Exercices de Limites des fonctions, Terminale (page 3)

Le but de cet exercice est de démontrer la limite de référence du cours de terminale :$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$$On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par :$$g(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$$

On se propose de démontrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$.
On admet que la suite $(e^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $e>1$, de sorte que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{e}^n=+\infty$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(2x-1)e^{-x}+3$$

On rappelle la définition formelle d'une limite infinie en $+\infty$ :
Une fonction $u$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si pour tout réel $M$, il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$, $u(x)>M$.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[a;+\infty [$ vérifiant :
- pour tout $x⩾a$, $f(x)⩾g(x)$ ;
- $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$.

Démontrer, en revenant à la définition avec seuil, que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=x\left(e^{\frac{2}{x}}-1\right)$$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement par une démonstration ou un contre-exemple.

Affirmation 1 : « La limite en $+\infty$ de la fonction $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^3+1}$ est égale à $+\infty$. »
Affirmation 2 : « La courbe représentative de la fonction $g(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ admet la droite d'équation $x=3$ comme asymptote verticale. »
Affirmation 3 : « L'inégalité $e^{-x}\cos (x)⩽e^{-x}$, valable pour tout réel $x$, suffit à prouver que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}\cos (x)=0$. »
Affirmation 4 : « La limite en $-\infty$ de $h(x)=\sqrt{x^2+1}+x$ est égale à $0$. »

Pour tout entier naturel $n⩾1$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f_n(x)=\frac{nx+2}{e^x+n}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=\left(4+\frac{3}{x}\right)\left(5-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)$$

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{3\}$ par :$$g(x)=\frac{2x-1}{3-x}$$

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$h(x)=5-3x+2e^x$$

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
On sait que :
- $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1$
- $\underset{x\to -2,x<-2}{\lim }f(x)=-\infty$ et $\underset{x\to -2,x>-2}{\lim }f(x)=+\infty$
- $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=3$

Soit $P$ le polynôme défini pour tout réel $x$ par :$$P(x)=-4x^3+7x^2-2x+9$$

Soit $f$ la fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\frac{6x^2-5x+1}{2x^2-2x+3}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ par :$$f(x)=\exp \left(\frac{3x-1}{x+1}\right)$$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(2x+1)e^{-x}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-5\sin (2x)+1$.

La température en degrés Celsius d'une pièce métallique sortie d'un four est modélisée en fonction du temps $t$ (exprimé en minutes, pour $t⩾0$) par la fonction :$$\theta (t)=22+180e^{-0,05t}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :$$f(x)=\sqrt{4x+5}-2\sqrt{x}$$

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;4[\cup ]4;+\infty [$ par :$$g(x)=\frac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\frac{3e^x-2}{e^x+4}$$

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$h(x)=\frac{2x^2+\cos (3x)}{x^2+5}$$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :$$f(x)=1+\frac{3}{x-2}$$

L'objectif de cet exercice est de démontrer le résultat fondamental du cours :$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty$$On introduit la fonction auxiliaire $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par :$$g(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$$

On se propose de démontrer les limites aux bornes de la fonction exponentielle :$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \text{et}\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$$On admet que la suite géométrique $(e^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de raison $e>1$ vérifie $\underset{n\to +\infty }{\lim }{e}^n=+\infty$, et que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(x-3)e^{-x}+2$$On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse en justifiant rigoureusement la réponse. Une réponse non argumentée ne rapporte aucun point.

On admet le résultat suivant, établi dans le chapitre sur la fonction logarithme népérien $\ln$ (définie, continue et strictement croissante sur $]0;+\infty [$) : $\underset{X\to +\infty }{\lim }\frac{\ln X}{X}=0$. On admet aussi que, pour tout réel $a>0$, $\ln (a^2)=2\ln a$ et $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

1. Pour $x>0$, on pose $X=\sqrt{x}$. Montrer que $f(x)=\frac{2\ln X}{X}$.
2. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
3. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\ln x{)}^2}{x}$ en remarquant que $\frac{(\ln x{)}^2}{x}=(f(x){)}^2$.
4. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x}-\ln x\right)$.

On admet le résultat suivant, établi dans le chapitre sur la fonction logarithme népérien $\ln$ (définie, continue et strictement croissante sur $]0;+\infty [$) : $\underset{X\to +\infty }{\lim }\frac{\ln X}{X}=0$. On admet aussi que, pour tout réel $a>0$, $\ln (a^2)=2\ln a$ et $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$.

1. On pose, pour $x>0$, $g(x)=x\ln x$ et $X=\frac{1}{x}$. Exprimer $g(x)$ en fonction de $X$, puis déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$.
2. On pose, pour $x>0$, $h(x)=\sqrt{x}\ln x$. En posant $X=\sqrt{x}$, montrer que $h(x)=2X\ln X$, puis déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }h(x)$.
3. En déduire $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x(\ln x{)}^2$.
4. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+x(\ln x{)}^2}{1-x\ln x}$.

On rappelle le théorème des croissances comparées : pour tout entier naturel $n$, $\underset{X\to +\infty }{\lim }\frac{e^X}{X^n}=+\infty$.

1. Soit $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{x}$. En posant $X=\sqrt{x}$, déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.
2. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2{e}^{-x/2}$. En posant $X=\frac{x}{2}$, montrer que, pour $x>0$, $g(x)=\frac{4X^2}{e^X}$, puis déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.
3. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^{x/2}-x^2\right)$.