Exercices de Fonction logarithme népérien en maths Terminale (page 3)

82. $Image d'un point par symétrie axiale entre exponentielle et logarithme$

Dans un repère orthonormé, on note

C_{e x p}

la courbe représentative de la fonction exponentielle et

C_{l n}

celle de la fonction logarithme népérien. La droite

(d)

a pour équation

y = x

Q1-Rappeler la relation géométrique reliant les courbes

C_{e x p}

C_{l n}

Q2-Le point

A (2; e^{2})

appartient à

C_{e x p}

. Déterminer les coordonnées du point

A^{'}

, symétrique de

A

par rapport à

(d)

, et justifier, à l'aide de la question 1, que

A^{'}

appartient à

C_{l n}

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83. $Équation logarithmique avec produit d'arguments$

On considère l'équation suivante :

ln (x + 2) + ln (x - 1) = ln (10)

Q1-Déterminer l'ensemble de définition

D

de cette équation.

Q2-Résoudre l'équation sur

D

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84. $Équation logarithmique avec quotient d'arguments$

On cherche à résoudre l'équation :

ln (2 x + 7) - ln (x - 2) = ln (3)

Q1-Préciser le domaine de validité

D

de cette équation.

Q2-Déterminer la valeur exacte de l'unique solution réelle.

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85. $Équation du second degré par changement d'inconnue logarithmique$

On considère l'équation :

2 (ln x)^{2} - 5 ln (x) - 3 = 0

Q1-Donner l'ensemble sur lequel cette équation est définie.

Q2-En posant

X = ln (x)

, déterminer les valeurs possibles de

X

Q3-En déduire les solutions de l'équation initiale.

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86. $Inéquation avec comparaison de deux logarithmes$

On s'intéresse à l'inéquation suivante :

ln (5 - 2 x) ⩽ ln (x + 4)

Q1-Déterminer l'ensemble de définition

D

de cette inéquation.

Q2-Résoudre cette inéquation sur

D

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87. $Calculs directs de limites par croissance comparée$

Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes :

Q1-

x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{3}}

Q2-

x \to 0^{+} lim x^{2} ln (x)

Q3-

x \to + \infty lim \frac{3 x + ln ( x )}{x}

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88. $Dérivation d'une fonction produit avec logarithme$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = (2 x - 1) ln (x)

Q1-Justifier la dérivabilité de

f

sur

] 0; + \infty [

Q2-Calculer

f^{'} (x)

pour tout réel

x > 0

Q3-Calculer la valeur exacte de

f^{'} (1)

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89. $Dérivation d'une fonction logarithme composée affine$

Soit

g

la fonction définie par

g (x) = ln (4 - 3 x)

Q1-Déterminer l'ensemble de définition

D_{g}

de la fonction

g

Q2-Justifier que

g

est dérivable sur

D_{g}

et calculer

g^{'} (x)

Q3-En déduire le sens de variation de la fonction

g

sur son domaine.

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90. $Signe d'une expression logarithmique par comparaison à un$

On considère la fonction

h

définie par

h (x) = ln (\frac{2 x + 1}{x + 3})

Q1-Déterminer l'ensemble de définition

D_{h}

de la fonction

h

Q2-Résoudre dans

D_{h}

l'inéquation

h (x) > 0

Q3-Dresser le tableau de signes de

h (x)

sur

D_{h}

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91. $Détermination d'un seuil de désintégration par le logarithme$

Une substance radioactive perd chaque jour

4 %

de sa masse. Au départ (jour 0), un échantillon contient une masse

m_{0} = 500 g

. Pour tout entier naturel

n

, on note

m_{n}

la masse restante au bout de

n

jours.

Q1-Exprimer

m_{n}

en fonction de

n

Q2-Écrire l'inéquation traduisant que la masse restante est strictement inférieure à

100 g

Q3-Résoudre cette inéquation à l'aide du logarithme népérien et donner le nombre minimal de jours.

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92. $Variations et extremum d'une fonction logarithmique simple$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = 2 x - 3 ln (x)

Q1-Calculer la dérivée

f^{'} (x)

pour tout réel

x > 0

Q2-Étudier le signe de

f^{'} (x)

sur

] 0; + \infty [

Q3-Dresser le tableau de variations de

f

et préciser la valeur exacte de son extremum.

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93. $Étude complète d'une fonction logarithme d'une homographie$

On considère la fonction

f

définie par

f (x) = ln (\frac{3 - x}{x + 1})

Q1-Déterminer l'ensemble de définition de

f

Q2-Déterminer les limites de

f

aux bornes de son domaine et donner les asymptotes éventuelles.

Q3-Calculer

f^{'} (x)

et dresser le tableau de variations de

f

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94. $Résolution d'équations avec puissances par passage au logarithme$

On considère l'équation :

4^{x + 1} = 3 \times 5^{x}

Q1-Justifier que les deux membres de l'équation sont strictement positifs sur

R

Q2-Appliquer le logarithme népérien pour déterminer la valeur exacte de la solution.

Q3-Donner une valeur approchée de la solution au centième.

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95. $Comparaison du logarithme et d'une fonction affine par étude auxiliaire$

On souhaite démontrer que pour tout réel

x > 0

, on a l'inégalité

ln (x) ⩽ x - 1

.
Pour cela, on introduit la fonction auxiliaire

g

définie sur

] 0; + \infty [

par

g (x) = x - 1 - ln (x)

Q1-Calculer la dérivée

g^{'} (x)

et étudier son signe sur

] 0; + \infty [

Q2-Dresser le tableau de variations de

g

sur

] 0; + \infty [

Q3-En déduire le signe de

g (x)

, conclure pour l'inégalité et préciser pour quelle valeur l'égalité est atteinte.

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96. $Levée de forme indéterminée en l'infini avec puissance et logarithme$

On considère la fonction

f

définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = 2 x^{2} - 3 x - ln (x)

Q1-Montrer que la recherche de la limite de

f

+ \infty

conduit à une forme indéterminée.

Q2-Pour tout réel

x > 0

, factoriser

f (x)

par

x^{2}

Q3-En déduire

x \to + \infty lim f (x)

par croissances comparées.

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97. $Étude d'une fonction logarithmique et application du théorème de la bijection$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = x^{2} + 2 ln (x) - 4

Q1-Déterminer les limites de

f

0

et en

+ \infty

Q2-Calculer

f^{'} (x)

et justifier que

f

est strictement croissante sur

] 0; + \infty [

Q3-Démontrer que l'équation

f (x) = 0

admet une unique solution

α

et montrer que

1 < α < 2

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98. $Résolution d'un système mêlant exponentielle et logarithme$

On cherche à déterminer les couples de réels

(x; y)

solutions du système suivant :

{e^{x} + ln (y) = 5 2 e^{x} - 3 ln (y) = 5

Q1-Préciser l'ensemble de définition du système pour le couple

(x; y)

Q2-En posant

X = e^{x}

Y = ln (y)

, résoudre le système linéaire associé.

Q3-En déduire les valeurs exactes de

x

y

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99. $Limite, convexité et point d'inflexion d'une fonction logarithme$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = x^{2} - 6 x ln (x)

. On admet que

f

est deux fois dérivable sur

] 0; + \infty [

Q1-Déterminer la limite de

f

+ \infty

Q2-Calculer la dérivée première

f^{'} (x)

pour tout

x > 0

Q3-Calculer la dérivée seconde

f^{''} (x)

et étudier son signe.

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100. $Modélisation d'une échelle logarithmique pour la magnitude d'un séisme$

L'énergie

E

libérée par un séisme (en joules) et sa magnitude

M

sur l'échelle de Richter sont reliées par la formule :

M = \frac{2}{3} (\frac{ln ( E ) - ln ( E _{0} )}{ln ( 10 )})

, où

E_{0} = 1 0^{4, 8} J

est une énergie de référence constante.

Q1-Exprimer

M

à l'aide d'un unique logarithme.

Q2-Établir la formule donnant la différence de magnitude

M_{2} - M_{1}

en fonction du rapport

\frac{E _{2}}{E _{1}}

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101. $Étude d'une fonction quotient avec logarithme et recherche d'asymptote$

On considère la fonction

f

définie sur

] 1; + \infty [

par

f (x) = \frac{2 x}{ln ( x )}

Q1-Justifier le domaine de définition et la dérivabilité de

f

Q2-Déterminer les limites de

f

aux bornes de son intervalle de définition.

Q3-Calculer

f^{'} (x)

et dresser le tableau de variations complet de

f

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102. $Tangente, tangente horizontale et position relative d'une courbe logarithmique et d'une droite$

On considère la fonction

f

définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = 3 ln (x) - x + 1

. On note

C_{f}

sa courbe représentative.

Q1-Déterminer une équation de la tangente

(T)

à la courbe

C_{f}

au point d'abscisse 1.

Q2-Déterminer les coordonnées du point de

C_{f}

en lequel la tangente est horizontale.

Q3-Étudier la position relative de la courbe

C_{f}

et de la droite

(D)

d'équation

y = - x + 1

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103. $Démonstration du théorème sur la fonction dérivée du logarithme$

Le théorème suivant est au programme officiel : « La fonction logarithme népérien est dérivable sur

] 0; + \infty [

et sa dérivée est donnée par

ln^{'} (x) = \frac{1}{x}

. »
On admet que la fonction logarithme népérien est dérivable sur

] 0; + \infty [

Q1-Rappeler la relation reliant

e^{l n (x)}

x

pour tout

x > 0

Q2-Démontrer la formule de la dérivée de

ln

en dérivant cette relation.

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104. $Démonstration de la croissance comparée du logarithme en zéro$

On admet le résultat de croissance comparée sur la fonction exponentielle suivant :

u \to - \infty lim u e^{u} = 0

.
L'objectif est d'établir la démonstration exigible au programme de la limite :

x \to 0^{+} lim x ln (x) = 0

Q1-Poser le changement de variable

u = ln (x)

et exprimer

x

en fonction de

u

Q2-Déterminer

x \to 0^{+} lim u

Q3-Démontrer que

x \to 0^{+} lim x ln (x) = 0

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105. $Étude autonome et complète d'une fonction logarithme quotient$

On considère la fonction

f

définie par

f (x) = \frac{ln ( x ) - 1}{x ^{2}}

Q1-Déterminer l'ensemble de définition

D_{f}

Q2-Calculer les limites aux bornes de

D_{f}

et interpréter géométriquement.

Q3-Calculer

f^{'} (x)

et dresser le tableau de variations de

f

Q4-Trouver les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

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106. $Détermination de coefficients et étude de convexité d'une fonction logarithmique$

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = \frac{a + b ln ( x )}{x}

, où

a

b

sont deux constantes réelles.
Sa courbe représentative

C_{f}

passe par le point

A (1; 2)

et admet en ce point une tangente horizontale.

Q1-Déterminer les réels

a

b

à partir des conditions en

A (1; 2)

Q2-Calculer la dérivée seconde

f^{''} (x)

pour tout

x > 0

Q3-Étudier le signe de

f^{''} (x)

et préciser la convexité de la fonction

f

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107. $Démonstration de l'inégalité fondamentale du logarithme$

L'objectif de cet exercice est de démontrer que pour tout nombre réel

x > - 1

, on a l'inégalité :

ln (1 + x) ⩽ x

Q1-Préciser l'ensemble de définition de la fonction

φ

définie par

φ (x) = x - ln (1 + x)

Q2-Étudier les variations de la fonction

φ

Q3-Démontrer l'inégalité

ln (1 + x) ⩽ x

pour tout

x > - 1

Q4-Déterminer la ou les valeurs de

x

pour lesquelles l'égalité est atteinte.

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108. $Étude d'une suite récurrente définie par une fonction logarithmique$

Soit

f

la fonction définie sur

[1; + \infty [

par

f (x) = 1 + ln (x)

.
On définit la suite

(u_{n})

par

u_{0} = 2

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = f (u_{n}) = 1 + ln (u_{n})

Q1-Montrer que

f

est strictement croissante sur

[1; + \infty [

et stabilise cet intervalle.

Q2-Calculer la valeur exacte de

u_{1}

et son arrondi au millième.

Q3-Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

n

1 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⩽ 2

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109. $Montrer que la courbe du logarithme reste sous la droite d'équation y = x$

On considère la fonction

g

définie sur

] 0; + \infty [

par

g (x) = x - ln (x)

.

1. Calculer

g^{'} (x)

et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de

g

.
2. En déduire que, pour tout réel

x > 0

ln (x) < x

.
3. Que peut-on dire de la position relative de la courbe représentative de la fonction

ln

et de la droite

Δ

d'équation

y = x

?
4. Un élève affirme : « la courbe de

ln

finit bien par couper la droite

Δ

car

ln

tend vers

+ \infty

». Réfuter cette affirmation en vous appuyant sur la question 2.

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110. $Déduire e^x > x et une limite de l'inégalité ln(x) < x$

On admet que, pour tout réel

x > 0

ln (x) < x

.

1. Soit

x

un réel quelconque. En appliquant l'inégalité admise au réel strictement positif

e^{x}

, démontrer que

e^{x} > x

. Interpréter ce résultat pour les courbes de

ln

et de

exp

.
2. Soit

x > 0

. En appliquant l'inégalité admise au réel

x

, démontrer que

ln (x) < 2 x

.
3. En déduire que, pour tout

x > 1

0 < \frac{ln ( x )}{x} < \frac{2}{x}

, puis la limite de

\frac{ln ( x )}{x}

quand

x

tend vers

+ \infty

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Exercices de Fonction logarithme népérien, Terminale (page 3)

81. $Réciprocité des puissances et des racines carrées$

82. $Image d'un point par symétrie axiale entre exponentielle et logarithme$

83. $Équation logarithmique avec produit d'arguments$

84. $Équation logarithmique avec quotient d'arguments$

85. $Équation du second degré par changement d'inconnue logarithmique$

86. $Inéquation avec comparaison de deux logarithmes$

87. $Calculs directs de limites par croissance comparée$

88. $Dérivation d'une fonction produit avec logarithme$

89. $Dérivation d'une fonction logarithme composée affine$

90. $Signe d'une expression logarithmique par comparaison à un$

91. $Détermination d'un seuil de désintégration par le logarithme$

92. $Variations et extremum d'une fonction logarithmique simple$

93. $Étude complète d'une fonction logarithme d'une homographie$

94. $Résolution d'équations avec puissances par passage au logarithme$

95. $Comparaison du logarithme et d'une fonction affine par étude auxiliaire$

96. $Levée de forme indéterminée en l'infini avec puissance et logarithme$

97. $Étude d'une fonction logarithmique et application du théorème de la bijection$

98. $Résolution d'un système mêlant exponentielle et logarithme$

99. $Limite, convexité et point d'inflexion d'une fonction logarithme$

100. $Modélisation d'une échelle logarithmique pour la magnitude d'un séisme$

101. $Étude d'une fonction quotient avec logarithme et recherche d'asymptote$

102. $Tangente, tangente horizontale et position relative d'une courbe logarithmique et d'une droite$

103. $Démonstration du théorème sur la fonction dérivée du logarithme$

104. $Démonstration de la croissance comparée du logarithme en zéro$

105. $Étude autonome et complète d'une fonction logarithme quotient$

106. $Détermination de coefficients et étude de convexité d'une fonction logarithmique$

107. $Démonstration de l'inégalité fondamentale du logarithme$

108. $Étude d'une suite récurrente définie par une fonction logarithmique$

109. $Montrer que la courbe du logarithme reste sous la droite d'équation y = x$

110. $Déduire e^x > x et une limite de l'inégalité ln(x) < x$

81.Réciprocité des puissances et des racines carrées

82.Image d'un point par symétrie axiale entre exponentielle et logarithme

83.Équation logarithmique avec produit d'arguments

84.Équation logarithmique avec quotient d'arguments

85.Équation du second degré par changement d'inconnue logarithmique

86.Inéquation avec comparaison de deux logarithmes

87.Calculs directs de limites par croissance comparée

88.Dérivation d'une fonction produit avec logarithme

89.Dérivation d'une fonction logarithme composée affine

90.Signe d'une expression logarithmique par comparaison à un

91.Détermination d'un seuil de désintégration par le logarithme

92.Variations et extremum d'une fonction logarithmique simple

93.Étude complète d'une fonction logarithme d'une homographie

94.Résolution d'équations avec puissances par passage au logarithme

95.Comparaison du logarithme et d'une fonction affine par étude auxiliaire

96.Levée de forme indéterminée en l'infini avec puissance et logarithme

97.Étude d'une fonction logarithmique et application du théorème de la bijection

98.Résolution d'un système mêlant exponentielle et logarithme

99.Limite, convexité et point d'inflexion d'une fonction logarithme

100.Modélisation d'une échelle logarithmique pour la magnitude d'un séisme

101.Étude d'une fonction quotient avec logarithme et recherche d'asymptote

102.Tangente, tangente horizontale et position relative d'une courbe logarithmique et d'une droite

103.Démonstration du théorème sur la fonction dérivée du logarithme

104.Démonstration de la croissance comparée du logarithme en zéro

105.Étude autonome et complète d'une fonction logarithme quotient

106.Détermination de coefficients et étude de convexité d'une fonction logarithmique

107.Démonstration de l'inégalité fondamentale du logarithme

108.Étude d'une suite récurrente définie par une fonction logarithmique

109.Montrer que la courbe du logarithme reste sous la droite d'équation y = x

110.Déduire e^x > x et une limite de l'inégalité ln(x) < x

81. $Réciprocité des puissances et des racines carrées$

82. $Image d'un point par symétrie axiale entre exponentielle et logarithme$

83. $Équation logarithmique avec produit d'arguments$

84. $Équation logarithmique avec quotient d'arguments$

85. $Équation du second degré par changement d'inconnue logarithmique$

86. $Inéquation avec comparaison de deux logarithmes$

87. $Calculs directs de limites par croissance comparée$

88. $Dérivation d'une fonction produit avec logarithme$

89. $Dérivation d'une fonction logarithme composée affine$

90. $Signe d'une expression logarithmique par comparaison à un$

91. $Détermination d'un seuil de désintégration par le logarithme$

92. $Variations et extremum d'une fonction logarithmique simple$

93. $Étude complète d'une fonction logarithme d'une homographie$

94. $Résolution d'équations avec puissances par passage au logarithme$

95. $Comparaison du logarithme et d'une fonction affine par étude auxiliaire$

96. $Levée de forme indéterminée en l'infini avec puissance et logarithme$

97. $Étude d'une fonction logarithmique et application du théorème de la bijection$

98. $Résolution d'un système mêlant exponentielle et logarithme$

99. $Limite, convexité et point d'inflexion d'une fonction logarithme$

100. $Modélisation d'une échelle logarithmique pour la magnitude d'un séisme$

101. $Étude d'une fonction quotient avec logarithme et recherche d'asymptote$

102. $Tangente, tangente horizontale et position relative d'une courbe logarithmique et d'une droite$

103. $Démonstration du théorème sur la fonction dérivée du logarithme$

104. $Démonstration de la croissance comparée du logarithme en zéro$

105. $Étude autonome et complète d'une fonction logarithme quotient$

106. $Détermination de coefficients et étude de convexité d'une fonction logarithmique$

107. $Démonstration de l'inégalité fondamentale du logarithme$

108. $Étude d'une suite récurrente définie par une fonction logarithmique$

109. $Montrer que la courbe du logarithme reste sous la droite d'équation y = x$

110. $Déduire e^x > x et une limite de l'inégalité ln(x) < x$