Exercices de Fonctions trigonométriques en maths Terminale (page 3)

82. $Signe et zéros de la fonction sinus sur l'intervalle zéro deux pi$

Dresser le tableau de signes de la fonction

sin

sur l'intervalle

[0; 2 π]

en précisant l'ensemble de ses zéros sur cet intervalle.

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83. $Dérivée d'un sinus composé avec une expression affine$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = sin (3 x - \frac{π}{4})

. Calculer

f^{'} (x)

pour tout réel

x

et déterminer la valeur exacte de

f^{'} (\frac{π}{4})

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84. $Dérivée d'un cosinus d'argument affine avec coefficient fractionnaire$

Soit

g

la fonction définie sur

R

par

g (x) = 4 cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})

. Déterminer l'expression de la dérivée

g^{'}

sur

R

, puis résoudre l'équation

g^{'} (x) = 0

sur l'intervalle

[0; 2 π]

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85. $Démonstration de l'imparité d'une somme de fonctions trigonométriques$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = 2 sin (x) - sin (3 x)

. Démontrer que la fonction

f

est impaire.

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86. $Résolution d'une équation avec cosinus et racine de trois sur deux$

Résoudre dans l'intervalle

[- π; π]

l'équation

cos (x) = - \frac{3}{2}

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87. $Inéquation trigonométrique avec cosinus strictement supérieur à un demi$

Résoudre dans l'intervalle

[- π; π]

l'inéquation

cos (x) > \frac{1}{2}

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88. $Résolution d'une équation avec sinus et racine de trois sur deux$

Résoudre dans l'intervalle

[0; 2 π]

l'équation

sin (x) = \frac{3}{2}

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89. $Sens de variation d'un cosinus dilaté sur un demi-intervalle$

Soit

f

la fonction définie sur

[0; π]

par

f (x) = cos (2 x) + 3 x

. Calculer

f^{'} (x)

, étudier son signe sur

[0; π]

et en déduire le sens de variation de

f

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90. $Reconstitution d'une courbe par parité et périodicité deux pi$

Soit

f

une fonction paire et

2 π

-périodique définie sur

R

. La courbe de

f

est connue sur

[0; π]

. Expliquer précisément comment tracer la courbe de

f

sur

[- π; π]

, puis sur

[- π; 3 π]

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91. $Dérivée et tangente horizontale d'une somme de cosinus et sinus$

Soit

f

la fonction définie sur

[0; π]

par

f (x) = sin (x) + cos (x)

. Déterminer la fonction dérivée

f^{'}

et trouver l'abscisse de l'unique point de la courbe de

f

où la tangente est horizontale.

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92. $Inéquation trigonométrique avec sinus négatif sur l'intervalle moins pi pi$

Résoudre dans l'intervalle

[- π; π]

l'inéquation

sin (x) ⩽ - \frac{1}{2}

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93. $Étude complète d'une fonction cosinus dilatée avec réduction d'intervalle$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = 2 cos (2 x) - 1

Q1-Justifier que la fonction

f

est

π

-périodique et paire.

Q2-En déduire que l'étude de

f

peut être restreinte à l'intervalle

[0; \frac{π}{2}]

Q3-Étudier les variations de

f

sur cet intervalle réduit et dresser son tableau de variations.

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94. $Équation trigonométrique avec facteur commun en cosinus et sinus$

Résoudre dans l'intervalle

[0; 2 π]

l'équation

2 cos (x) sin (x) - cos (x) = 0

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95. $Équation trigonométrique se ramenant à un trinôme en sinus$

Résoudre dans l'intervalle

[- π; π]

l'équation

2 sin^{2} (x) + sin (x) - 1 = 0

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96. $Optimisation de l'aire d'un panneau solaire trapézoïdal symétrique$

Un panneau solaire a la forme d'un trapèze isocèle dont la petite base mesure

1 m

et les deux côtés latéraux mesurent chacun

1 m

. L'angle aigu entre la grande base et chaque côté latéral est noté

θ \in] 0; \frac{π}{2} [

Q1-Montrer que l'aire du trapèze en mètres carrés est donnée par

A (θ) = sin (θ) (1 + cos (θ))

Q2-Déterminer la valeur de

θ

qui rend cette aire maximale, ainsi que l'aire maximale correspondante.

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97. $Variations d'une fonction cosinus et cosinus double sur intervalle réduit$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = cos (2 x) + 2 cos (x)

Q1-Montrer que

f

est

2 π

-périodique et paire. Justifier que l'on peut limiter son étude à l'intervalle

[0; π]

Q2-On admet que, pour tout réel

x

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

. Montrer que pour tout

x \in [0; π]

f^{'} (x) = - 2 sin (x) (2 cos (x) + 1)

Q3-Déterminer le signe de

f^{'} (x)

sur

[0; π]

et dresser le tableau de variations complet de

f

sur cet intervalle.

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98. $Double encadrement du cosinus sur l'intervalle moins pi pi$

Résoudre dans l'intervalle

[- π; π]

la double inéquation

- \frac{2}{2} ⩽ cos (x) ⩽ \frac{1}{2}

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99. $Limite trigonométrique en zéro par le taux d'accroissement du cosinus$

Soit

f

la fonction définie sur

R^{*}

par

f (x) = \frac{cos ( x ) - 1}{x}

Q1-Exprimer

f (x)

comme un taux d'accroissement de la fonction cosinus en

0

Q2-En déduire la limite de

f (x)

lorsque

x

tend vers

0

Q3-Déterminer alors la limite en

0

de la fonction

h (x) = \frac{cos ( 3 x ) - 1}{x}

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100. $Étude d'une fonction auxiliaire affine et sinus et existence d'une racine unique$

Soit

g

la fonction définie sur

[0; π]

par

g (x) = x sin (x) + cos (x) - 1

Q1-Calculer

g^{'} (x)

pour tout

x \in [0; π]

Q2-Dresser le tableau de variations de

g

sur

[0; π]

Q3-Démontrer que l'équation

g (x) = 0

admet une unique solution dans l'intervalle

] \frac{π}{2}; π [

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101. $Optimisation du périmètre d'un secteur angulaire d'aire fixée$

Une parcelle de terrain a la forme d'un secteur circulaire de rayon

R > 0

et d'angle au centre

α \in] 0; 2 π [

. On impose que l'aire de ce secteur soit constante et égale à

S = 50 m^{2}

. On rappelle que l'aire d'un tel secteur est donnée par

A = \frac{1}{2} R^{2} α

et que son périmètre est

P = 2 R + R α

Q1-Exprimer le périmètre

P

en fonction du seul angle

α

Q2-Déterminer la valeur de l'angle

α

qui rend ce périmètre minimal, ainsi que le rayon

R

associé.

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102. $Hauteur d'un flotteur soumis à la marée$

La hauteur en mètres d'un flotteur par rapport au fond marin est modélisée pour

t \in [0; 12]

(en heures) par

h (t) = 3 sin (\frac{π}{6} t - \frac{π}{3}) + 8

Q1-Déterminer la période du mouvement du flotteur.

Q2-Déterminer les valeurs maximale et minimale de la hauteur d'eau atteinte par le flotteur.

Q3-Déterminer le premier instant

t \in [0; 12]

où la hauteur atteint son maximum.

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103. $Étude d'une fonction quotient construite sur le sinus et comportement asymptotique$

On considère la fonction

f

définie sur l'intervalle

] 0; π [

par

f (x) = \frac{x}{sin ( x )}

.

1. On note

g

la fonction définie sur

[0; π]

par

g (x) = sin (x) - x cos (x)

.
a. Déterminer

g^{'} (x)

et étudier son signe sur

[0; π]

.
b. En déduire le signe de

g (x)

sur

] 0; π]

.
2. Montrer que pour tout

x \in] 0; π [

f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{sin ^{2} ( x )}

et en déduire le sens de variation de

f

sur

] 0; π [

.
3. En utilisant le taux d'accroissement de la fonction sinus en

0

, déterminer la limite de

f

0

Q1-Déterminer

g^{'} (x)

et étudier son signe sur

[0; π]

Q2-En déduire le signe de

g (x)

sur

] 0; π]

Q3-Montrer que pour tout

x \in] 0; π [

f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{sin ^{2} ( x )}

et en déduire le sens de variation de

f

sur

] 0; π [

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104. $Inégalité trigonométrique stricte déduite de la décroissance de sin(t)/t$

On admet que la fonction

φ : t \mapsto \frac{sin ( t )}{t}

est strictement décroissante sur l'intervalle

] 0; \frac{π}{2} [

Q1-Soient

a

b

deux réels tels que

0 < a < b < \frac{π}{2}

. Démontrer que

\frac{sin ( a )}{a} > \frac{sin ( b )}{b}

, puis que

b sin (a) > a sin (b)

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105. $Résolution autonome d'une équation trigonométrique sur un intervalle de quatre pi$

Résoudre dans l'intervalle

[0; 4 π]

l'équation

sin (x) = \frac{1}{2}

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106. $Nombre de solutions d'une équation affine et cosinus par le théorème des valeurs intermédiaires$

On considère la fonction

f

définie sur

[0; π]

par

f (x) = 2 x - cos (x)

Q1-Calculer

f^{'} (x)

et déterminer le sens de variation de

f

sur

[0; π]

Q2-Démontrer que l'équation

f (x) = 2

admet une unique solution

α

dans

[0; π]

Q3-Donner un encadrement de

α

d'amplitude

0, 1

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107. $Niveau d'eau dans un bassin portuaire et durée d'accès au chenal$

Dans un bassin portuaire, le niveau d'eau

y (t)

en mètres est modélisé au cours d'une marée pour

t \in [0; 12]

(en heures) par la fonction

y (t) = 4 cos (\frac{π}{6} t) + 6

. Un bateau de fort tirant d'eau ne peut franchir le chenal que si le niveau d'eau est supérieur ou égal à

8 m

Q1-Déterminer la période et les valeurs maximale et minimale du niveau d'eau.

Q2-Résoudre sur l'intervalle

[0; 12]

l'inéquation

y (t) ⩾ 8

Q3-En déduire la durée totale pendant laquelle le chenal est accessible au bateau au cours de ce cycle de

12 heures

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108. $Comparaison des termes d'une suite trigonométrique par stricte décroissance$

On considère la fonction

f

définie sur

[0; π]

par

f (x) = cos (x) - \frac{x}{2}

Q1-Calculer

f^{'} (x)

et en déduire que la fonction

f

est strictement décroissante sur

[0; π]

Q2-On définit la suite

(u_{n})

pour tout entier naturel

n ⩾ 3

par

u_{n} = \frac{π}{n}

. Justifier que pour tout

n ⩾ 3

u_{n} \in [0; π]

et comparer

u_{n}

u_{n + 1}

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82.Signe et zéros de la fonction sinus sur l'intervalle zéro deux pi

83.Dérivée d'un sinus composé avec une expression affine

84.Dérivée d'un cosinus d'argument affine avec coefficient fractionnaire

85.Démonstration de l'imparité d'une somme de fonctions trigonométriques

86.Résolution d'une équation avec cosinus et racine de trois sur deux

87.Inéquation trigonométrique avec cosinus strictement supérieur à un demi

88.Résolution d'une équation avec sinus et racine de trois sur deux

89.Sens de variation d'un cosinus dilaté sur un demi-intervalle

90.Reconstitution d'une courbe par parité et périodicité deux pi

91.Dérivée et tangente horizontale d'une somme de cosinus et sinus

92.Inéquation trigonométrique avec sinus négatif sur l'intervalle moins pi pi

93.Étude complète d'une fonction cosinus dilatée avec réduction d'intervalle

94.Équation trigonométrique avec facteur commun en cosinus et sinus

95.Équation trigonométrique se ramenant à un trinôme en sinus

96.Optimisation de l'aire d'un panneau solaire trapézoïdal symétrique

97.Variations d'une fonction cosinus et cosinus double sur intervalle réduit

98.Double encadrement du cosinus sur l'intervalle moins pi pi

99.Limite trigonométrique en zéro par le taux d'accroissement du cosinus

100.Étude d'une fonction auxiliaire affine et sinus et existence d'une racine unique

101.Optimisation du périmètre d'un secteur angulaire d'aire fixée

102.Hauteur d'un flotteur soumis à la marée

103.Étude d'une fonction quotient construite sur le sinus et comportement asymptotique

104.Inégalité trigonométrique stricte déduite de la décroissance de sin(t)/t

105.Résolution autonome d'une équation trigonométrique sur un intervalle de quatre pi

106.Nombre de solutions d'une équation affine et cosinus par le théorème des valeurs intermédiaires

107.Niveau d'eau dans un bassin portuaire et durée d'accès au chenal

108.Comparaison des termes d'une suite trigonométrique par stricte décroissance

82. $Signe et zéros de la fonction sinus sur l'intervalle zéro deux pi$

83. $Dérivée d'un sinus composé avec une expression affine$

84. $Dérivée d'un cosinus d'argument affine avec coefficient fractionnaire$

85. $Démonstration de l'imparité d'une somme de fonctions trigonométriques$

86. $Résolution d'une équation avec cosinus et racine de trois sur deux$

87. $Inéquation trigonométrique avec cosinus strictement supérieur à un demi$

88. $Résolution d'une équation avec sinus et racine de trois sur deux$

89. $Sens de variation d'un cosinus dilaté sur un demi-intervalle$

90. $Reconstitution d'une courbe par parité et périodicité deux pi$

91. $Dérivée et tangente horizontale d'une somme de cosinus et sinus$

92. $Inéquation trigonométrique avec sinus négatif sur l'intervalle moins pi pi$

93. $Étude complète d'une fonction cosinus dilatée avec réduction d'intervalle$

94. $Équation trigonométrique avec facteur commun en cosinus et sinus$

95. $Équation trigonométrique se ramenant à un trinôme en sinus$

96. $Optimisation de l'aire d'un panneau solaire trapézoïdal symétrique$

97. $Variations d'une fonction cosinus et cosinus double sur intervalle réduit$

98. $Double encadrement du cosinus sur l'intervalle moins pi pi$

99. $Limite trigonométrique en zéro par le taux d'accroissement du cosinus$

100. $Étude d'une fonction auxiliaire affine et sinus et existence d'une racine unique$

101. $Optimisation du périmètre d'un secteur angulaire d'aire fixée$

102. $Hauteur d'un flotteur soumis à la marée$

103. $Étude d'une fonction quotient construite sur le sinus et comportement asymptotique$

104. $Inégalité trigonométrique stricte déduite de la décroissance de sin(t)/t$

105. $Résolution autonome d'une équation trigonométrique sur un intervalle de quatre pi$

106. $Nombre de solutions d'une équation affine et cosinus par le théorème des valeurs intermédiaires$

107. $Niveau d'eau dans un bassin portuaire et durée d'accès au chenal$

108. $Comparaison des termes d'une suite trigonométrique par stricte décroissance$