Exercices de Fonctions trigonométriques en maths Terminale | The Maths Tailor
Exercices de Fonctions trigonométriques, Terminale
108 exercices de Fonctions trigonométriques pour les maths Terminale, avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Cosinus, sinus et cercle trigonométrique, Propriétés des fonctions cosinus et sinus, Variations des fonctions cosinus et sinus.
1. Rappeler les valeurs de cos et sin pour x∈{0,6π,4π,3π,2π}. 2. Dresser le tableau de variations de f(x)=sin(x) sur [0,2π]. 3. En déduire le tableau de variations de g(x)=sin(2x) sur [0,π].
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1. Valeurs remarquables
x
0
6π
4π
3π
2π
cos(x)
1
23
22
21
0
sin(x)
0
21
22
23
1
2. Variations de f(x)=sin(x) sur [0,2π]
f est dérivable sur R et f′(x)=cos(x).
Signe de cos(x) sur [0,2π] : cos(x) est l'abscisse du point du cercle trigonométrique associé au réel x. - Pour x∈[0,2π[ et pour x∈]23π,2π], ce point est à droite de l'axe des ordonnées : cos(x)>0. - Pour x∈]2π,23π[, ce point est à gauche de l'axe des ordonnées : cos(x)<0. - cos(x)=0 pour x=2π et pour x=23π.
Valeurs : f(0)=0, f(2π)=1, f(23π)=−1 et f(2π)=0.xf′(x)=cos(x)f(x)=sin(x)00+↗2π01−↘23π0−1+↗2π0f est croissante sur [0,2π], décroissante sur [2π,23π] et croissante sur [23π,2π].
3. Variations de g(x)=sin(2x) sur [0,π]
Pour tout réel x, g(x)=f(2x). Quand x parcourt [0,π] en croissant, 2x parcourt [0,2π] en croissant : on découpe [0,π] selon les intervalles de la question 2. - x∈[0,4π]⟺2x∈[0,2π], où sin est croissante : quand x augmente, 2x augmente, donc sin(2x) augmente. g est croissante sur [0,4π]. - x∈[4π,43π]⟺2x∈[2π,23π], où sin est décroissante : g est décroissante sur [4π,43π]. - x∈[43π,π]⟺2x∈[23π,2π], où sin est croissante : g est croissante sur [43π,π].
Vérification par la dérivée : g′(x)=2cos(2x), qui a le signe de cos(2x). On applique le signe de cos établi à la question 2 au réel 2x∈[0,2π] : - pour x∈[0,4π[, 2x∈[0,2π[, donc cos(2x)>0 ; - pour x∈]4π,43π[, 2x∈]2π,23π[, donc cos(2x)<0 ; - pour x∈]43π,π], 2x∈]23π,2π], donc cos(2x)>0 ; - g′(x)=0 pour x=4π et pour x=43π.
Valeurs : g(0)=sin(0)=0, g(4π)=sin(2π)=1, g(43π)=sin(23π)=−1 et g(π)=sin(2π)=0.xg′(x)=2cos(2x)g(x)=sin(2x)00+↗4π01−↘43π0−1+↗π0
On considère la fonction f(x)=cos(x)−sin(x) sur [0,2π].
1. Exprimer f(x) sous la forme Rcos(x+φ) avec R>0 et φ∈[0,2π[. 2. En déduire le maximum et le minimum de f sur [0,2π], et les valeurs de x où ils sont atteints. 3. Résoudre f(x)=1 sur [0,2π].
Déterminer les valeurs exactes de cos(x) et de sin(x) pour chacune des valeurs suivantes de x :
Q1-Déterminer les valeurs exactes de cos(32π) et sin(32π).
Q2-Déterminer les valeurs exactes de cos(−4π) et sin(−4π).
Q3-Déterminer les valeurs exactes de cos(65π) et sin(65π).
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On utilise les formules des angles associés et les valeurs remarquables du premier quadrant :
1. Pour x=32π=π−3π :cos(32π)=cos(π−3π)=−cos(3π)=−21sin(32π)=sin(π−3π)=sin(3π)=232. Pour x=−4π : Par parité du cosinus et imparité du sinus :cos(−4π)=cos(4π)=22sin(−4π)=−sin(4π)=−223. Pour x=65π=π−6π :cos(65π)=cos(π−6π)=−cos(6π)=−23sin(65π)=sin(π−6π)=sin(6π)=21
5.Calcul du sinus à partir du cosinus sur le deuxième quadrant
Soit x un nombre réel appartenant à l'intervalle [2π;π] tel que cos(x)=−53.
7.Dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions trigonométriques
On considère la fonction f définie sur R par :f(x)=4sin(x)−5cos(x)+7Justifier que f est dérivable sur R et déterminer l'expression de sa fonction dérivée f′.
20.Extension d'une courbe par parité et périodicité
Une fonction f définie sur R est paire et périodique de période 2π. On connaît sa courbe représentative sur l'intervalle [0;π], qui passe par les points A(0;2), B(2π;0) et C(π;−2).
Q1-Déterminer les coordonnées des points correspondants sur la courbe pour les abscisses −2π et −π.
Q2-Préciser la transformation géométrique permettant d'obtenir le tracé de la courbe sur [−π;π] à partir de celui sur [0;π].
25.Optimisation de l'aire d'un triangle rectangle d'hypoténuse fixée
Un triangle rectangle possède une hypoténuse de longueur fixe c=4. On note θ la mesure en radians de l'un de ses angles aigus, avec θ∈]0;2π[.
Q1-Exprimer les longueurs des deux côtés de l'angle droit en fonction de θ.
Q2-Démontrer que l'aire A(θ) de ce triangle est donnée par A(θ)=4sin(2θ).
Q3-Déterminer la valeur de θ qui maximise l'aire du triangle, ainsi que la valeur de cette aire maximale. Préciser la nature du triangle dans cette configuration optimale.
29.Calcul de limite par le taux d'accroissement de la fonction sinus
Q1-Rappeler la définition du nombre dérivé de la fonction s:t↦sin(t) en 0 sous forme de limite d'un taux d'accroissement, et en déduire la valeur de t→0limtsin(t).
Q2-Pour tout réel x=0, écrire le quotient xsin(3x) sous la forme 3×usin(u) où u est une fonction de x.
Q3-En déduire la valeur de la limite x→0limxsin(3x).
30.Étude d'une fonction auxiliaire trigonométrique et théorème des valeurs intermédiaires
On considère la fonction g définie sur l'intervalle [0;π] par :g(x)=xsin(x)+cos(x)−1
Q1-Calculer la dérivée g′(x) pour tout x∈[0;π].
Q2-Déterminer le signe de g′(x) et dresser le tableau de variations complet de g sur [0;π].
Q3-Démontrer que l'équation g(x)=0 admet exactement deux solutions dans [0;π], dont l'une est 0. On notera α la solution non nulle et on donnera un encadrement de α d'amplitude 0,1.
31.Modélisation et optimisation d'un profil de rigole trapézoïdale
On souhaite concevoir une rigole pour évacuer de l'eau. La section transversale est un trapèze isocèle dont le fond horizontal mesure 1 mètre et les deux parois latérales mesurent chacune 1 mètre. On note θ∈]0;2π[ l'angle formé par chaque paroi latérale avec la verticale.
Q1-Démontrer que la largeur supérieure du trapèze est 1+2sin(θ) et que sa profondeur est cos(θ).
Q2-Démontrer que l'aire de la section transversale est donnée par S(θ)=cos(θ)(1+sin(θ)).
Q3-En dérivant la fonction S, déterminer la valeur de θ pour laquelle l'aire de la section est maximale.
34.Comparaison trigonométrique et inégalité stricte sur un quadrant
Q1-Soit f la fonction définie sur ]0;2π[ par f(x)=xsin(x). Justifier que la fonction f est strictement décroissante sur ]0;2π[.
Q2-En déduire que pour tous réels a et b vérifiant 0<a<b<2π, on a :bsin(b)<asin(a)
Q3-En déduire l'inégalité asin(b)<bsin(a). Interpréter ce résultat à l'aide des pentes des cordes reliant l'origine aux points de la courbe de la fonction sinus.
38.Modélisation périodique de la hauteur de marée et créneau d'accès portuaire
La hauteur d'eau (en mètres) dans un port maritime est modélisée par la fonction H définie pour tout réel t (instant exprimé en heures) par :H(t)=5+3cos(6πt)On étudie un cycle de 12 heures, c'est-à-dire t∈[0;12].
Q1-Justifier que la fonction H est périodique de période 12 heures. Déterminer les hauteurs maximale et minimale d'eau dans le port, ainsi que les instants auxquels elles sont atteintes sur [0;12].
Q2-Calculer la dérivée H′(t) et déterminer les intervalles de temps correspondant à la marée montante et à la marée descendante.
Q3-Un cargo nécessite un tirant d'eau d'au moins 6,5 mètres pour entrer dans le port en toute sécurité. Résoudre sur [0;12] l'inéquation H(t)⩾6,5.
39.Propriétés d'une suite trigonométrique et réinvestissement de monotonie
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;2π] par f(x)=sin(x). Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n⩾2 par :un=sin(nπ)
Q1-Justifier que la fonction f est strictement croissante sur [0;2π].
Q2-Étudier le sens de variation de la suite (nπ)n⩾2.
40.Coordonnées de trois points du cercle trigonométrique
Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé direct d'origine O, on considère les trois points repérés par les réels x1=32π, x2=−6π et x3=47π. Donner, pour chacun de ces trois réels, les valeurs exactes de cos(x) et de sin(x).
