Exercices de Lois à densité, Terminale (page 3)

Le temps $X$, en minutes, entre deux commandes reçues par la cuisine d'un restaurant à emporter en période de forte affluence est modélisé par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,25$.

Avant de lancer une impression, une imprimante 3D effectue un calibrage automatique dont la durée $X$, en minutes, est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0;6]$.

Un drone de livraison urbaine décolle après un délai de validation $X$, en minutes, modélisé par une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0;4]$ par $f(x)=kx+0,05$, où $k$ est un réel, et nulle en dehors de $[0;4]$.

La durée de vie $X$, en jours, d'une carte mémoire industrielle a pour fonction de répartition $F$ définie par $F(x)=0$ si $x<0$ et $F(x)=1-e^{-0,02x}$ si $x⩾0$.

La durée de vie $X$, en années, d'un ventilateur d'ordinateur est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le fabricant annonce une durée de vie moyenne de $8$ ans.

Un livreur se présente à un point relais à un instant choisi au hasard entre $10$ h $00$ et $10$ h $50$. On note $X$ la durée, en minutes, écoulée entre $10$ h $00$ et son arrivée ; $X$ suit la loi uniforme sur $[0;50]$.

Le temps $X$, en minutes, entre deux notifications reçues sur une application de livraison suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,15$. Calculer la probabilité $P(5⩽X⩽15)$ qu'il s'écoule entre $5$ et $15$ minutes entre deux notifications, arrondie au millième.

Un logiciel affecte chaque nouvel étudiant à l'un de quatre groupes de travaux pratiques $A$, $B$, $C$ ou $D$, avec les proportions cibles $P(A)=0,1$, $P(B)=0,3$, $P(C)=0,25$ et $P(D)=0,35$, à partir d'un générateur fournissant une variable aléatoire $U$ suivant la loi uniforme sur $[0;1]$.

Pour chacune des situations suivantes, indiquer, en justifiant brièvement, si la variable aléatoire considérée doit être modélisée par une loi uniforme ou par une loi exponentielle.

La proportion $X$ de batterie restante d'un drone au moment où il se pose automatiquement pour recharge suit la loi uniforme sur $[0;1]$.

La durée $X$, en secondes, avant qu'un radar routier détecte un véhicule en excès de vitesse après sa mise en service est modélisée par une variable à valeurs dans $[0;12]$, de fonction de répartition $F$ définie sur $[0;12]$ par $F(x)=\frac{x^2}{144}$.

La durée $X$, en minutes, d'un cycle de charge rapide d'une brosse à dents électrique est modélisée par une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0;6]$ par $f(x)=\frac{1}{36}x(6-x)$ et nulle en dehors de $[0;6]$.

Sur une chaîne de production, une pièce mécanique usinée doit encore patienter un temps $X$, en minutes, avant de passer au contrôle qualité automatisé. Ce temps est modélisé par une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0;4]$ par $f(x)=\frac{3}{32}x(4-x)$ et nulle en dehors de $[0;4]$ (on admet que $f$ est une densité de probabilité).

Une application affiche une barre de progression lors du téléchargement d'un fichier ; on modélise l'avancement normalisé $X$ de cette barre par une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=4x^3$ et nulle en dehors de $[0;1]$ (on admet que $f$ est une densité de probabilité). On note $F$ la fonction de répartition de $X$.

La durée $X$, en années, avant qu'un satellite en fin de vie ne rentre dans l'atmosphère après une désorbitation passive est modélisée par une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(t)=\frac{2}{(1+t{)}^3}$ et nulle sur $]-\infty ;0[$.

La durée de fonctionnement sans panne $X$, en mois, d'un onduleur industriel est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,03$. L'onduleur fonctionne déjà sans panne depuis $40$ mois. Calculer la probabilité $P_{X>40}(X⩾65)$ qu'il fonctionne encore sans panne pendant au moins $25$ mois supplémentaires, arrondie au millième.

Le temps d'attente $T$, en minutes, pour qu'une borne de recharge pour véhicule électrique se libère dans un parking est modélisé par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0;20]$. Un automobiliste attend déjà depuis $8$ minutes. Calculer la probabilité $P_{T⩾8}(T⩾15)$ qu'il doive attendre au moins $7$ minutes de plus, arrondie au millième.

La durée de vie $X$, en années, d'un panneau solaire avant une baisse significative de rendement est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le fabricant indique qu'un panneau sur cinq subit cette baisse de rendement avant $5$ ans, c'est-à-dire que $P(X⩽5)=0,2$.

Un algorithme de recommandation musicale choisit un genre parmi trois à partir d'une variable aléatoire $U$ suivant la loi uniforme sur $[0;1]$ : pop (probabilité $0,5$), rock (probabilité $0,3$) et jazz (probabilité $0,2$), selon le découpage $[0;0,5[$, $[0,5;0,8[$ et $[0,8;1]$. L'algorithme propose deux morceaux successifs, tirés de façon indépendante.

Un capteur de choc embarqué mesure le temps normalisé $X$ avant qu'il cesse de vibrer après un impact, modélisé par une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=3(1-x{)}^2$ et nulle en dehors de $[0;1]$ (on admet que $f$ est une densité de probabilité). On note $F$ la fonction de répartition de $X$.

Le temps $X$, en minutes, nécessaire à un algorithme de compression pour traiter un fichier volumineux est modélisé par une variable aléatoire de densité $f$ affine sur $[0;6]$, nulle en dehors de cet intervalle : $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux réels. On sait que $f(0)=2f(6)$.

La distance $X$, en mètres, entre le point d'impact d'un ballon de basket lancé par un robot lanceur en essai automatisé et le panier est modélisée par une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=a(9-x^2)$, où $a$ est un réel, et nulle en dehors de $[0;3]$.

Un haut-parleur connecté met un temps $X$, en secondes, à répondre à une commande vocale. Ce temps se décompose en deux régimes : une phase de réponse rapide, où la densité de probabilité est constante et égale à $k$ sur $[0;4]$, suivie d'une phase de ralentissement où la densité décroît de façon affine jusqu'à s'annuler à $10$ secondes, selon $f(t)=\frac{10-t}{6}k$ sur $[4;10]$. On note $f$ la densité de $X$, nulle en dehors de $[0;10]$.

Le temps d'attente $T$, en minutes, à un guichet automatique est modélisé par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[3;11]$, de densité $f(t)=\frac{1}{8}$ sur $[3;11]$.

Une balise de sécurité tombée d'un véhicule d'entretien se trouve à une position aléatoire le long d'une piste cyclable rectiligne de $45$ kilomètres reliant deux villages. Sa position $D$, en kilomètres depuis le premier village, est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0;45]$, de densité $f(t)=\frac{1}{45}$ sur $[0;45]$. Démontrer que, pour tout réel $x$ de $[0;45]$ :$$P(D⩽x)=\frac{x}{45}$$

La durée de vie $X$, en années, d'un capteur de fumée connecté est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,1$, de densité $f(t)=0,1e^{-0,1t}$ sur $[0;+\infty [$. Démontrer que, pour tout réel $x⩾0$ :$$P(X⩽x)=1-e^{-0,1x}$$en reconnaissant, dans le calcul de la primitive, une fonction de la forme $u^{\prime }{e}^u$.

Un centre de tri automatisé mesure l'écart de pesée $X$, en grammes, d'un colis par rapport à sa valeur déclarée. Cet écart, toujours positif ici, est modélisé par une variable aléatoire de densité $f$ affine croissante sur $[0;50]$, nulle en dehors de cet intervalle : $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux réels. On sait que $f(50)=5f(0)$.