Exercices de Les suites en maths Terminale (page 3)

82. $Bornage et croissance par récurrence pour la convergence monotone$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = 0

et, pour tout

n \in N

, par

u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3

Q1-Démontrer par récurrence que, pour tout

n \in N

0 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 3

Q2-En déduire que la suite

(u_{n})

est convergente.

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83. $Limite de la somme des puissances successives d'un tiers$

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = 4 \times (\frac{1}{3})^{n}

.
Pour tout entier naturel

n

, on pose

S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}

Q1-Exprimer

S_{n}

en fonction de

n

Q2-Déterminer la limite de la suite

(S_{n})

lorsque

n

tend vers

+ \infty

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84. $Modélisation du recyclage annuel des déchets$

Une collectivité locale recycle

4000

tonnes de déchets en 2025. Chaque année, la filière conserve

70 %

du volume recyclé l'année précédente et intègre

1500

tonnes supplémentaires issues de nouveaux foyers raccordés.
Pour tout entier naturel

n

, on note

r_{n}

la masse de déchets recyclés en tonnes lors de l'année

2025 + n

, avec

r_{0} = 4000

r_{n + 1} = 0, 7 r_{n} + 1500

Q1-Calculer les valeurs de

r_{1}

r_{2}

Q2-Soit

(v_{n})

la suite définie pour tout

n \in N

par

v_{n} = r_{n} - 5000

. Démontrer que

(v_{n})

est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

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85. $Encadrement simultané et monotonie par récurrence$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = 2

et, pour tout entier naturel

n

, par

u_{n + 1} = \frac{1}{4} u_{n} + 3

Q1-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

2 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 4

Q2-En déduire que la suite

(u_{n})

converge.

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86. $Système de récurrences croisées à somme invariante$

On considère les suites

(u_{n})

(v_{n})

définies par

u_{0} = 1

v_{0} = 9

et, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + v _{n}}{3} et v_{n + 1} = \frac{u _{n} + 2 v _{n}}{3}

Q1-Démontrer que la suite

(d_{n})

définie par

d_{n} = v_{n} - u_{n}

est géométrique. En déduire l'expression de

d_{n}

en fonction de

n

et sa limite.

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87. $Non-majoration démontrée par l'absurde$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = 1

et, pour tout

n \in N

, par

u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{u _{n}}

Q1-Démontrer par récurrence que pour tout

n \in N

u_{n} ⩾ 1

Q2-En déduire que la suite

(u_{n})

est strictement croissante.

Q3-Démontrer par l'absurde que la suite

(u_{n})

n'est pas majorée.

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88. $Évolution d'un dosage médicamenteux et seuil$

Un patient reçoit chaque matin une dose de

150 mg

d'une substance thérapeutique. Au cours des

24

heures suivantes, le métabolisme élimine

40 %

de la quantité totale présente dans le sang. On note

q_{n}

la masse de principe actif, en milligrammes, présente immédiatement après la

n

-ième injection (

n ⩾ 1

). On a

q_{1} = 150

Q1-Justifier que, pour tout entier

n ⩾ 1

q_{n + 1} = 0, 6 q_{n} + 150

Q2-On pose

v_{n} = q_{n} - 375

pour tout

n ⩾ 1

. Démontrer que

(v_{n})

est une suite géométrique, puis exprimer

q_{n}

en fonction de

n

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89. $Suite homographique ramenée à une raison géométrique$

On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 3

et, pour tout

n \in N

, par

u_{n + 1} = \frac{2 u _{n}}{u _{n} + 1}

Q1-Démontrer par récurrence que pour tout

n \in N

u_{n} > 1

Q2-On définit la suite

(v_{n})

par

v_{n} = \frac{u _{n} - 1}{u _{n}}

pour tout

n \in N

. Démontrer que

(v_{n})

est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

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90. $Décomposition en éléments simples et somme télescopique$

Soit

(u_{n})

la suite définie pour tout entier naturel

n ⩾ 1

par

u_{n} = \frac{2}{n ( n + 2 )}

Q1-Déterminer deux nombres réels

a

b

tels que, pour tout entier

n ⩾ 1

u_{n} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n + 2}

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91. $Démonstration du théorème de l'inégalité de Bernoulli$

Le but de cet exercice est d'établir l'inégalité de Bernoulli, démonstration exigible au programme officiel de terminale.
Soit

a

un nombre réel positif ou nul (

a ⩾ 0

).
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

, on a :

(1 + a)^{n} ⩾ 1 + na

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92. $Démonstration de la divergence géométrique vers plus l'infini$

Le but de cet exercice est de démontrer que si

q > 1

, alors

n \to + \infty lim q^{n} = + \infty

, démonstration exigible au programme officiel de terminale.

Q1-En posant

a = q - 1

, justifier que

a > 0

et exprimer

q^{n}

en fonction de

a

Q2-À l'aide de l'inégalité de Bernoulli (que l'on énoncera sans la redémontrer), minorer

q^{n}

Q3-Conclure à l'aide d'un théorème de comparaison.

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93. $Théorème sur la limite d'une suite croissante non majorée$

On considère une suite

(u_{n})

de nombres réels.
On suppose que la suite

(u_{n})

est croissante et qu'elle n'est pas majorée.
Démontrer rigoureusement, à l'aide de la définition formelle d'une limite infinie, que

n \to + \infty lim u_{n} = + \infty

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94. $Problème complet sur une suite arithmético-géométrique$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = 1

et, pour tout

n \in N

, par

u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2

Q1-Démontrer par récurrence que, pour tout

n \in N

u_{n} < 3

Q2-Démontrer que la suite

(u_{n})

est strictement croissante.

Q3-En déduire que la suite

(u_{n})

converge vers un réel

ℓ

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95. $Construction autonome d'une minoration divergente$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = 2

et, pour tout

n \in N

, par

u_{n + 1} = u_{n}^{2} - u_{n} + 1

Q1-Démontrer par récurrence que, pour tout

n \in N

u_{n} ⩾ n + 2

Q2-En déduire la limite de la suite

(u_{n})

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96. $Étude de deux suites croisées avec combinaison constante$

On considère les suites

(u_{n})

(v_{n})

définies par

u_{0} = 2

v_{0} = 10

et, pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = \frac{3 u _{n} + v _{n}}{4} et v_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3 v _{n}}{4}

Q1-On pose

w_{n} = v_{n} - u_{n}

pour tout

n \in N

. Démontrer que la suite

(w_{n})

est géométrique. Exprimer

w_{n}

en fonction de

n

et déterminer sa limite.

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97. $Encadrement géométrique de l'écart à la limite$

Soit

(u_{n})

la suite définie par

u_{0} = 1

et, pour tout

n \in N

, par

u_{n + 1} = u_{n} + 6

Q1-Démontrer par récurrence que, pour tout

n \in N

1 ⩽ u_{n} < u_{n + 1} < 3

Q2-En déduire que la suite

(u_{n})

converge vers une limite finie

ℓ

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98. $Somme alternée géométrique et précision d'approximation$

Pour tout entier naturel

n

, on pose

S_{n} = k = 0 \sum n (- \frac{1}{2})^{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots + (- \frac{1}{2})^{n}

Q1-Démontrer que pour tout entier naturel

n

S_{n} = \frac{2}{3} (1 - (- \frac{1}{2})^{n + 1})

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99. $Limite d'un quotient de suites géométriques par factorisation$

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par :

u_{n} = \frac{3 \times 5 ^{n} - 2 ^{n}}{5 ^{n} + 4 ^{n}}

Q1-Justifier que la détermination directe de la limite de la suite

(u_{n})

par les règles usuelles sur les opérations conduit à une forme indéterminée.

Q2-Pour tout entier naturel

n

, factoriser le numérateur et le dénominateur de

u_{n}

par

5^{n}

, puis simplifier l'expression obtenue.

Q3-En déduire la limite de la suite

(u_{n})

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100. $Partie A : Modélisation$

Une forêt de sapins recouvre initialement 20 ha. Chaque année, l’exploitation de la forêt engendre une diminution de 1/10 de sa surface par rapport à l’année précédente à laquelle on ajoute 3 ha de nouvelles plantations de sapins.
On note

u_{n}

la superficie de la forêt au bout de n années, exprimée en ha.

Q1-Donner la valeur de

u_{0}

et écrire une relation de récurrence vérifiée par la suite

(u_{n})

Q2-a) Ecrire un algorithme qui permet de calculer les premiers termes de la suite

(u_{n})

.
b) Emettre une conjecture concernant un majorant de la suite

(u_{n})

.
c) Emettre une conjecture concernant le sens de variation de la suite

(u_{n})

Q3-Démontrer par récurrence les conjectures de la question 2.

Q4-Donner une interprétation des résultats précédents par rapport au contexte.

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101. $Partie B : Étude de la limite$

Q1-a) A l’aide d’un tableur : - calculer les 50 premiers termes de la suite

(u_{n})

. - représenter graphiquement la suite à l’aide d’un nuage de points.
b) Reproduire sur la copie à rendre l’allure de la représentation graphique.

Q2-A l’aide du tableur, répondre aux questions suivantes :
a) Existe-t-il un rang

N

à partir duquel on a

30 - 1 < u_{n}

pour

n \geq N

? Si oui, lequel ?
b) Existe-t-il un rang

N

à partir duquel on a

30 - 0, 1 < u_{n}

pour

n \geq N

? Si oui, lequel ?

Q3-On souhaite généraliser les résultats obtenus à la question 2.
a) Ecrire un algorithme qui :
- demande une valeur

h

à l’utilisateur,
- donne la plus petite valeur de

N \in N

telle que

30 - h < u_{N}

.
b) Tester cet algorithme pour

h = 1

h = 0, 1

. Vérifier la cohérence avec les résultats des questions 2a et 2b.
c) Tester cet algorithme pour

h = 0, 01

puis

h = 0, 001

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102. $Lectures graphiques$

On considère six suites

(u_{n})

, définies pour tout entier naturel

n

dans les exemples 1 à 4 et pour tout entier

n ⩾ 1

dans les exemples 5 et 6. À la place de leurs représentations graphiques, on donne leur expression et leurs premiers termes :
- Exemple 1 :

u_{n} = (- 1)^{n}

, de premiers termes

1

;

- 1

;

1

;

- 1

;

1

;

- 1

;

\dots

- Exemple 2 :

u_{n} = n (- 1)^{n}

, de premiers termes

0

;

- 1

;

2

;

- 3

;

4

;

- 5

;

\dots

- Exemple 3 :

u_{n} = n (1 - (- 1)^{n})

, de premiers termes

0

;

2

;

0

;

6

;

0

;

10

;

\dots

- Exemple 4 :

u_{n} = n + (- 1)^{n}

, de premiers termes

1

;

0

;

3

;

2

;

5

;

4

;

\dots

- Exemple 5 :

u_{n} = 2 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

, de premiers termes

1

;

2, 5

;

\frac{5}{3}

;

2, 25

;

1, 8

;

\frac{13}{6}

;

\dots

- Exemple 6 :

u_{n} = 5 - \frac{4}{n}

, de premiers termes

1

;

3

;

\frac{11}{3}

;

4

;

4, 2

;

\frac{13}{3}

;

\dots

En s'aidant de ces termes (on peut placer les points de coordonnées

(n; u_{n})

dans un repère, ou les afficher à la calculatrice), cocher, pour chaque exemple, les propositions correctes parmi les suivantes :
-

(u_{n})

a une limite finie

ℓ

(u_{n})

a pour limite

+ \infty

(u_{n})

a pour limite

- \infty

(u_{n})

est croissante
-

(u_{n})

est décroissante
-

(u_{n})

est minorée
-

(u_{n})

est majorée
-

(u_{n})

est bornée

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103. $Vrai ou Faux$

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse :

- Si une suite est croissante, alors elle n’est pas majorée.
- Si une suite n’est pas majorée, alors elle est croissante.
- Si une suite n’est pas croissante, alors elle est décroissante.
- Si une suite n’est pas majorée, alors elle est minorée.
- Si une suite n’a pas pour limite

+ \infty

- \infty

, alors elle a une limite finie

ℓ

.
- Si une suite n’a pas de limite finie

ℓ

, alors elle n'a pas pour limite

+ \infty

- \infty

.
- Si une suite a une limite finie

ℓ

, alors elle est bornée.
- Si une suite est bornée, alors elle a une limite finie

ℓ

.
- Si une suite est croissante, alors elle a pour limite

+ \infty

.
- Si une suite a pour limite

+ \infty

, alors elle est croissante.
- Si une suite a pour limite

+ \infty

, alors elle n’est pas majorée.
- Si une suite n’est pas majorée, alors elle a pour limite

+ \infty

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104. $Sommes d'entiers$

Q1-Démontrer les « élégantes sommes » :

2 + 3 + 4 + \dots + 444 = 98789

2 + 3 + 4 + \dots + 4444 = 9876789

Q2-Calculer les « élégantes sommes » suivantes :

k = 56 \sum 166 k

k = 5556 \sum 16666 k

Q3-Pour chacun des nombres suivants, conjecturer une « élégante somme » qui lui est égale :
12345678987654321 et 9876543210123456789

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105. $Sommes de carrés$

On donne la formule exprimant la somme des carrés consécutifs :

k = 1 \sum n k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

Q1-Vérifier cette formule dans le cas particulier où

n = 5

Q2-Démontrer l’ « élégante somme » :

k = 1 \sum 333 (9 k^{2} - 3 k + 1) = 111111111

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106. $Règle des parents$

Toto vient d’avoir 12 ans. Ses parents pensent que pour lui apprendre à devenir autonome dans la vie, il serait bien de lui donner chaque mois de l’argent de poche afin qu’il puisse gérer seul ses dépenses.
Ses parents lui proposent la règle suivante : ils lui donnent 5 euros le jour de l’anniversaire de ses 12 ans et chaque mois suivant, son argent de poche augmentera de 0,50 €.
Pour tout entier naturel

n

, on note

u_{n}

l’argent de poche versé à Toto,

n

mois après l’anniversaire de ses 12 ans avec cette règle. Ainsi,

u_{0} = 5

u_{1} = 5, 50

Q1-Calculer l’argent de poche de Toto après 6 mois.

Q2-Quelle est la nature de la suite

(u_{n})

? On précisera les paramètres.

Q3-Déterminer l’expression du terme général

u_{n}

en fonction de

n

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107. $Règle de Toto$

Mais, l’histoire ne se déroule pas comme prévu. Toto, malin, propose à ses parents une évolution différente de son argent de poche :
« Vous me donnez 5 euros le jour de l’anniversaire de mes 12 ans et chaque mois suivant, mon argent de poche augmentera de 4%.
Écoutez, maman-papa, le mois prochain, vous ne me donnerez que 5,20 € contre 5,50 € avec votre règle. Vous y gagnerez déjà ! »
Pour tout entier naturel

n

, on note

v_{n}

l’argent de poche versé à Toto,

n

mois après l’anniversaire de ses 12 ans avec la règle de Toto. Ainsi,

v_{0} = 5

v_{1} = 5, 20

Q1-Avec la règle de Toto, calculer l’argent de poche de Toto après 6 mois.

Q2-Quelle est la nature de la suite

(v_{n})

? On précisera les paramètres.

Q3-Déterminer l’expression du terme général

v_{n}

en fonction de

n

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108. $Comparaison des règles$

Q1-Pour chacune des règles, déterminer l’argent de poche de Toto le jour de ses 18 ans.

Q2-A partir de quel âge (années + mois), une règle devient plus avantageuse pour Toto que l’autre. Expliquer la méthode pour trouver.

Q3-Calculer

v_{0} + v_{1} + v_{2} + \dots + v_{72}

. Interpréter le résultat. Que penser de la règle imaginée par Toto ?

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Exercices de Les suites, Terminale (page 3)

81.

82. $Bornage et croissance par récurrence pour la convergence monotone$

83. $Limite de la somme des puissances successives d'un tiers$

84. $Modélisation du recyclage annuel des déchets$

85. $Encadrement simultané et monotonie par récurrence$

86. $Système de récurrences croisées à somme invariante$

87. $Non-majoration démontrée par l'absurde$

88. $Évolution d'un dosage médicamenteux et seuil$

89. $Suite homographique ramenée à une raison géométrique$

90. $Décomposition en éléments simples et somme télescopique$

91. $Démonstration du théorème de l'inégalité de Bernoulli$

92. $Démonstration de la divergence géométrique vers plus l'infini$

93. $Théorème sur la limite d'une suite croissante non majorée$

94. $Problème complet sur une suite arithmético-géométrique$

95. $Construction autonome d'une minoration divergente$

96. $Étude de deux suites croisées avec combinaison constante$

97. $Encadrement géométrique de l'écart à la limite$

98. $Somme alternée géométrique et précision d'approximation$

99. $Limite d'un quotient de suites géométriques par factorisation$

100. $Partie A : Modélisation$

101. $Partie B : Étude de la limite$

102. $Lectures graphiques$

103. $Vrai ou Faux$

104. $Sommes d'entiers$

105. $Sommes de carrés$

106. $Règle des parents$

107. $Règle de Toto$

108. $Comparaison des règles$

81.

82.Bornage et croissance par récurrence pour la convergence monotone

83.Limite de la somme des puissances successives d'un tiers

84.Modélisation du recyclage annuel des déchets

85.Encadrement simultané et monotonie par récurrence

86.Système de récurrences croisées à somme invariante

87.Non-majoration démontrée par l'absurde

88.Évolution d'un dosage médicamenteux et seuil

89.Suite homographique ramenée à une raison géométrique

90.Décomposition en éléments simples et somme télescopique

91.Démonstration du théorème de l'inégalité de Bernoulli

92.Démonstration de la divergence géométrique vers plus l'infini

93.Théorème sur la limite d'une suite croissante non majorée

94.Problème complet sur une suite arithmético-géométrique

95.Construction autonome d'une minoration divergente

96.Étude de deux suites croisées avec combinaison constante

97.Encadrement géométrique de l'écart à la limite

98.Somme alternée géométrique et précision d'approximation

99.Limite d'un quotient de suites géométriques par factorisation

100.Partie A : Modélisation

101.Partie B : Étude de la limite

102.Lectures graphiques

103.Vrai ou Faux

104.Sommes d'entiers

105.Sommes de carrés

106.Règle des parents

107.Règle de Toto

108.Comparaison des règles

82. $Bornage et croissance par récurrence pour la convergence monotone$

83. $Limite de la somme des puissances successives d'un tiers$

84. $Modélisation du recyclage annuel des déchets$

85. $Encadrement simultané et monotonie par récurrence$

86. $Système de récurrences croisées à somme invariante$

87. $Non-majoration démontrée par l'absurde$

88. $Évolution d'un dosage médicamenteux et seuil$

89. $Suite homographique ramenée à une raison géométrique$

90. $Décomposition en éléments simples et somme télescopique$

91. $Démonstration du théorème de l'inégalité de Bernoulli$

92. $Démonstration de la divergence géométrique vers plus l'infini$

93. $Théorème sur la limite d'une suite croissante non majorée$

94. $Problème complet sur une suite arithmético-géométrique$

95. $Construction autonome d'une minoration divergente$

96. $Étude de deux suites croisées avec combinaison constante$

97. $Encadrement géométrique de l'écart à la limite$

98. $Somme alternée géométrique et précision d'approximation$

99. $Limite d'un quotient de suites géométriques par factorisation$

100. $Partie A : Modélisation$

101. $Partie B : Étude de la limite$

102. $Lectures graphiques$

103. $Vrai ou Faux$

104. $Sommes d'entiers$

105. $Sommes de carrés$

106. $Règle des parents$

107. $Règle de Toto$

108. $Comparaison des règles$