Exercices de Limites des fonctions en maths Terminale (page 2) | The Maths Tailor
Exercices de Limites des fonctions, Terminale (page 2)
110 exercices de Limites des fonctions pour les maths Terminale, avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Limite d'une fonction à l'infini, Limite d'une fonction en un réel, Opérations sur les limites, Limite d'une fonction composée.
42.Modélisation thermique d'une pièce et comportement asymptotique
La température T(t) (exprimée en degrés Celsius) d'une pièce chauffée, à l'instant t (exprimé en heures, avec t⩾0), est modélisée par :T(t)=19−(6t+9)e−0,5t
Q1-Déterminer la température initiale de la pièce à l'instant t=0.
Q2-En développant l'expression, écrire T(t) sous la forme 19−6te−0,5t−9e−0,5t.
45.Démonstration de cours de la croissance comparée de l'exponentielle
On se propose de démontrer la limite de croissance comparée exigible au programme :x→+∞limxex=+∞Pour cela, on introduit la fonction auxiliaire g définie sur [0;+∞[ par :g(x)=ex−2x2
Q1-Calculer la dérivée première g′ puis la dérivée seconde g′′ de g sur [0;+∞[.
Q2-Étudier le signe de g′′(x) sur [0;+∞[, puis en déduire le sens de variation et le signe de g′ sur [0;+∞[.
53.Limite d'un produit de fonctions usuelles sans forme indéterminée
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par :f(x)=(3x+1)(2x+5)Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ en justifiant par le produit de limites usuelles.
56.Limite en plus l'infini d'une somme combinant inverse et exponentielle
On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par :f(x)=4−x7+2e−xDéterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ et en déduire l'équation de l'asymptote horizontale à la courbe représentative de f.
59.Limite à l'infini d'une somme de termes tendant vers moins l'infini
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par :f(x)=−3x2−4x−1Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ en utilisant les règles opératoires sur les sommes de limites.
61.Limite à l'infini d'une fraction rationnelle de degré supérieur au numérateur
Soit f la fonction rationnelle définie sur R∖{−1} par :f(x)=x2+2x+13x3−2x+1Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ en factorisant le numérateur et le dénominateur par leurs termes dominants.
68.Modélisation de la charge d'un circuit électrique et tension limite
La tension aux bornes d'un condensateur lors de sa mise sous tension est modélisée pour t⩾0 par :u(t)=12(1−e−0,5t)où t représente le temps écoulé en secondes et u(t) la tension mesurée en volts.
Q1-Déterminer t→+∞limu(t).
Q2-Interpréter concrètement ce résultat pour le fonctionnement du circuit et préciser l'équation de l'asymptote associée.
76.Modélisation d'une cinétique chimique avec régime asymptotique
Lors d'une synthèse chimique, la quantité de composé présent dans le milieu réactionnel (exprimée en millimoles) au temps t⩾0 (en minutes) est donnée par :Q(t)=3t2+215t2+4t
Q1-Déterminer la quantité initiale de produit formé à t=0.
Q2-Déterminer la limite de Q(t) lorsque le temps t devient infiniment grand (t→+∞).
Q3-Interpréter concrètement cette limite pour le chimiste et donner l'équation de l'asymptote horizontale à la courbe représentative de Q.
Q2-Déterminer la limite en +∞ des fonctions u(x)=x2+5x et v(x)=x2+53x.
Q3-En déduire x→+∞limf(x).
Q3-En effectuant le changement de variable u=0,5t, déterminer t→+∞limte−0,5t.
Q4-En déduire t→+∞limT(t) et donner la signification concrète de ce résultat.
Q3-En déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞.
En déduire la limite de f en −∞ et préciser l'asymptote correspondante.
Q3-En déduire le sens de variation de g sur [0;+∞[ ainsi que le signe de g(x).
Q4-Établir que pour tout x>0, xex>2x, puis conclure sur la limite cherchée par comparaison.
Q2-En utilisant la stricte croissance de la fonction exponentielle sur R, démontrer que pour tout réel x>n0, on a ex>A.
Q3-En déduire que x→+∞limex=+∞.
Q4-En effectuant le changement de variable X=−x, démontrer que x→−∞limex=0.
Q3-En déduire x→+∞limf(x) et préciser l'asymptote associée en +∞.
Q4-Déterminer la fonction dérivée f′ et étudier le signe de f′(0).
Q3-En utilisant l'inégalité f(x)⩽g(x), montrer que pour tout x>A, on a g(x)>M.
Q4-Conclure rigoureusement sur la limite de g en +∞.
Q3-On rappelle la limite fondamentale du taux de variation en 0 de la fonction exponentielle : h→0limheh−1=1. Démontrer que pour tout x>1 :f(x)=x2−12x2+x×u(x)eu(x)−1
Q4-En déduire la valeur exacte de x→+∞limf(x).
Q2-En déduire x→+∞limf(x) et l'équation de l'asymptote horizontale en +∞.
Q3-Pour tout x<0, rappeler la relation entre x2 et x, puis déterminer x→−∞limf(x).
Q4-Préciser l'équation de l'asymptote horizontale en −∞ et comparer les deux asymptotes obtenues.
Pour tout x∈R, factoriser numérateur et dénominateur par ekx.
Q3-En déduire x→+∞limfk(x) et l'équation de l'asymptote horizontale au voisinage de +∞.
Q4-Démontrer que toutes les courbes Ck passent par un même point fixe A dont on précisera les coordonnées.
Q3-Donner les équations des deux asymptotes à la courbe représentative de g.
Q3-Déterminer la limite unilatérale x→1+limf(x).
Q3-Déterminer x→0+limh(x) et x→0−limh(x).
Q2-En déduire la limite de g(x) lorsque x tend vers +∞.
Q3-La fonction f admet-elle une limite en 1 ? Justifier la réponse.
Q3-En factorisant par x au dénominateur, déterminer la valeur exacte de x→+∞limf(x).
Q3-Déterminer les limites unilatérales de f en chacun de ces points et donner les équations des asymptotes verticales associées.
Q2-En rappelant les théorèmes de croissances comparées nécessaires, déterminer x→+∞limf(x).
Q3-Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers −∞.
Q2-En déduire un encadrement de f(x) pour tout réel x>0.
Q3-Déterminer la limite unilatérale x→0+limf(x) à l'aide du théorème des gendarmes.
Q3-À l'aide de l'expression conjuguée, établir l'expression de f(x) pour tout x<0 et en déduire la valeur exacte de x→−∞limf(x).
Q3-Déterminer x→0limg(x) à l'aide du théorème des gendarmes.
Q2-En déduire x→+∞limh(x) par composition des limites.
Q3-Déterminer x→1+lim2x2−2x2+3x−1 et en déduire x→1+limh(x).
