un point

M (a; b)

appartient à

C_{e x p}

si et seulement si

b = e^{a}

. Comme l'exponentielle est strictement positive sur

R

, on a

b > 0

. En appliquant le logarithme népérien aux deux membres, on obtient

ln (b) = ln (e^{a}) = a

. L'égalité

a = ln (b)

signifie exactement que le point

M^{'} (b; a)

appartient à la courbe

C_{l n}

.
Le passage des coordonnées

(a; b)

aux coordonnées

(b; a)

correspond géométriquement à la symétrie axiale orthogonale par rapport à la droite d'équation

y = x

(la première bissectrice).

2. Le point

A (1; e)

est sur

C_{e x p}

car

e^{1} = e

. Par symétrie par rapport à la droite

y = x

, on échange abscisse et ordonnée : le point

A^{'}

a pour coordonnées

(e; 1)

. On vérifie bien que

ln (e) = 1

.

3. Le point

B (0; 1)

appartient à

C_{e x p}

puisque

e^{0} = 1

. Son symétrique par rapport à la droite

y = x

est le point

B^{'} (1; 0)

, qui appartient à

C_{l n}

puisque

ln (1) = 0

12. $Résolution d'équation avec logarithmes et domaine préalable$

Résoudre dans

R

l'équation :

ln (x - 2) + ln (x + 1) = ln (10)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $Équation du second degré en logarithme$

Résoudre dans

R

l'équation :

2 (ln x)^{2} - 5 ln (x) + 2 = 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Résolution d'inéquation avec logarithmes et ensemble de définition$

Résoudre dans

R

l'inéquation :

ln (3 x - 1) ⩽ ln (x + 7)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Calculs de limites par croissances comparées élémentaires$

Déterminer les limites suivantes en justifiant à l'aide des théorèmes de croissance comparée :
1.

x \to 0^{+} lim x^{3} ln (x)

x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{4}}

x \to + \infty lim \frac{3 ln ( x ) + 2}{x}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Calcul de dérivées avec produit et quotient$

Pour chacune des fonctions suivantes, justifier la dérivabilité sur

] 0; + \infty [

et calculer la fonction dérivée sous forme factorisée ou simplifiée :
1.

f (x) = (3 x - 2) ln (x)

g (x) = \frac{ln ( x )}{x ^{2}}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $Dérivée d'une fonction composée du type logarithme de u$

1. Soit la fonction

f

définie par

f (x) = ln (3 x + 6)

. Déterminer l'ensemble de définition de

f

, puis calculer sa dérivée

f^{'} (x)

.
2. Soit la fonction

g

définie par

g (x) = ln (x^{2} - 4 x + 5)

.
a) Justifier que

g

est définie sur

R

tout entier.
b) Calculer sa fonction dérivée

g^{'} (x)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Signe et inéquations avec logarithme d'une fonction$

1. Rappeler pour quelles valeurs de

t > 0

on a

ln (t) > 0

, puis

ln (t) ⩽ 0

.
2. Résoudre dans

R

l'inéquation :

ln (4 x - 7) ⩽ 0

.
3. Résoudre dans

R

l'inéquation :

ln (x^{2} - 3) > 0

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Détermination d'un seuil pour une suite géométrique$

Une colonie bactérienne compte initialement

800

individus. Un traitement réduit cette population de

15 %

chaque heure. On note

u_{n}

le nombre de bactéries présentes au bout de

n

heures (

n \in N

).
1. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.
2. On souhaite déterminer au bout de combien d'heures la population deviendra inférieure à

100

individus.
a) Traduire cette situation par une inéquation sur

n

.
b) Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme népérien et conclure.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Étude des variations d'une fonction simple avec logarithme$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = 2 x - 6 ln (x)

1. Justifier la dérivabilité de

f

sur

] 0; + \infty [

et démontrer que pour tout

x > 0

f^{'} (x) = \frac{2 ( x - 3 )}{x}

2. Étudier le signe de

f^{'} (x)

sur

] 0; + \infty [

.
3. Dresser le tableau de variations de

f

(sans les limites aux bornes) et préciser son extremum.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Dérivée et tangentes d'une fonction avec terme logarithmique$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = x^{2} - 4 ln (x)

. On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère.
1. Calculer la dérivée

f^{'} (x)

pour tout

x > 0

.
2. Déterminer une équation de la tangente

T

à la courbe

C_{f}

au point d'abscisse

x = 1

.
3. Déterminer l'abscisse du point de

C_{f}

où la tangente est horizontale.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Étude complète d'une fonction logarithme d'un quotient rationnel$

On considère la fonction

f

définie par :

f (x) = ln (\frac{x + 2}{5 - x})

1. Déterminer l'ensemble de définition

D

de la fonction

f

.
2. Déterminer les limites de

f

aux bornes de

D

et en déduire l'existence d'asymptotes à sa courbe représentative.
3. Démontrer que pour tout

x \in D

f^{'} (x) = \frac{7}{( x + 2 ) ( 5 - x )}

.
4. Dresser le tableau de variations complet de

f

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Résolution d'équations exponentielles par passage au logarithme$

Résoudre dans

R

les équations suivantes, en donnant la valeur exacte de chaque solution sous forme de quotient de logarithmes :
1.

3^{x + 1} = 7

2^{x} \times 5^{2 x - 1} = 3^{x + 2}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Comparaison du logarithme et de la fonction identité via une fonction auxiliaire$

Soit

g

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par :

g (x) = x - ln (x) - 1

1. Calculer

g^{'} (x)

et étudier son signe sur

] 0; + \infty [

.
2. Dresser le tableau de variations de

g

(sans calculer les limites aux bornes) et en déduire le signe de

g (x)

sur

] 0; + \infty [

.
3. En déduire que pour tout réel

x > 0

ln (x) ⩽ x - 1

, et préciser pour quelle valeur il y a égalité.
4. Justifier que la courbe de la fonction logarithme est entièrement située en dessous de la droite d'équation

y = x

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $Levée de formes indéterminées par factorisation et croissances comparées$

Déterminer les limites suivantes en

+ \infty

après avoir transformé les expressions pour lever l'indétermination :
1.

x \to + \infty lim (3 x - 5 ln (x))

x \to + \infty lim \frac{2 x + ln ( x )}{5 x - 3 ln ( x )}

x \to + \infty lim \frac{ln ( x ) + x}{x}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $Étude d'une fonction polynomiale et logarithmique avec application du TVI$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = x^{2} - 4 ln (x)

1. Déterminer les limites de

f

0^{+}

et en

+ \infty

.
2. Calculer

f^{'} (x)

et dresser le tableau de variations complet de

f

.
3. Démontrer que l'équation

f (x) = 5

admet une unique solution

α

sur l'intervalle

[2; + \infty [

, et donner un encadrement de

α

0, 1

près.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Système mêlant exponentielle et logarithme$

Résoudre dans

] 0; + \infty [\times] 0; + \infty [

le système d'équations suivant :

{ln (x) + ln (y) = 2 e^{x} = (e^{y})^{3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $Convexité et point d'inflexion d'une fonction logarithmique$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = x^{2} - 6 x + 8 ln (x)

On admet que

f

est deux fois dérivable sur

] 0; + \infty [

.
1. Calculer la dérivée première

f^{'} (x)

pour tout

x > 0

.
2. Calculer la dérivée seconde

f^{''} (x)

et prouver que pour tout

x > 0

f^{''} (x) = \frac{2 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ^{2}}

3. Étudier le signe de

f^{''} (x)

sur

] 0; + \infty [

.
4. En déduire la convexité de la fonction

f

et déterminer les coordonnées exactes du point d'inflexion de sa courbe représentative.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

29. $Modélisation logarithmique et intensité sonore en décibels$

Le niveau d'intensité sonore

L

, exprimé en décibels (

dB

), est relié à l'intensité physique du son

I

(en

W \cdot m^{- 2}

) par la relation :

L = \frac{10}{ln ( 10 )} ln (\frac{I}{I _{0}})

où

I_{0} = 1 0^{- 12} W \cdot m^{- 2}

représente le seuil d'audibilité de référence.
1. Justifier que si

I = 1 0^{5} I_{0}

, alors le niveau sonore est de

50 dB

.
2. Deux sources sonores identiques et indépendantes émettent simultanément, chacune avec une intensité

I

. L'intensité totale perçue est donc

I^{'} = 2 I

.
a) Démontrer que le nouveau niveau sonore

L^{'}

vérifie

L^{'} = L + \frac{10 ln ( 2 )}{ln ( 10 )}

.
b) Calculer la valeur approchée à l'unité près de cette augmentation.
3. Par quel facteur l'intensité physique

I

doit-elle être multipliée pour que le niveau sonore augmente de

20 dB

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $Étude d'une fonction quotient avec logarithme et recherche d'extremum$

On considère la fonction

f

définie sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = \frac{2 + ln ( x )}{x}

1. Déterminer les limites de

f

0^{+}

et en

+ \infty

. Interpréter graphiquement ces résultats.
2. Démontrer que pour tout

x > 0

f^{'} (x) = \frac{- 1 - ln ( x )}{x ^{2}}

.
3. Étudier le signe de

f^{'} (x)

et dresser le tableau de variations complet de

f

.
4. Déterminer la valeur exacte du maximum de

f

sur

] 0; + \infty [

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Loi de refroidissement et détermination de durée par le logarithme$

On sort une boisson chaude d'un four à micro-ondes. Sa température, en degrés Celsius, est modélisée en fonction du temps

t

(exprimé en minutes) par la fonction :

T (t) = 20 + 65 e^{- 0, 08 t}, t ⩾ 0

1. Quelle est la température initiale de la boisson à l'instant

t = 0

? Quelle est la température de la pièce lorsque

t \to + \infty

?
2. Démontrer que la fonction

T

est strictement décroissante sur

[0; + \infty [

.
3. On souhaite consommer la boisson dès que sa température atteint

4 0^{\circ} C

.
a) Exprimer le temps

t

en fonction de la température

θ

atteinte (avec

20 < θ ⩽ 85

), à l'aide du logarithme népérien.
b) Calculer la durée d'attente nécessaire, arrondie à la minute près.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Démonstration exigible de la dérivée du logarithme$

Le programme de spécialité demande de savoir établir la dérivée de la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction logarithme népérien

ln

est dérivable sur

] 0; + \infty [

.
1. Rappeler la relation liant la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien pour tout réel

x > 0

.
2. En dérivant les deux membres de cette égalité par rapport à

x

, démontrer que pour tout réel

x > 0

(ln)^{'} (x) = \frac{1}{x}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

33. $Démonstration exigible de la croissance comparée en zéro$

On admet comme prérequis la limite de croissance comparée de la fonction exponentielle en

- \infty

X \to - \infty lim X e^{X} = 0

Démontrer que la fonction logarithme népérien vérifie en

0^{+}

la limite de croissance comparée suivante :

x \to 0^{+} lim x ln (x) = 0

On précisera avec soin le changement de variable utilisé.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

34. $Étude complète et autonome d'une fonction avec logarithme$

Soit

f

la fonction définie sur

] 1; + \infty [

par :

f (x) = ln (\frac{x + 1}{x - 1}) - \frac{2}{x}

1. Déterminer les limites de

f

aux bornes de son ensemble de définition (en

1^{+}

et en

+ \infty

).
2. Démontrer que pour tout

x > 1

, la dérivée de

f

est donnée par :

f^{'} (x) = \frac{- 2}{x ^{2} ( x ^{2} - 1 )}

3. En déduire le sens de variation de

f

sur

] 1; + \infty [

.
4. Dresser le tableau de variations complet de

f

et déterminer le signe de

f (x)

sur

] 1; + \infty [

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $Détermination de paramètres et étude de convexité d'une fonction type bac$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = \frac{a + b ln ( x )}{x}

où

a

b

sont deux constantes réelles. On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère.
1. La courbe

C_{f}

passe par le point

A (1; 2)

et admet en ce point une tangente horizontale. Déterminer les valeurs de

a

b

.
2. Dans la suite, on pose

f (x) = \frac{2 + 2 ln ( x )}{x}

.
a) Déterminer les limites de

f

0^{+}

et en

+ \infty

.
b) Dresser le tableau de variations complet de

f

.
3. Calculer la dérivée seconde

f^{''} (x)

et prouver que la courbe

C_{f}

admet un unique point d'inflexion dont on précisera les coordonnées exactes.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $Inégalité fondamentale du logarithme et majoration de la suite associée$

1. Soit

φ

la fonction définie sur

] - 1; + \infty [

par :

φ (x) = x - ln (1 + x)

Étudier les variations de

φ

et en déduire que pour tout réel

x > - 1

ln (1 + x) ⩽ x

, avec égalité si et seulement si

x = 0

.
2. En appliquant cette inégalité à

x = \frac{1}{n}

pour tout entier

n ⩾ 1

, démontrer que :

(1 + \frac{1}{n})^{n} ⩽ e

3. En appliquant l'inégalité à

x = - \frac{1}{n + 1}

pour tout entier

n ⩾ 1

, démontrer que :

e ⩽ (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $Suite récurrente définie par une fonction logarithmique$

Soit

f

la fonction définie sur

[1; 4]

par

f (x) = ln (x) + 2

.
On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 1

et, pour tout entier naturel

n

, par :

u_{n + 1} = f (u_{n}) = ln (u_{n}) + 2

1. Justifier que la fonction

f

est strictement croissante sur

[1; 4]

et que pour tout

x \in [1; 4]

f (x) \in [1; 4]

. (On donne

ln (4) \approx 1, 39

).
2. Calculer les valeurs exactes de

u_{1}

u_{2}

.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

n

1 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

38. $Position relative et tangente commune à deux courbes$

On considère les deux fonctions

f

g

définies sur

] 0; + \infty [

par :

f (x) = ln (x) et g (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

On note

C_{f}

C_{g}

leurs courbes représentatives respectives.
1. Étudier les variations de la fonction d'écart

d (x) = f (x) - g (x)

sur

] 0; + \infty [

.
2. En déduire la position relative des courbes

C_{f}

C_{g}

.
3. Démontrer que les courbes

C_{f}

C_{g}

admettent en leur point d'intersection une tangente commune

T

, et déterminer une équation de

T

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

39. $Double encadrement du logarithme et application numérique$

1. En étudiant la fonction

g : x \mapsto x - 1 - ln (x)

sur

] 0; + \infty [

, puis en appliquant l'inégalité obtenue à

\frac{1}{x}

, démontrer que pour tout réel

x > 0

\frac{x - 1}{x} ⩽ ln (x) ⩽ x - 1

Préciser dans quel(s) cas l'égalité a lieu.
2. En posant

x = 1 + h

avec

h > 0

, en déduire que pour tout

h > 0

\frac{h}{1 + h} ⩽ ln (1 + h) ⩽ h

3. Application : donner un encadrement rationnel de

ln (1, 1)

puis en déduire un encadrement d'amplitude inférieure à

0, 01

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

40. $Valeurs fondamentales et puissances dans le calcul logarithmique$

Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants sans calculatrice :
1.

A = ln (e^{6}) - 2 ln (e) + ln (1)

B = e^{l n (11)} - ln (e^{- 4})

C = ln (e^{3} e)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Partie 1

2.Partie 2

3.Partie 3

4.Valeurs remarquables du logarithme et simplification

5.Calculs numériques combinant exponentielle et logarithme

6.Regroupement de logarithmes en un terme unique

7.Décomposition logarithmique en fonction de grandeurs de base

8.Résolution d'équations élémentaires avec logarithme et exponentielle

9.Résolution d'inéquations élémentaires

10.Réciprocité des fonctions carré et racine carrée pour des réels positifs

11.Symétrie axiale entre les courbes de l'exponentielle et du logarithme

12.Résolution d'équation avec logarithmes et domaine préalable

13.Équation du second degré en logarithme

14.Résolution d'inéquation avec logarithmes et ensemble de définition

15.Calculs de limites par croissances comparées élémentaires

16.Calcul de dérivées avec produit et quotient

17.Dérivée d'une fonction composée du type logarithme de u

18.Signe et inéquations avec logarithme d'une fonction

19.Détermination d'un seuil pour une suite géométrique

20.Étude des variations d'une fonction simple avec logarithme

21.Dérivée et tangentes d'une fonction avec terme logarithmique

22.Étude complète d'une fonction logarithme d'un quotient rationnel

23.Résolution d'équations exponentielles par passage au logarithme

24.Comparaison du logarithme et de la fonction identité via une fonction auxiliaire

25.Levée de formes indéterminées par factorisation et croissances comparées

26.Étude d'une fonction polynomiale et logarithmique avec application du TVI

27.Système mêlant exponentielle et logarithme

28.Convexité et point d'inflexion d'une fonction logarithmique

29.Modélisation logarithmique et intensité sonore en décibels

30.Étude d'une fonction quotient avec logarithme et recherche d'extremum

31.Loi de refroidissement et détermination de durée par le logarithme

32.Démonstration exigible de la dérivée du logarithme

33.Démonstration exigible de la croissance comparée en zéro

34.Étude complète et autonome d'une fonction avec logarithme

35.Détermination de paramètres et étude de convexité d'une fonction type bac

36.Inégalité fondamentale du logarithme et majoration de la suite associée

37.Suite récurrente définie par une fonction logarithmique

38.Position relative et tangente commune à deux courbes

39.Double encadrement du logarithme et application numérique

40.Valeurs fondamentales et puissances dans le calcul logarithmique

1. $Partie 1$

2. $Partie 2$

3. $Partie 3$

4. $Valeurs remarquables du logarithme et simplification$

5. $Calculs numériques combinant exponentielle et logarithme$

6. $Regroupement de logarithmes en un terme unique$

7. $Décomposition logarithmique en fonction de grandeurs de base$

8. $Résolution d'équations élémentaires avec logarithme et exponentielle$

9. $Résolution d'inéquations élémentaires$

10. $Réciprocité des fonctions carré et racine carrée pour des réels positifs$

11. $Symétrie axiale entre les courbes de l'exponentielle et du logarithme$

12. $Résolution d'équation avec logarithmes et domaine préalable$

13. $Équation du second degré en logarithme$

14. $Résolution d'inéquation avec logarithmes et ensemble de définition$

15. $Calculs de limites par croissances comparées élémentaires$

16. $Calcul de dérivées avec produit et quotient$

17. $Dérivée d'une fonction composée du type logarithme de u$

18. $Signe et inéquations avec logarithme d'une fonction$

19. $Détermination d'un seuil pour une suite géométrique$

20. $Étude des variations d'une fonction simple avec logarithme$

21. $Dérivée et tangentes d'une fonction avec terme logarithmique$

22. $Étude complète d'une fonction logarithme d'un quotient rationnel$

23. $Résolution d'équations exponentielles par passage au logarithme$

24. $Comparaison du logarithme et de la fonction identité via une fonction auxiliaire$

25. $Levée de formes indéterminées par factorisation et croissances comparées$

26. $Étude d'une fonction polynomiale et logarithmique avec application du TVI$

27. $Système mêlant exponentielle et logarithme$

28. $Convexité et point d'inflexion d'une fonction logarithmique$

29. $Modélisation logarithmique et intensité sonore en décibels$

30. $Étude d'une fonction quotient avec logarithme et recherche d'extremum$

31. $Loi de refroidissement et détermination de durée par le logarithme$

32. $Démonstration exigible de la dérivée du logarithme$

33. $Démonstration exigible de la croissance comparée en zéro$

34. $Étude complète et autonome d'une fonction avec logarithme$

35. $Détermination de paramètres et étude de convexité d'une fonction type bac$

36. $Inégalité fondamentale du logarithme et majoration de la suite associée$

37. $Suite récurrente définie par une fonction logarithmique$

38. $Position relative et tangente commune à deux courbes$

39. $Double encadrement du logarithme et application numérique$

40. $Valeurs fondamentales et puissances dans le calcul logarithmique$