Exercices de Lois à densité en maths Terminale

1. $Probabilités conditionnelles$

Un opticien souhaite commercialiser de nouveaux verres de lunettes quasi-incassables.
Son fournisseur effectue ainsi des tests en laboratoire permettant de vérifier la solidité de ces verres. On soumet deux types de verres, incolores et solaires, à des chutes répétées et à de fortes pressions. La plupart des verres testés résistent mais certains cassent.
Voici un extrait du bilan du laboratoire à l'issue des tests :
- taux de résistance aux tests de casse :

91 %

;
- taux de verres incolores parmi les verres intacts :

96 %

;
- taux de verres solaires parmi les verres cassés :

40 %

.

On choisit un verre au hasard. Sachant qu'il s'agit d'un verre solaire, calculer la probabilité qu'il n'ait pas résisté aux tests de casse. Quelle conclusion ressort de cette étude ?
Indication : On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

2. $Loi exponentielle$

On considère que la durée de vie d'une paire de lunettes vendue par l'opticien et équipée de ces nouveaux verres (type incolores) suit une loi exponentielle dont la durée de vie moyenne est égale à 5 ans.
Vu qu'après 4 ans, ses lunettes sont encore en parfait état, son propriétaire décide de les donner à un organisme humanitaire.

Q1-Calculer la probabilité que le futur utilisateur garde les lunettes sans dommage majeur au moins 4 années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

Q2-Pour combien d'années supplémentaires, la probabilité que les lunettes restent encore en bon état est égale à une chance sur deux ? Arrondir le résultat au mois près.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

3. $Partie A$

Soit

X

une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre

λ = 1, 5

, de densité

f (t) = 1, 5 e^{- 1, 5 t}

sur

[0; + \infty [

Q1-Calculer

P (X \leq 1)

. En donner une valeur exacte puis une valeur arrondie à

1 0^{- 3}

près.

Q2-Démontrer que :

P (1 \leq X \leq 2) \approx 0, 173

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

4. $Partie B$

Une machine permet de fabriquer des pièces sphériques pour roulement à billes. On mesure l'écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre de ces billes et la valeur de réglage de la machine.
On suppose que cet écart suit la loi exponentielle de paramètre

λ = 1, 5

. Si l'écart est inférieur à 1, la bille est acceptée lors du contrôle. Si l'écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d'accepter la bille dans 80 % des cas. Si l'écart est supérieur à 2, la bille est refusée.

Q1-a) On prélève au hasard une bille dans la production. Prouver que la probabilité qu'elle soit acceptée est environ égale à 0,915. On pourra utiliser des résultats de la partie A et s'aider d'un arbre de probabilité.
b) Sachant qu'elle est acceptée, quelle est la probabilité qu'elle ait subi une rectification ?

Q2-On prélève de manière indépendante dix billes de la production. On suppose que le nombre de billes est suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
a) Calculer la probabilité que les dix billes soient acceptées.
b) Calculer la probabilité qu'au moins une bille soit refusée.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

5. $Vérifier qu'une fonction affine est une densité$

Dans un laboratoire de chimie, la durée

X

, en minutes, nécessaire à la montée en température d'un petit four électrique est comprise entre

1

5

minutes. On modélise

X

par une variable aléatoire dont la densité

f

est définie sur

[1; 5]

par

f (x) = \frac{x - 1}{8}

et nulle en dehors de

[1; 5]

.
Montrer que

f

est une densité de probabilité.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

6. $Probabilité et inégalité stricte ou large$

La durée

X

, en heure, passée par un visiteur dans une exposition interactive est modélisée par une variable aléatoire de densité

f

définie sur

[0; 1]

par

f (t) = 2 t

et nulle ailleurs.
a. Calculer

P (X ⩽ 0, 75)

.
b. En déduire

P (X > 0, 75)

.
c. Calculer

P (X < 0, 75)

et expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

Q1-a. Calculer

P (X ⩽ 0, 75)

Q2-b. En déduire

P (X > 0, 75)

Q3-c. Calculer

P (X < 0, 75)

et expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

7. $Attente d'un tramway : loi uniforme$

Un tramway dessert un arrêt toutes les 12 minutes, à horaires parfaitement réguliers. Nadia arrive à cet arrêt à un instant choisi au hasard ; on note

T

la durée, en minutes, de son attente avant l'arrivée du prochain tramway. On admet que

T

suit la loi uniforme sur

[0; 12]

.
a. Calculer la probabilité que Nadia attende entre 2 et 5 minutes.
b. Calculer la probabilité que Nadia attende plus de 10 minutes.

Q1-a. Calculer la probabilité que Nadia attende entre 2 et 5 minutes.

Q2-b. Calculer la probabilité que Nadia attende plus de 10 minutes.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

8. $Espérance d'une loi uniforme$

Une navette relie deux stations de ski, mais son heure exacte de départ n'est affichée nulle part : elle démarre à un instant choisi au hasard entre 8 h 10 et 8 h 30. On note

X

la durée, en minutes, écoulée entre 8 h 00 et l'instant du départ ;

X

suit la loi uniforme sur

[10; 30]

.
a. Calculer

E (X)

.
b. Interpréter ce résultat pour un vacancier qui veut prendre cette navette.

Q1-a. Calculer

E (X)

Q2-b. Interpréter ce résultat pour un vacancier qui veut prendre cette navette.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

9. $Loi exponentielle : premiers calculs$

La durée de vie

X

, en heures, d'une ampoule LED suit la loi exponentielle de paramètre

λ = 0, 01

.
a. Calculer

P (X ⩽ 100)

, arrondie à

1 0^{- 3}

.
b. En déduire

P (X > 100)

, arrondie à

1 0^{- 3}

Q1-a. Calculer

P (X ⩽ 100)

, arrondie à

1 0^{- 3}

Q2-b. En déduire

P (X > 100)

, arrondie à

1 0^{- 3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

10. $Espérance d'une loi exponentielle$

Le temps

X

, en jours, qui s'écoule entre deux pannes successives d'un distributeur de boissons suit la loi exponentielle de paramètre

λ = 0, 2

.
a. Calculer

E (X)

et interpréter ce résultat.
b. Le gérant envisage un autre modèle dont l'espérance du temps entre deux pannes serait de 10 jours. Quel paramètre

λ

cette nouvelle loi exponentielle aurait-elle ?

Q1-a. Calculer

E (X)

et interpréter ce résultat.

Q2-b. Le gérant envisage un autre modèle dont l'espérance du temps entre deux pannes serait de 10 jours. Quel paramètre

λ

cette nouvelle loi exponentielle aurait-elle ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

11. $Erreur de remplissage modélisée par une densité$

Une machine remplit des flacons de sirop. L'erreur de remplissage

X

, en millilitres, c'est-à-dire la différence entre le volume réellement versé et le volume de consigne, est modélisée par une variable aléatoire de densité

f

définie sur

[- 1; 1]

par

f (x) = \frac{3}{4} (1 - x^{2})

et nulle ailleurs (on admet que

f

est une densité de probabilité).
Calculer la probabilité que l'erreur de remplissage soit comprise entre

- 0, 5

0, 5

millilitre.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

12. $Point aléatoire sur un câble sous-marin$

Un câble sous-marin de 80 kilomètres relie deux îles. Une micro-fissure vient de créer une fuite dont on ignore la position : on la modélise par un point choisi au hasard sur le câble. On note

X

la distance, en kilomètres, entre le départ du câble et la fuite ;

X

suit la loi uniforme sur

[0; 80]

.
a. Une section du câble, située entre les kilomètres 30 et 45, est renforcée. Calculer la probabilité que la fuite se trouve dans cette section renforcée.
b. Calculer la probabilité que la fuite se trouve dans les dix premiers kilomètres du câble.

Q1-a. Une section du câble, située entre les kilomètres 30 et 45, est renforcée. Calculer la probabilité que la fuite se trouve dans cette section renforcée.

Q2-b. Calculer la probabilité que la fuite se trouve dans les dix premiers kilomètres du câble.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

13. $Déterminer le paramètre d'une densité$

La durée

X

, en heures, d'un orage estival au-dessus d'une région est modélisée par une variable aléatoire dont la densité

f

est définie sur

[0; 4]

par

f (x) = k x

, où

k

est un réel, et nulle en dehors de

[0; 4]

.
Déterminer la valeur de

k

pour que

f

soit une densité de probabilité.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

14. $Densité affine décroissante à paramètre$

Sur la boîte vocale d'un standard automatique, la durée

X

, en minutes, des messages laissés est comprise entre

0

5

minutes, et les messages très longs sont rares. On modélise

X

par une variable aléatoire dont la densité

f

est définie sur

[0; 5]

par

f (x) = k (5 - x)

, où

k

est un réel, et nulle ailleurs.
a. Déterminer

k

pour que

f

soit une densité de probabilité.
b. Calculer la probabilité qu'un message dure moins d'une minute.

Q1-a. Déterminer

k

pour que

f

soit une densité de probabilité.

Q2-b. Calculer la probabilité qu'un message dure moins d'une minute.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

15. $Utiliser une fonction de répartition$

Une variable aléatoire

X

a pour fonction de répartition la fonction

F

définie par

F (x) = 0

x < 0

F (x) = 1 - e^{- 0, 05 x}

x ⩾ 0

. Toute probabilité portant sur

X

peut s'obtenir directement à partir de

F

, sans aucun calcul d'intégrale.
a. Calculer

P (X > 40)

, arrondie à

1 0^{- 3}

.
b. Calculer

P (10 ⩽ X ⩽ 30)

, arrondie à

1 0^{- 3}

Q1-a. Calculer

P (X > 40)

, arrondie à

1 0^{- 3}

Q2-b. Calculer

P (10 ⩽ X ⩽ 30)

, arrondie à

1 0^{- 3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

16. $Paramètre d'une loi exponentielle et espérance$

La durée de vie

X

, en mois, d'une cartouche d'encre d'imprimante suit une loi exponentielle de paramètre

λ

. Une étude montre que sa durée de vie moyenne est de 20 mois.
a. Déterminer

λ

.
b. Calculer la probabilité qu'une cartouche dure plus de 40 mois, arrondie à

1 0^{- 3}

Q1-a. Déterminer

λ

Q2-b. Calculer la probabilité qu'une cartouche dure plus de 40 mois, arrondie à

1 0^{- 3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

17. $Déterminer le paramètre à partir d'une probabilité$

La durée de vie

X

, en heures, d'une pile alimentant un capteur suit une loi exponentielle de paramètre

λ

. Le fabricant annonce que la probabilité que la pile fonctionne encore au bout de 1 000 heures vaut exactement

0, 1

.
a. Montrer que

λ = \frac{ln ( 10 )}{1000}

, puis en donner une valeur arrondie à

1 0^{- 4}

.
b. En déduire la probabilité que la pile fonctionne encore au bout de 2 000 heures.

Q1-a. Montrer que

λ = \frac{ln ( 10 )}{1000}

, puis en donner une valeur arrondie à

1 0^{- 4}

Q2-b. En déduire la probabilité que la pile fonctionne encore au bout de 2 000 heures.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

18. $Arrivée au hasard dans une fenêtre horaire$

Entre 12 h et 13 h, un voyageur se présente au wagon-bar d'un train à un instant choisi au hasard. On note

X

la durée, en minutes, écoulée entre 12 h 00 et son arrivée ;

X

suit la loi uniforme sur

[0; 60]

.
a. Calculer la probabilité que le voyageur arrive entre 12 h 05 et 12 h 20.
b. Calculer la probabilité que le voyageur arrive après 12 h 40.

Q1-a. Calculer la probabilité que le voyageur arrive entre 12 h 05 et 12 h 20.

Q2-b. Calculer la probabilité que le voyageur arrive après 12 h 40.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

19. $Probabilité encadrée pour une loi exponentielle$

Le temps

X

, en minutes, qui s'écoule entre l'arrivée de deux visiteurs successifs à l'entrée d'un petit musée suit la loi exponentielle de paramètre

λ = 0, 2

.
Calculer la probabilité qu'il s'écoule entre 2 et 8 minutes entre deux arrivées successives. Arrondir à

1 0^{- 3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

20. $Simuler un tirage à quatre issues$

On dispose d'un générateur de nombres au hasard qui fournit une variable aléatoire

U

suivant la loi uniforme sur

[0; 1]

. On souhaite simuler le tirage d'un jeton parmi quatre jetons numérotés de 1 à 4, avec les probabilités

P (1) = 0, 1

P (2) = 0, 2

P (3) = 0, 3

P (4) = 0, 4

.
a. Décrire, en français et sans écrire de programme, un découpage de

[0; 1]

en sous-intervalles permettant cette simulation.
b. Vérifier la cohérence du découpage proposé.

Q1-a. Décrire, en français et sans écrire de programme, un découpage de

[0; 1]

en sous-intervalles permettant cette simulation.

Q2-b. Vérifier la cohérence du découpage proposé.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

21. $Uniforme ou exponentielle ?$

Pour chacune des situations suivantes, indiquer, en justifiant brièvement, si la variable considérée doit être modélisée par une loi uniforme ou par une loi exponentielle.
a. La position d'une micro-fissure le long d'une poutre métallique de 6 mètres, sans aucune information privilégiant une zone de la poutre.
b. La durée de vie d'un capteur de température installé sur une serre.
c. L'attente d'une personne qui arrive à un instant quelconque à un arrêt où un car passe exactement toutes les 20 minutes.
d. Le temps qui sépare deux désintégrations successives dans un échantillon radioactif.

Q1-a. La position d'une micro-fissure le long d'une poutre métallique de 6 mètres, sans aucune information privilégiant une zone de la poutre.

Q2-b. La durée de vie d'un capteur de température installé sur une serre.

Q3-c. L'attente d'une personne qui arrive à un instant quelconque à un arrêt où un car passe exactement toutes les 20 minutes.

Q4-d. Le temps qui sépare deux désintégrations successives dans un échantillon radioactif.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

22. $Charge de batterie et loi uniforme sur l'intervalle unité$

Un contrôleur prélève au hasard un vélo électrique dans le parc de 400 vélos d'une station de location. On note

X

la proportion de charge restante de la batterie de ce vélo, modélisée par la loi uniforme sur

[0; 1]

.
a. Calculer la probabilité que la batterie soit chargée à moins de 20 %.
b. Calculer la probabilité que la charge soit comprise entre 30 % et 70 %.
c. Interpréter les deux résultats en termes de proportion de vélos du parc.

Q1-a. Calculer la probabilité que la batterie soit chargée à moins de 20 %.

Q2-b. Calculer la probabilité que la charge soit comprise entre 30 % et 70 %.

Q3-c. Interpréter les deux résultats en termes de proportion de vélos du parc.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

23. $Livraison dans une fenêtre de huit heures$

Un libraire attend la livraison d'un colis, qui sera déposé à un instant choisi au hasard entre 9 h et 17 h. On note

X

la durée, en heures, écoulée entre 9 h 00 et le dépôt du colis ;

X

suit la loi uniforme sur

[0; 8]

.
a. Calculer la probabilité que le colis soit déposé entre 11 h et 14 h.
b. Calculer la probabilité que le colis soit déposé avant 10 h 30.

Q1-a. Calculer la probabilité que le colis soit déposé entre 11 h et 14 h.

Q2-b. Calculer la probabilité que le colis soit déposé avant 10 h 30.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

24. $Vérifier qu'un trinôme est une densité$

La durée

X

, en minutes, d'un orage estival au-dessus d'une vallée des Pyrénées est modélisée par une variable aléatoire dont la densité

f

est définie sur

[0; 10]

par

f (x) = \frac{3 x ( 10 - x )}{500}

et nulle en dehors de

[0; 10]

.
Montrer que

f

est une densité de probabilité.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

25. $Densité polynomiale : probabilité et espérance$

La durée

X

, en minutes, de combustion complète d'une bougie artisanale est modélisée par une variable aléatoire de densité

f

définie sur

[0; 12]

par

f (x) = \frac{x ( 12 - x )}{288}

et nulle ailleurs (on admet que

f

est une densité de probabilité).
a. Calculer la probabilité qu'une bougie se consume en moins de 4 minutes. Arrondir à

1 0^{- 3}

.
b. Calculer

E (X)

et interpréter ce résultat.

Q1-a. Calculer la probabilité qu'une bougie se consume en moins de 4 minutes. Arrondir à

1 0^{- 3}

Q2-b. Calculer

E (X)

et interpréter ce résultat.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

26. $La fonction de répartition est croissante$

Soit

X

une variable aléatoire de densité

f

définie sur

[0; 1]

par

f (t) = 2 t

, nulle ailleurs, et soit

F

sa fonction de répartition.
a. Expliciter

F (x)

pour

x

dans

[0; 1]

.
b. Soient

x_{1}

x_{2}

deux réels de

[0; 1]

tels que

x_{1} < x_{2}

. En utilisant la relation de Chasles, montrer que

F (x_{1}) ⩽ F (x_{2})

Q1-a. Expliciter

F (x)

pour

x

dans

[0; 1]

Q2-b. Soient

x_{1}

x_{2}

deux réels de

[0; 1]

tels que

x_{1} < x_{2}

. En utilisant la relation de Chasles, montrer que

F (x_{1}) ⩽ F (x_{2})

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

27. $Densité sur un intervalle non borné$

La durée de vie

X

, en années, d'un équipement d'une station d'épuration suit une loi à densité : sa densité

f

est définie sur

[0; + \infty [

par

f (t) = \frac{1}{( 1 + t ) ^{2}}

et est nulle sur

] - \infty; 0 [

.
a. Montrer que

f

est une densité de probabilité.
b. Calculer

P (X ⩽ 3)

Q1-a. Montrer que

f

est une densité de probabilité.

Q2-b. Calculer

P (X ⩽ 3)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

28. $Absence de mémoire : moteur de télésiège$

La durée de fonctionnement sans panne

X

, en heures, d'un moteur de télésiège suit la loi exponentielle de paramètre

λ = 0, 01

. Ce moteur vient de fonctionner sans panne pendant 150 heures depuis sa dernière révision.
Calculer la probabilité que ce moteur fonctionne encore sans panne pendant au moins 50 heures supplémentaires. Arrondir à

1 0^{- 3}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

29. $Geyser et absence de mémoire$

Le temps

X

, en minutes, qui s'écoule entre deux éruptions successives d'un geyser suit la loi exponentielle de paramètre

λ = 0, 02

. Une guide a attendu 40 minutes depuis la dernière éruption et l'éruption n'a toujours pas eu lieu.
a. Calculer la probabilité qu'une éruption survienne dans les 30 prochaines minutes. Arrondir à

1 0^{- 3}

.
b. Cette probabilité aurait-elle été différente si la question avait été posée juste après la précédente éruption ? Justifier.

Q1-a. Calculer la probabilité qu'une éruption survienne dans les 30 prochaines minutes. Arrondir à

1 0^{- 3}

Q2-b. Cette probabilité aurait-elle été différente si la question avait été posée juste après la précédente éruption ? Justifier.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

30. $L'attente d'un car n'oublie pas le passé$

Un car dessert un arrêt exactement toutes les 12 minutes. Boris arrive à cet arrêt à un instant choisi au hasard ; son temps d'attente

T

suit la loi uniforme sur

[0; 12]

. Boris a déjà attendu 8 minutes et le car n'est toujours pas passé.
a. Calculer la probabilité que son attente totale dépasse 10 minutes.
b. Comparer ce résultat avec

P (T > 10)

et expliquer pourquoi il montre que la loi uniforme ne possède pas la propriété d'absence de mémoire.

Q1-a. Calculer la probabilité que son attente totale dépasse 10 minutes.

Q2-b. Comparer ce résultat avec

P (T > 10)

et expliquer pourquoi il montre que la loi uniforme ne possède pas la propriété d'absence de mémoire.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

31. $Voie de télépéage la nuit : synthèse$

Sur une voie de télépéage peu fréquentée entre 2 h et 4 h du matin, le temps

X

, en minutes, qui s'écoule entre le passage de deux véhicules successifs suit une loi exponentielle de paramètre

λ

. En moyenne, un véhicule passe toutes les 4 minutes.
a. Déterminer

λ

.
b. Calculer la probabilité qu'il s'écoule plus de 10 minutes sans aucun passage. Arrondir à

1 0^{- 3}

et interpréter.
c. Calculer la probabilité qu'il s'écoule entre 1 et 2 minutes entre deux passages, puis interpréter.

Q1-a. Déterminer

λ

Q2-b. Calculer la probabilité qu'il s'écoule plus de 10 minutes sans aucun passage. Arrondir à

1 0^{- 3}

et interpréter.

Q3-c. Calculer la probabilité qu'il s'écoule entre 1 et 2 minutes entre deux passages, puis interpréter.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

32. $Médiane d'une durée de vie$

La durée de vie

X

, en semaines, d'une cartouche de filtration d'un aquarium suit une loi exponentielle de paramètre

λ

. Le fabricant indique que la moitié des cartouches ont une durée de vie inférieure ou égale à 50 semaines.
a. Montrer que

λ = \frac{ln ( 2 )}{50}

, puis en donner une valeur arrondie à

1 0^{- 4}

.
b. En déduire la probabilité qu'une cartouche ait une durée de vie inférieure ou égale à 100 semaines.
c. Ce résultat était-il prévisible sans effectuer le calcul ?

Q1-a. Montrer que

λ = \frac{ln ( 2 )}{50}

, puis en donner une valeur arrondie à

1 0^{- 4}

Q2-b. En déduire la probabilité qu'une cartouche ait une durée de vie inférieure ou égale à 100 semaines.

Q3-c. Ce résultat était-il prévisible sans effectuer le calcul ?

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

33. $Simulateur de tirs au but$

Un jeu vidéo simule une séance de tirs au but. À chaque tir, il choisit un nombre

U

suivant la loi uniforme sur

[0; 1]

: si

U < 0, 75

le tir est réussi, sinon le tir est raté.
a. Décrire ce découpage de

[0; 1]

et vérifier qu'il conduit bien à une probabilité de réussite de

0, 75

.
b. On simule deux tirs indépendants. Calculer la probabilité que les deux tirs soient réussis, puis la probabilité qu'au moins un tir soit raté.

Q1-a. Décrire ce découpage de

[0; 1]

et vérifier qu'il conduit bien à une probabilité de réussite de

0, 75

Q2-b. On simule deux tirs indépendants. Calculer la probabilité que les deux tirs soient réussis, puis la probabilité qu'au moins un tir soit raté.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

34. $Refroidissement d'une tarte : probabilité et espérance$

À la sortie du four, la durée

X

, en minutes, de refroidissement nécessaire d'une tarte avant dégustation est modélisée par une variable aléatoire de densité

f

définie sur

[0; 4]

par

f (x) = \frac{3 x ( 4 - x )}{32}

et nulle ailleurs (on admet que

f

est une densité de probabilité).
a. Calculer la probabilité qu'il faille attendre moins d'une minute. Arrondir à

1 0^{- 3}

.
b. Calculer

E (X)

et interpréter ce résultat.

Q1-a. Calculer la probabilité qu'il faille attendre moins d'une minute. Arrondir à

1 0^{- 3}

Q2-b. Calculer

E (X)

et interpréter ce résultat.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

35. $Démonstration : fonction de répartition de la loi uniforme$

Soient

a

b

deux réels tels que

a < b

, et

X

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur

[a; b]

.
Démontrer que, pour tout réel

x

[a; b]

P (X ⩽ x) = \frac{x - a}{b - a}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

36. $Démonstration : espérance et variance de la loi uniforme$

Soient

a

b

deux réels tels que

a < b

, et

X

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur

[a; b]

, de densité

f (t) = \frac{1}{b - a}

sur

[a; b]

.
a. Démontrer que

E (X) = \frac{a + b}{2}

.
b. Démontrer que

V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

Q1-a. Démontrer que

E (X) = \frac{a + b}{2}

Q2-b. Démontrer que

V (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

37. $Démonstration : fonction de répartition de la loi exponentielle$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre

λ > 0

, de densité

f (t) = λ e^{- λ t}

sur

[0; + \infty [

et nulle ailleurs.
Démontrer que, pour tout réel

x ⩾ 0

P (X ⩽ x) = 1 - e^{- λ x}

. En déduire l'expression de

P (X > x)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

38. $Démonstration : absence de mémoire de la loi exponentielle$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre

λ > 0

. On admet que

P (X > x) = e^{- λ x}

pour tout réel

x ⩾ 0

.
Démontrer que, pour tous réels

t ⩾ 0

h ⩾ 0

P_{X > t} (X ⩾ t + h) = P (X ⩾ h)

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

39. $Problème de synthèse : densité affine à deux paramètres$

La durée

X

, en minutes, d'une interruption du service d'un funiculaire avant remise en route est modélisée par une variable aléatoire dont la densité

f

, nulle en dehors de

[0; 6]

, est affine sur

[0; 6]

f (x) = m x + n

, où

m

n

sont deux réels à déterminer. Les interruptions longues sont plus rares que les interruptions courtes : la densité s'annule en

6

.
a. Déterminer

m

n

.
b. Vérifier que la fonction

f

obtenue est bien une densité de probabilité.
c. Calculer

P (X ⩽ 3)

puis

E (X)

, et interpréter les deux résultats dans le contexte.

Q1-a. Déterminer

m

n

Q2-b. Vérifier que la fonction

f

obtenue est bien une densité de probabilité.

Q3-c. Calculer

P (X ⩽ 3)

puis

E (X)

, et interpréter les deux résultats dans le contexte.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

40. $Problème de synthèse : densité trinôme à paramètre$

Une plateforme de jeu en ligne mesure la durée

X

, en minutes, d'une partie de fléchettes entre amis : elle est comprise entre

0

4

minutes, et les parties longues sont plus fréquentes que les parties très courtes. On modélise

X

par une variable aléatoire dont la densité

f

est définie sur

[0; 4]

par

f (x) = k (x^{2} + 2 x)

, où

k

est un réel, et nulle en dehors de

[0; 4]

.
a. Déterminer

k

.
b. Vérifier que

f

est bien une densité de probabilité.
c. Calculer

P (X ⩽ 2)

, arrondie à

1 0^{- 3}

, puis calculer

E (X)

et interpréter.

Q1-a. Déterminer

k

Q2-b. Vérifier que

f

est bien une densité de probabilité.

Q3-c. Calculer

P (X ⩽ 2)

, arrondie à

1 0^{- 3}

, puis calculer

E (X)

et interpréter.

Corrigé réservé aux abonnésVoir le corrigé

1.Probabilités conditionnelles

2.Loi exponentielle

3.Partie A

4.Partie B

5.Vérifier qu'une fonction affine est une densité

6.Probabilité et inégalité stricte ou large

7.Attente d'un tramway : loi uniforme

8.Espérance d'une loi uniforme

9.Loi exponentielle : premiers calculs

10.Espérance d'une loi exponentielle

11.Erreur de remplissage modélisée par une densité

12.Point aléatoire sur un câble sous-marin

13.Déterminer le paramètre d'une densité

14.Densité affine décroissante à paramètre

15.Utiliser une fonction de répartition

16.Paramètre d'une loi exponentielle et espérance

17.Déterminer le paramètre à partir d'une probabilité

18.Arrivée au hasard dans une fenêtre horaire

19.Probabilité encadrée pour une loi exponentielle

20.Simuler un tirage à quatre issues

21.Uniforme ou exponentielle ?

22.Charge de batterie et loi uniforme sur l'intervalle unité

23.Livraison dans une fenêtre de huit heures

24.Vérifier qu'un trinôme est une densité

25.Densité polynomiale : probabilité et espérance

26.La fonction de répartition est croissante

27.Densité sur un intervalle non borné

28.Absence de mémoire : moteur de télésiège

29.Geyser et absence de mémoire

30.L'attente d'un car n'oublie pas le passé

31.Voie de télépéage la nuit : synthèse

32.Médiane d'une durée de vie

33.Simulateur de tirs au but

34.Refroidissement d'une tarte : probabilité et espérance

35.Démonstration : fonction de répartition de la loi uniforme

36.Démonstration : espérance et variance de la loi uniforme

37.Démonstration : fonction de répartition de la loi exponentielle

38.Démonstration : absence de mémoire de la loi exponentielle

39.Problème de synthèse : densité affine à deux paramètres

40.Problème de synthèse : densité trinôme à paramètre

1. $Probabilités conditionnelles$

2. $Loi exponentielle$

3. $Partie A$

4. $Partie B$

5. $Vérifier qu'une fonction affine est une densité$

6. $Probabilité et inégalité stricte ou large$

7. $Attente d'un tramway : loi uniforme$

8. $Espérance d'une loi uniforme$

9. $Loi exponentielle : premiers calculs$

10. $Espérance d'une loi exponentielle$

11. $Erreur de remplissage modélisée par une densité$

12. $Point aléatoire sur un câble sous-marin$

13. $Déterminer le paramètre d'une densité$

14. $Densité affine décroissante à paramètre$

15. $Utiliser une fonction de répartition$

16. $Paramètre d'une loi exponentielle et espérance$

17. $Déterminer le paramètre à partir d'une probabilité$

18. $Arrivée au hasard dans une fenêtre horaire$

19. $Probabilité encadrée pour une loi exponentielle$

20. $Simuler un tirage à quatre issues$

21. $Uniforme ou exponentielle ?$

22. $Charge de batterie et loi uniforme sur l'intervalle unité$

23. $Livraison dans une fenêtre de huit heures$

24. $Vérifier qu'un trinôme est une densité$

25. $Densité polynomiale : probabilité et espérance$

26. $La fonction de répartition est croissante$

27. $Densité sur un intervalle non borné$

28. $Absence de mémoire : moteur de télésiège$

29. $Geyser et absence de mémoire$

30. $L'attente d'un car n'oublie pas le passé$

31. $Voie de télépéage la nuit : synthèse$

32. $Médiane d'une durée de vie$

33. $Simulateur de tirs au but$

34. $Refroidissement d'une tarte : probabilité et espérance$

35. $Démonstration : fonction de répartition de la loi uniforme$

36. $Démonstration : espérance et variance de la loi uniforme$

37. $Démonstration : fonction de répartition de la loi exponentielle$

38. $Démonstration : absence de mémoire de la loi exponentielle$

39. $Problème de synthèse : densité affine à deux paramètres$

40. $Problème de synthèse : densité trinôme à paramètre$