Exercices de Lois à densité, Terminale (page 2)

Pour démontrer qu'une fonction $f$ est une densité de probabilité sur un intervalle $[a;b]$, il faut vérifier trois conditions :
1. $f$ est continue sur $[a;b]$ ;
2. $f$ est positive ou nulle sur $[a;b]$ ;
3. L'intégrale de $f$ sur $[a;b]$ est égale à $1$.

Vérifions ces trois points pour la fonction $f$ sur $[0;3]$ :
- La fonction $f$ est une fonction affine, elle est donc continue sur $[0;3]$.
- Pour tout réel $x\in [0;3]$, on a $x⩾0$, donc $f(x)=\frac{2}{9}x⩾0$. La fonction $f$ est bien positive sur cet intervalle.
- Calculons l'intégrale de $f$ sur $[0;3]$ :$${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^3\frac{2}{9}xdx={\left[\frac{2}{9}\times \frac{x^2}{2}\right]}_0^3={\left[\frac{x^2}{9}\right]}_0^3$$On évalue cette primitive aux bornes :$${\int }_0^{3}f(x)dx=\frac{3^2}{9}-\frac{0^2}{9}=\frac{9}{9}-0=1$$Les trois conditions étant remplies, la fonction $f$ est bien une densité de probabilité sur $[0;3]$.