Exercices de Les suites, Terminale

1. Algorithme pour calculer les 20 premiers termes :

La suite est définie explicitement : on calcule chaque terme directement à partir de $n$, sans passer par le terme précédent. En Python :

for n in range(20):
    u = (2 * n**2 + 4) / (n**2 + 3)
    print(n, u)

2. Conjecture de la limite :

On obtient (valeurs arrondies au millième) : $u_0\approx 1,333$ ; $u_1=1,5$ ; $u_2\approx 1,714$ ; $u_3\approx 1,833$ ; $u_4\approx 1,895$ ; $u_5\approx 1,929$ ; $u_{10}\approx 1,981$ ; $u_{19}\approx 1,995$.
Les termes augmentent et se rapprochent de $2$ : on conjecture que $l=2$.

3. Démonstration :

Pour tout entier $n⩾1$, on factorise le numérateur et le dénominateur par $n^2$ :$$u_n=\frac{n^2\left(2+\frac{4}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{3}{n^2}\right)}=\frac{2+\frac{4}{n^2}}{1+\frac{3}{n^2}}$$Comme $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0$, on a $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{4}{n^2}\right)=2$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{3}{n^2}\right)=1$.
Par quotient, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{2}{1}=2$ : la conjecture est démontrée, $l=2$.

4. Monotonie de $(u_n)$ :

On associe à la suite la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{2x^2+4}{x^2+3}$, de sorte que $u_n=f(n)$ pour tout entier naturel $n$. Le dénominateur ne s'annule pas, donc $f$ est dérivable sur $[0;+\infty [$ comme quotient de fonctions dérivables, et :$$f^{\prime }(x)=\frac{4x(x^2+3)-(2x^2+4)\times 2x}{(x^2+3{)}^2}=\frac{4x^3+12x-4x^3-8x}{(x^2+3{)}^2}=\frac{4x}{(x^2+3{)}^2}$$Pour $x>0$, $4x>0$ et $(x^2+3{)}^2>0$, donc $f^{\prime }(x)>0$ ; de plus $f^{\prime }(0)=0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty [$.
Pour tout entier naturel $n$, $n<n+1$, donc $f(n)<f(n+1)$, c'est-à-dire $u_n<u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

5. Algorithme de seuil :

La suite étant croissante, dès qu'un terme dépasse $l-h=2-h$, tous les suivants le dépassent aussi. On calcule donc les termes un par un tant que $u_N⩽2-h$. En Python :

def seuil(h):
    N = 0
    u = 4 / 3
    while u <= 2 - h:
        N = N + 1
        u = (2 * N**2 + 4) / (N**2 + 3)
    return N

La fonction renvoie la plus petite valeur de $N$ telle que $2-h<u_N$ ; l'instruction print(seuil(h)) l'affiche.

6. Tests :

Pour contrôler les résultats, on remarque que $2-u_n=\frac{2(n^2+3)-(2n^2+4)}{n^2+3}=\frac{2}{n^2+3}$. La condition $2-h<u_N$ équivaut donc à $\frac{2}{N^2+3}<h$, soit $N^2>\frac{2}{h}-3$.
- Pour $h=0,01$ : $N^2>197$. Comme $14^2=196$ et $15^2=225$, l'algorithme affiche $N=15$ (en effet $u_{14}\approx 1,98995⩽1,99$ et $u_{15}\approx 1,99123>1,99$).
- Pour $h=0,0001$ : $N^2>19997$. Comme $141^2=19881$ et $142^2=20164$, l'algorithme affiche $N=142$ (en effet $u_{141}\approx 1,999899⩽1,9999$ et $u_{142}\approx 1,999901>1,9999$).
Diviser $h$ par $100$ multiplie $N$ par $10$ environ : plus on veut approcher la limite finement, plus il faut aller loin dans la suite.

Pour tout entier naturel $n⩾1$, notons $P(n)$ la propriété : « $3^n⩾2n+1$ ».

1. Initialisation : pour $n=1$,$$3^1=3\text{et}2\times 1+1=3$$Comme $3⩾3$, la propriété $P(1)$ est vraie.

2. Hérédité : soit $k$ un entier naturel tel que $k⩾1$.
Supposons que $P(k)$ est vraie, c'est-à-dire que $3^k⩾2k+1$.
Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $3^{k+1}⩾2(k+1)+1=2k+3$.

En multipliant l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par $3>0$, le sens de l'inégalité est conservé :$$3^{k+1}⩾3(2k+1)=6k+3$$Étudions la différence entre $6k+3$ et $2k+3$ :$$(6k+3)-(2k+3)=4k$$Comme $k⩾1$, on a $4k>0$, d'où $6k+3>2k+3$.
On en déduit que :$$3^{k+1}⩾6k+3⩾2(k+1)+1$$La propriété est donc héréditaire.

3. Conclusion : la propriété $P(1)$ est vraie et la propriété est héréditaire pour tout $k⩾1$. D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n⩾1$, on a $3^n⩾2n+1$.