Exercices de Fonction logarithme népérien, Terminale (page 2)

On pose $a=\ln (2)$ et $b=\ln (3)$. Exprimer en fonction de $a$ et $b$ les nombres suivants :
1. $G=\ln (72)$
2. $H=\ln \left(\frac{16}{27}\right)$
3. $K=\ln (\sqrt{18})$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
1. $\ln (x)=-2$
2. $\ln (5x-3)=1$
3. $e^{3x-1}=4$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
1. $\ln (x)⩽3$
2. $\ln (2x-7)>0$
3. $e^{4x+1}<5$

On considère les fonctions $f:x\mapsto x^2$ définie sur $[0;+\infty [$ et $g:x\mapsto \sqrt{x}$ définie sur $[0;+\infty [$.
1. Calculer $f(g(9))$ et $g(f(4))$.
2. Justifier que pour tout réel $x⩾0$, on a $f(g(x))=x$ et $g(f(x))=x$.
3. On considère maintenant la fonction carré définie sur $\mathbb{R}$, encore notée $f$. Expliquer pourquoi la relation $g(f(x))=x$ n'est plus valable lorsque $x$ est un réel strictement négatif, en prenant l'exemple de $x=-5$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note ${\mathcal{C}}_{\exp }$ la courbe représentative de la fonction exponentielle et ${\mathcal{C}}_{\ln }$ celle de la fonction logarithme népérien.
1. Rappeler la transformation géométrique simple qui permet de passer de ${\mathcal{C}}_{\exp }$ à ${\mathcal{C}}_{\ln }$.
2. Le point $A(0;1)$ appartient à ${\mathcal{C}}_{\exp }$. En déduire sans calcul les coordonnées du point $A^{\prime }$ de ${\mathcal{C}}_{\ln }$ symétrique de $A$.
3. Le point $B(2;e^2)$ appartient à ${\mathcal{C}}_{\exp }$. Donner les coordonnées de son symétrique $B^{\prime }$ sur ${\mathcal{C}}_{\ln }$ et en déduire la valeur exacte de $\ln (e^2)$.

Sans calculatrice, simplifier au maximum les expressions suivantes :
1. $L=\ln (\sqrt{7}-\sqrt{3})+\ln (\sqrt{7}+\sqrt{3})$
2. $M=\ln \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)+\ln \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$
3. $N=\ln \left(\sqrt{e^3}\right)-\ln \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$

On considère l'équation :
$\ln (x+1)+\ln (x-2)=\ln (x+6)$
1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de cette équation.
2. Résoudre l'équation dans $\mathcal{D}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
$2(\ln x{)}^2-7\ln (x)+3=0$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :
$\ln (4-x)⩽\ln (2x+1)$

Déterminer les limites suivantes en justifiant la démarche :
1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$
2. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^3\ln (x)$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-\ln (x)}{x}$

Dans chacun des cas suivants, préciser l'ensemble de dérivabilité de la fonction et déterminer l'expression de sa fonction dérivée, mise sous forme factorisée ou simplifiée :
1. $f(x)=(2x^2+1)\ln (x)$ sur $]0;+\infty [$
2. $g(x)=\frac{3-\ln (x)}{x}$ sur $]0;+\infty [$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=\ln (x^2-4x+5)$
1. Justifier que la fonction $f$ est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=\left]-\frac{1}{2};+\infty \right[$ par :
$f(x)=\ln \left(\frac{2x+1}{x+3}\right)$
1. Justifier que pour tout $x\in I$, $\frac{2x+1}{x+3}>0$.
2. Montrer que pour tout $x\in I$, on a :
$f^{\prime }(x)=\frac{5}{(2x+1)(x+3)}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :
$\ln \left(\frac{3x-2}{x+2}\right)⩾0$

La valeur marchande d'un équipement informatique, acheté neuf pour $1200$ euros, diminue de $15\%$ chaque année.
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ la valeur de l'équipement, en euros, au bout de $n$ années.
1. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
2. Déterminer, à l'aide du logarithme népérien, le nombre minimal d'années au bout duquel la valeur de l'équipement deviendra strictement inférieure à $200$ euros.

Une population bactérienne compte initialement $500$ individus et augmente de $8\%$ par heure.
Pour tout entier naturel $n$, on note $p_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures.
1. Donner l'expression de $p_n$ en fonction de $n$.
2. Déterminer le nombre minimal d'heures nécessaires pour que la population dépasse $4000$ individus.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=2x-5-6\ln (x)$
1. Calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ et préciser la valeur exacte de son extremum.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=x^2-3\ln (x)$
On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$.
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x_0=1$.
3. Démontrer que la droite tangente à ${\mathcal{C}}_f$ est horizontale en un point dont on déterminera l'abscisse exacte.

On considère la fonction $f$ définie par :
$f(x)=\ln \left(\frac{4-x}{x+2}\right)$
1. Déterminer l'ensemble de définition $I$ de la fonction $f$.
2. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $I$ et en déduire l'existence d'asymptotes à la courbe représentative de $f$.
3. Calculer la dérivée $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in I$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.

On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
$2^{x+1}\times 5^{2x}=3^x$
1. Justifier que cette équation est bien définie pour tout réel $x$.
2. En appliquant la fonction logarithme népérien, transformer cette équation en une équation du premier degré en $x$.
3. En déduire la valeur exacte de l'unique solution, exprimée à l'aide de $\ln (2)$, $\ln (3)$ et $\ln (5)$.

Le but de cet exercice est d'établir que pour tout réel $x>0$, on a $\ln (x)<2\sqrt{x}$.
On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par :
$g(x)=2\sqrt{x}-\ln (x)$
1. Calculer la dérivée $g^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$.
2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $]0;+\infty [$.
3. Calculer la valeur exacte du minimum de $g$ et conclure quant à la comparaison entre $\ln (x)$ et $2\sqrt{x}$.

Déterminer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :
1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(3x^2-5x\ln (x))$
2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2\ln (x)}{2x-\ln (x)}$
3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}\ln (x)$

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=x^2-2-4\ln (x)$
1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.
3. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[\sqrt{2};+\infty [$ et justifier que $\alpha \in [2;3]$.

Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ le système :
$\{\begin{array}{l}\ln (x)+\ln (y)=\ln (15)\\ x+y=8\end{array}$

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=x^2\ln (x)-\frac{3}{2}{x}^2$
1. Déterminer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x>0$.
2. Calculer la dérivée seconde $f^{\prime \prime }(x)$ pour tout $x>0$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$, préciser les intervalles de convexité de $f$ et déterminer les coordonnées exactes du point d'inflexion de sa courbe représentative.

En chimie, le $\text{pH}$ d'une solution aqueuse est relié à la concentration en ions oxonium $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}]$, exprimée en moles par litre, par la relation :
$\text{pH}=-{\log }_{10}([{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}])=-\frac{\ln ([{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}])}{\ln (10)}$
1. Une solution $A$ a un $\text{pH}$ égal à $3,2$. Exprimer sa concentration $[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}{]}_A$ sous la forme $10^{-k}$ où $k$ est un réel, puis en fonction de $\ln$.
2. Une solution $B$ a un $\text{pH}$ égal à $5,2$. Calculer le rapport $\frac{[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}{]}_A}{[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}{]}_B}$ et interpréter ce résultat par une phrase.
3. Si l'on dilue la solution $A$ par dix, sa concentration en ions oxonium est divisée par dix. Calculer la variation de son $\text{pH}$.

Le niveau d'intensité acoustique $L$, exprimé en décibels ($\text{dB}$), est donné par la formule :
$L=10{\log }_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)=\frac{10}{\ln (10)}\ln \left(\frac{I}{I_0}\right)$
où $I$ est l'intensité sonore perçue et $I_0=10^{-12}\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}$ est le seuil d'audibilité humaine de référence.
1. Un marteau-piqueur émet un son de niveau $L_1=100\text{ dB}$. Déterminer la valeur exacte de l'intensité sonore correspondante $I_1$.
2. Deux machines identiques émettent simultanément le même son d'intensité $I_1$. L'intensité acoustique résultante est $I_2=2I_1$. Démontrer que l'augmentation du niveau sonore est indépendante de $I_1$ et en donner la valeur exacte puis approchée à $0,1\text{ dB}$ près.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=\frac{2x+\ln (x)}{x}$
1. Déterminer la limite de $f$ en $0$ et la limite de $f$ en $+\infty$. En déduire les équations de deux asymptotes à la courbe ${\mathcal{C}}_f$.
2. Montrer que pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln (x)}{x^2}$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $]0;+\infty [$.

Le but de cet exercice est de rédiger la démonstration exigible au programme de terminale concernant la dérivation de la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie et dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$.
On rappelle également que pour tout réel $x>0$, on a $e^{\ln (x)}=x$, et que la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $(\exp {)}^{\prime }=\exp$.
1. En dérivant les deux membres de l'égalité $e^{\ln (x)}=x$ par rapport à $x$, exprimer $(\ln {)}^{\prime }(x)$ en fonction de $x$.
2. Conclure rigoureusement sur l'expression de la dérivée de la fonction logarithme népérien.

Le but de cet exercice est de rédiger la démonstration exigible au programme de terminale de la limite :
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)=0$
On admet comme résultat acquis la croissance comparée de la fonction exponentielle au voisinage de $-\infty$ :
$\underset{X\to -\infty }{\lim }X{e}^X=0$
1. On pose $X=\ln (x)$ pour $x>0$. Exprimer $x$ en fonction de $X$ et déterminer la limite de $X$ lorsque $x\to 0^{+}$.
2. Exprimer le produit $x\ln (x)$ en fonction de $X$, puis mener rigoureusement la démonstration par changement de variable.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=x-2-\frac{2\ln (x)}{x}$
On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative et $D$ la droite d'équation $y=x-2$.
1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
2. Démontrer que la droite $D$ est asymptote oblique à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au voisinage de $+\infty$ et étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $D$.
3. On admet que la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=x^2-2+2\ln (x)$ est strictement croissante et s'annule en un unique réel $\alpha \approx 1,2$. Exprimer $f^{\prime }(x)$ en fonction de $g(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :
$f(x)=\frac{a+b\ln (x)}{x}$
où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
1. Sachant que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ passe par le point $A(1;3)$ et admet en ce point une tangente horizontale, déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
2. Dans toute la suite, on prend $a=3$ et $b=3$. Calculer la dérivée seconde $f^{\prime \prime }(x)$ pour tout $x>0$.
3. Étudier la convexité de la fonction $f$ et déterminer les coordonnées de l'unique point d'inflexion de la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

Le but de cet exercice est d'établir l'inégalité fondamentale du logarithme népérien et d'en déduire une propriété remarquable.
1. Démontrer que pour tout réel $x>-1$, on a :
$\ln (1+x)⩽x$
Préciser dans quel cas l'égalité est vérifiée.
2. Soit $n$ un entier naturel non nul. En appliquant cette inégalité à un réel $x$ bien choisi, démontrer que :
${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n⩽e$

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty [$ par :
$f(x)=1+\ln (x)$
On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=f(u_n)=1+\ln (u_n)$
1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty [$ et que pour tout $x⩾1$, on a $f(x)⩾1$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $1⩽u_{n+1}⩽u_n⩽2$.

Calculer les valeurs exactes des nombres suivants sans calculatrice :

Écrire chacun des réels suivants sous la forme $\ln (k)$, où $k$ est un nombre rationnel strictement positif :

On pose $a=\ln (2)$ et $b=\ln (3)$. Exprimer en fonction de $a$ et $b$ les nombres réels suivants :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :