Exercices de Les suites, Terminale (page 2)

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$$

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n⩾1$ par :$$u_n=2n^3-7n^2+4n-9$$

Un épargnant place un capital initial de $1000$ euros sur un compte rémunéré à $3\%$ d'intérêts annuels composés. Chaque année, immédiatement après le versement des intérêts, il ajoute $200$ euros sur ce compte. On note $C_n$ le montant du capital acquis, en euros, après $n$ années. On a ainsi $C_0=1000$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}$$

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\frac{1}{4}{u}_n^2+1$$

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=6$ et de raison $q=\frac{2}{3}$. Pour tout entier naturel $n$, on pose :$$S_n=\sum _{k=0}^n{u}_k=u_0+u_1+\cdots +u_n$$

Dans une entreprise comptant $500$ salariés, le jour $0$, $50$ salariés sont informés d'un nouveau protocole de sécurité. Chaque jour suivant, $20\%$ des salariés informés la veille oublient le protocole, tandis que l'équipe de direction forme $120$ salariés. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de salariés informés au jour $n$ selon ce modèle.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\sqrt{2u_n+8}$$

On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$, $v_0=12$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\text{et}{v}_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}$$

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$$1. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $u_n⩾1$. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
2. On suppose, par l'absurde, que la suite $(u_n)$ est majorée.
a. Justifier que la suite $(u_n)$ convergerait alors vers un nombre réel noté $\ell$, avec $\ell ⩾1$.
b. Établir que pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $u_{n+1}^2=u_n^2+2+\frac{1}{u_n^2}$.
c. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}^2-u_n^2⩾2$, puis que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n^2⩾1+2n$.
d. Aboutir à une contradiction.
3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

La population d'un banc de poissons dans une réserve marine est estimée à $150$ tonnes. Chaque année, la reproduction naturelle assure un accroissement de $15\%$, et un prélèvement de pêche de $30$ tonnes est autorisé en fin d'année. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $b_n$ la biomasse en tonnes après $n$ années. On a $b_0=150$.

Soit $(u_n)$ la suite géométrique définie pour tout entier naturel $n$ par :$$u_n=10\times {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$$On pose pour tout entier naturel $n$, $T_n=\sum _{k=0}^n{u}_k=u_0+u_1+\cdots +u_n$.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\frac{3u_n+1}{u_n+3}$$

L'inégalité de Bernoulli est une démonstration officiellement exigible du programme de terminale.
Soit $a$ un nombre réel strictement positif fixé.
On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :$$(1+a{)}^n⩾1+na$$

Le programme officiel de terminale exige la démonstration du résultat suivant : si $q>1$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$.
Soit $q$ un nombre réel tel que $q>1$. On pose $a=q-1$.

La démonstration suivante est exigible au baccalauréat.
Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant les deux hypothèses suivantes :
- la suite $(u_n)$ est croissante ;
- la suite $(u_n)$ n'est pas majorée.

1. Rappeler la définition rigoureuse avec intervalles de : « la suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ ».
2. Écrire la négation de l'assertion : « la suite $(u_n)$ est majorée ».
3. Soit $A$ un nombre réel quelconque fixé.
a. Justifier l'existence d'un rang $p\in \mathbb{N}$ tel que $u_p>A$.
b. En utilisant la croissance de la suite $(u_n)$, démontrer que pour tout entier $n⩾p$, on a $u_n>A$.
4. Conclure la démonstration du théorème.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$$1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :$$u_n⩽u_{n+1}⩽6$$2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un nombre réel noté $\ell$.
3. On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n=u_n-6$.
a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la valeur exacte de la limite $\ell$ et confronter ce résultat à la question 2.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=u_n^2-u_n+1$$

On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=3$, $v_0=8$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\frac{3u_n+2v_n}{5}\text{et}{v}_{n+1}=\frac{2u_n+3v_n}{5}$$On introduit les deux suites auxiliaires $(w_n)$ et $(t_n)$ définies pour tout $n\in \mathbb{N}$ par :$$w_n=v_n-u_n\text{et}{t}_n=u_n+v_n$$

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :$$u_n=5\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$$

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$$

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, par :$$u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}$$Calculer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n⩾1$ par :$$u_n=3-\frac{7}{\sqrt{n}}+\frac{4}{n^2}$$

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :$$u_n=-6\times {\left(\frac{4}{3}\right)}^n$$Justifier que la suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n⩾1$, on a :$$3^n⩾2n+1$$

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :$$u_n=\frac{3+(-1{)}^n\cos (n)}{5}$$Justifier que la suite $(u_n)$ est bornée sur $\mathbb{N}$ par deux nombres réels que l'on précisera.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n⩾1$ par :$$u_n=(2n+5)\left(4-\frac{3}{n}\right)$$

On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0=-2$ et, pour tout entier naturel $n$, par :$$v_{n+1}=\frac{1}{3}{v}_n+4$$Calculer les valeurs exactes de $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :$$u_n=15\times (0,75{)}^n+8$$Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, par :$$u_{n+1}=0,6u_n+2$$Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}⩽u_n$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=3u_n-8$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n⩾1$ par :$$u_n=\frac{6n^2-5n+1}{2n^2+7n+3}$$

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :$$u_n=\sqrt{n^2+4n}-n$$Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ à l'aide de l'expression conjuguée.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n⩾1$ par :$$u_n=2n^2+3n\cos (n)-5$$

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n⩾1$ par :$$u_n=\frac{3n+(-1{)}^n{\sin }^2(n)}{n+4}$$

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=200$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_{n+1}=0,8u_n+50$. On admet que la suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $250$.
On donne la fonction Python ci-dessous :

def seuil():
    n = 0
    u = 200
    while ...:
        u = 0.8 * u + 50
        n = n + 1
    return n

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par :$$u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{u_n+4}$$Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n<2$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n⩾1$ par :$$u_n=\frac{5n^3-2n+7}{3n^2+4n+1}$$

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :$$u_n=\sqrt{4n^2+3n+1}-2n$$