Exercices de Fonctions trigonométriques, Terminale (page 2)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=7\sin (x)-5\cos (x)$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\sin (x)$. Étudier la parité de $f$.

Donner la période de chacune des deux fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ : $f(x)=\cos (3x)$ et $g(x)=\sin \left(\frac{x}{2}\right)$.

À l'aide du cercle trigonométrique, déterminer le signe de $\sin (x)$ sur l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$, puis résoudre dans cet intervalle l'équation $\sin (x)=0$.

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x+\cos (x)$. La fonction $h$ est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?

On sait que $\sin (x)=\frac{24}{25}$ et que $x$ appartient à l'intervalle $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$. Déterminer la valeur exacte de $\cos (x)$.

Calculer les dérivées des deux fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ : $f(x)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ et $g(x)=\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (x)\sin (x)$. Démontrer que $f$ est impaire.

Résoudre dans l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$ l'équation $\cos (x)=-\frac{1}{2}$.

Résoudre dans l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\cos (x)⩾\frac{\sqrt{3}}{2}$. On donnera l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle.

Résoudre dans l'intervalle $[0;2\pi ]$ l'équation $\sin (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3-2\sin (x)$. Étudier le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $\left[\frac{\pi }{6};\frac{3\pi }{2}\right]$.

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, paire et périodique de période $2\pi$. Sa courbe est déjà connue sur l'intervalle $[0;\pi ]$ ; on sait en particulier que $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=3$ et que $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5-2x+3\sin (x)$. Calculer $f^{\prime }(x)$.

Résoudre dans l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\cos (x)⩽-\frac{\sqrt{2}}{2}$. On donnera l'ensemble des solutions sous la forme d'une réunion d'intervalles.

Résoudre dans l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin (x)=-\frac{1}{2}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2\sin (2x)-3$.

Résoudre dans l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$ l'équation $2{\cos }^2(x)-3\cos (x)+1=0$.

Une grande roue d'un parc d'attractions a pour rayon 10 mètres et son axe, noté $O$, se trouve à 12 mètres au-dessus du sol. Une cabine occupe l'extrémité d'un rayon $[OM]$, où $\theta$ désigne l'angle orienté entre la droite horizontale passant par $O$ et le rayon $[OM]$. On prend $\theta$ dans l'intervalle $[0;2\pi ]$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (3x)$.

Résoudre dans l'intervalle $[0;2\pi ]$ l'inéquation $\sin (x)⩾\cos (x)$. On rappelle que, pour tout réel $x$ : $\sin (x)-\cos (x)=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x)=\frac{\sin (2x)}{x}$. Déterminer la limite de $f$ en 0. On pourra identifier un taux d'accroissement de la fonction sinus entre 0 et $2x$.

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;2\pi ]$ par $g(x)=x-2\cos (x)$.

Le pignon d'un hangar agricole est un triangle isocèle $OAB$ : le faîtage est le sommet $O$, et les deux chevrons $[OA]$ et $[OB]$ mesurent chacun 4 mètres. L'angle au sommet, entre les deux chevrons, vaut $\theta$ radians, avec $\theta$ dans l'intervalle $]0;\pi [$. Le charpentier peut régler l'angle $\theta$ à volonté et souhaite rendre l'aire du pignon maximale pour stocker le plus de foin possible.

Dans une fête foraine, un lanceur projette une balle avec une vitesse de sortie fixée. La portée horizontale de la balle, en mètres, est modélisée par $D(\theta )=25\sin (2\theta )$, où $\theta$ désigne l'angle de tir en radians par rapport à l'horizontale, avec $\theta$ dans l'intervalle $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$. Le forain veut régler l'angle pour que la balle aille le plus loin possible.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\sin (x)-2$, de courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormé.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;2\pi \right]$ par $f(x)=\frac{1-\cos (x)}{x}$, et soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\sin (x)+\cos (x)-1$.

On admet que la fonction $f$ définie sur $\left]0;\pi \right]$ par $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Soit $g$ la fonction définie sur $\left]0;\pi \right[$ par $g(x)=\frac{x}{\sin (x)}$.

Résoudre dans l'intervalle $[0;4\pi ]$ l'équation $\cos (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, en veillant à donner toutes les solutions, sans en oublier ni en répéter.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x+2\cos (x)$.

Dans une serre de maraîcher, la température $T(t)$, en degrés Celsius, à l'instant $t$ exprimé en heures, évolue de façon périodique de période 24 heures : le minimum de 9 degrés est atteint à minuit (instant $t=0$) et le maximum de 25 degrés est atteint à midi (instant $t=12$). Pour modéliser la température, on propose une fonction de la forme $T(t)=a+b\cos \left(\frac{\pi t}{12}\right)$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer. La ventilation de la serre se déclenche dès que la température atteint ou dépasse 21 degrés.

Un point mobile décrit le cercle trigonométrique : au rang $n$, l'angle au centre balayé depuis la position initiale vaut $\frac{n\pi }{4}$ radians, où $n$ est un entier naturel. On définit la suite $(u_n)$ par $u_n=\cos \left(\frac{n\pi }{4}\right)$ pour tout entier naturel $n$.

La tension $U(t)$, en volts, aux bornes d'un alternateur est périodique de période $T_0=\frac{1}{50}$ seconde, prend ses valeurs entre $-10$ et 10 volts, et est nulle et croissante à l'instant $t=0$. Pour modéliser cette tension, on propose $U(t)=10\sin (100\pi t)$, où $t$ est exprimé en secondes.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;2\pi ]$ par $f(x)=x-2\sin (x)$.

Déterminer les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)$ et de $\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)$ en utilisant le cercle trigonométrique et les valeurs remarquables sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

Soit $x\in \left[-\frac{\pi }{2};0\right]$ tel que $\cos (x)=\frac{4}{5}$. Déterminer la valeur exacte de $\sin (x)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5\sin (x)-4\cos (x)+7$. Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f^{\prime }$.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3\sin (x)$. Étudier la parité de la fonction $g$.

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=3\cos (4x)-1$. Déterminer la plus petite période strictement positive de la fonction $h$.