Exercices de Limites des fonctions, Terminale

Effectuer une étude complète de la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $g(x)=\frac{(x-3{)}^2}{x^3}$ dans le but de tracer sa courbe.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{2x}{x^2+9}$.

Dans une piscine de profondeur 5 mètres, on considère que la trajectoire sous l'eau d'un plongeur peut être modélisée par $f(x)=\frac{5x^2-25x+45}{2x+3}$ où :
- $x$ désigne la distance du bord de la piscine au plongeur, en mètres,
- $f(x)$ désigne la distance du fond de la piscine au plongeur, en mètres.
L'objectif de l'exercice est de tracer la trajectoire (C) du plongeur sous l'eau.

On rappelle que $f(x)=\frac{5x^2-25x+45}{2x+3}$. Déterminer les équations des tangentes à la courbe $(C)$ en $1$ et en $6$.

Sur l'intervalle $[1;6]$, tracer les trois tangentes (en $1$, en $6$ et la tangente horizontale) puis la trajectoire $(C)$ du plongeur, courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{5x^2-25x+45}{2x+3}$.

Sans justification, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{3\}$ par $f(x)=\frac{2x-1}{x-3}$.

Pour chacune des trois courbes décrites ci-dessous, donner en justifiant l'expression d'une fonction qui pourrait « au mieux » lui correspondre.
Dans chaque cas, on veillera à ce que la courbe de la fonction proposée respecte les mêmes variations et possède les mêmes asymptotes (horizontale et verticale).

Courbe 1 : elle admet une asymptote verticale d'équation $x=-1$ et une asymptote horizontale d'équation $y=-2$ ; la fonction est décroissante sur $]-\infty ;-1[$ et sur $]-1;+\infty [$ ; la courbe passe par les points $(0;-1)$ et $(-2;-3)$.

Courbe 2 : elle admet une asymptote verticale d'équation $x=2$ et une asymptote horizontale d'équation $y=1$ ; la fonction est décroissante sur $]-\infty ;2[$ et sur $]2;+\infty [$ ; la courbe passe par les points $(1;0)$ et $(3;2)$.

Courbe 3 : elle admet deux asymptotes verticales, d'équations $x=-1$ et $x=3$, et une asymptote horizontale d'équation $y=-3$ ; la fonction est croissante sur $]-\infty ;-1[$ et sur $]-1;1]$, décroissante sur $[1;3[$ et sur $]3;+\infty [$ ; la courbe est au-dessus de l'asymptote horizontale sur $]-\infty ;-1[$ et sur $]3;+\infty [$, en dessous sur $]-1;3[$ ; sur $]-1;3[$, la fonction atteint son maximum, $-3,5$, en $x=1$.

On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ admet les propriétés suivantes :
- au voisinage de $+\infty$, elle admet la droite d'équation $y=-2$ comme asymptote ;
- au voisinage de $3$, on a $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ et $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=2x^2+5\sqrt{x}+\frac{3}{x}-4$$Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant soigneusement par les opérations élémentaires sur les limites.

Soit $g$ la fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$ par :$$g(x)=\frac{x^2-3x+5}{2x-1}$$

Soit $h$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par :$$h(x)=\frac{3-2x}{(x-1{)}^2}$$

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-4\}$. On donne les limites suivantes :$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=5\text{et}\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$$

On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$u(x)=3+4e^{-x}\text{et}v(x)=2x-1+e^x$$

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ;0[$ par :$$f(x)=x^3-4x+1-\frac{2}{x^2}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $]2;+\infty [$ par :$$f(x)=\frac{-5}{x-2}$$

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\ne 4$ par :$$f(x)=\frac{2x-3}{4-x}$$

Soit $P$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par :$$P(x)=-2x^3+5x^2-7x+4$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$ par :$$f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x^2-2}$$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :$$g(x)=\frac{5x+3}{x^2+4}$$

On considère la fonction $f$ définie sur $[1;+\infty [$ par :$$f(x)=\sqrt{\frac{4x-1}{x+3}}$$

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :$$h(x)=\exp \left(\frac{3x+1}{x-2}\right)$$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=\frac{e^x-2x}{x}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=2x-3+\sin (x)$$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :$$g(x)=\frac{3+\cos (x)}{\sqrt{x}}$$

La concentration $C(t)$ (exprimée en milligrammes par litre) d'un principe actif dans le sang $t$ heures après son administration est modélisée pour $t⩾0$ par :$$C(t)=\frac{8t}{t^2+4}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :$$f(x)=\sqrt{x+4}-\sqrt{x}$$

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;9[\cup ]9;+\infty [$ par :$$g(x)=\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par :$$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ par :$$f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :$$f(x)=\frac{2e^x-3x^2+1}{e^x+x}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty [$ par :$$f(x)=2x^2+(x-1)\sin (x)$$