Exercices de Lois discrètes en maths Terminale

1.Exercice 1

On lance un dé équilibré à 6 faces 10 fois de suite. Soit

X

le nombre de 6 obtenus.

1. Quelle est la loi de

X

? Préciser ses paramètres.
2. Calculer

P (X = 2)

(arrondir à

1 0^{- 4}

).
3. Calculer l'espérance et l'écart-type de

X

2.Exercice 2

Dans une urne, il y a 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire successivement des boules avec remise jusqu'à obtenir une boule rouge. Soit

X

le rang d'apparition de la première boule rouge.

1. Quelle est la loi de

X

?
2. Calculer

P (X = 3)

.
3. Calculer

E (X)

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3.Exercice 3

Une usine fabrique des pièces dont 5 % sont défectueuses. On contrôle un lot de

n = 100

pièces prélevées au hasard dans la production, assez importante pour qu'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

Soit

X

le nombre de pièces défectueuses dans ce lot.

1. Quelle est la loi de

X

? Justifier.
2. Calculer

E (X)

Var (X)

σ (X)

.
3. Calculer

P (X \leq 3)

(exprimer en termes de somme de

P (X = k)

et donner une valeur approchée à

1 0^{- 3}

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4. $Loi uniforme sur un ensemble fini de tickets$

Dans une urne se trouvent 8 tickets indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 8. On tire au hasard un ticket dans l'urne. On note

X

le numéro porté par le ticket extrait.

Q1-Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire

X

Q2-Calculer la probabilité de l'événement

(X ⩽ 3)

Q3-Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair.

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5. $Espérance mathématique d'une roue équilibrée$

Une roue de loterie équilibrée est partagée en 12 secteurs circulaires identiques, numérotés de 1 à 12. Après avoir fait tourner la roue, une flèche fixe indique le secteur gagnant. On note

X

le numéro désigné.

Q1-Préciser la loi suivie par

X

Q2-Calculer l'espérance mathématique

E (X)

et interpréter ce résultat.

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6. $Calcul ponctuel pour une loi géométrique au tir à l'arc$

Un archer s'entraîne à atteindre le centre d'une cible. À chaque flèche tirée, la probabilité d'atteindre le centre est

p = 0, 2

. On suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres. L'archer tire successivement des flèches jusqu'à ce qu'il atteigne le centre pour la première fois. Soit

X

la variable aléatoire égale au nombre de flèches tirées.

Calculer la valeur exacte de la probabilité

P (X = 4)

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7. $Espérance du temps d'attente d'une face précise d'un dé$

On lance de façon répétée et indépendante un dé cubique équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, jusqu'à obtenir la face numéro 6 pour la première fois. On note

Y

le nombre de lancers effectués.

Q1-Justifier que la variable aléatoire

Y

suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

Q2-Calculer l'espérance mathématique

E (Y)

et interpréter la valeur trouvée.

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8. $Reconnaissance de modèles probabilistes discrets$

Pour chacune des trois situations suivantes, préciser sans calcul approfondi le nom de la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire considérée ainsi que la valeur de ses paramètres :

Q1-On extrait une carte au hasard d'un jeu de 32 cartes bien mélangé. On note

X

la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la carte est un cœur et 0 sinon. Reconnaître la loi de

X

et préciser ses paramètres.

Q2-On répète 10 fois l'expérience précédente, en remettant à chaque fois la carte tirée dans le jeu et en le mélangeant. Soit

Y

le nombre total de cœurs obtenus. Reconnaître la loi de

Y

et préciser ses paramètres.

Q3-On tire successivement avec remise des cartes jusqu'à obtenir un cœur pour la première fois. Soit

Z

le nombre de tirages effectués. Reconnaître la loi de

Z

et préciser ses paramètres.

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9. $Lecture de coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal$

On rappelle les premières lignes du triangle de Pascal, où l'indice de ligne correspond à

n

(de 0 à 5) et l'indice de colonne à

k

:

Ligne 0 : 1
Ligne 1 : 1, 1
Ligne 2 : 1, 2, 1
Ligne 3 : 1, 3, 3, 1
Ligne 4 : 1, 4, 6, 4, 1
Ligne 5 : 1, 5, 10, 10, 5, 1

Q1-Déterminer par lecture immédiate les coefficients binomiaux

(2 4)

(3 5)

Q2-Rappeler la relation de symétrie des coefficients binomiaux reliant

(4 5)

(1 5)

, puis donner leur valeur.

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10. $Loi uniforme discrète et divisibilité$

Une boîte contient 20 jetons indiscernables numérotés de 1 à 20. On extrait un jeton au hasard. Soit

N

le numéro inscrit sur le jeton.

Q1-Donner la loi de probabilité de

N

Q2-Déterminer la probabilité que

N

soit un multiple de 3.

Q3-Déterminer la probabilité que

N

soit strictement supérieur à 14.

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11. $Probabilités élémentaires d'une loi géométrique de paramètre un quart$

On lance une pièce biaisée pour laquelle la probabilité d'obtenir Face lors d'un lancer vaut

p = \frac{1}{4}

. Les lancers sont indépendants. On s'arrête dès que la face Face apparaît pour la première fois. On note

T

le nombre de lancers effectués.

Donner les valeurs exactes sous forme de fractions irréductibles de

P (T = 1)

P (T = 2)

P (T = 3)

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12. $Espérance d'une loi uniforme sur cinquante entiers$

Une tombola de fin d'année met en vente 50 billets numérotés de 1 à 50. Un tirage au sort désigne un billet gagnant avec équiprobabilité. On note

X

le numéro tiré.

Q1-Rappeler la formule donnant l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur

{1, 2, \dots, n}

Q2-En déduire la valeur exacte de

E (X)

pour

n = 50

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13. $Dénombrement et transformation d'une loi uniforme$

Un dé cubique spécial et parfaitement équilibré porte sur ses faces les nombres pairs suivants : 2, 4, 6, 8, 10, 12. On lance ce dé et on note

X

le nombre obtenu.

Q1-Déterminer la loi de probabilité de

X

Q2-On pose

Y = \frac{X}{2}

. Justifier que

Y

suit la loi uniforme discrète sur

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

et calculer son espérance

E (Y)

Q3-En utilisant la relation

X = 2 Y

, en déduire la valeur exacte de l'espérance

E (X)

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14. $Probabilité cumulée d'une loi géométrique en contrôle qualité$

Une usine fabrique des ampoules LED. La probabilité qu'une ampoule présente un défaut de fabrication est

p = 0, 1

. On prélève des ampoules successivement et de façon indépendante pour les tester. On note

X

la variable aléatoire désignant le nombre d'ampoules testées jusqu'à trouver la première ampoule défectueuse.

Calculer la valeur exacte de la probabilité

P (X ⩽ 3)

sous forme décimale.

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15. $Dépassement de seuil et probabilité du complémentaire$

Un joueur de jeu vidéo tente d'ouvrir un coffre rare scellé. À chaque tentative, la probabilité d'ouvrir le coffre est

p = 0, 05

. Les tentatives sont indépendantes. Soit

N

le nombre de tentatives nécessaires pour ouvrir le coffre pour la première fois.

Q1-Que signifie concrètement l'événement

(N > 4)

dans le contexte de l'énoncé ?

Q2-Exprimer

P (N > 4)

sous la forme

(1 - p)^{4}

et calculer sa valeur décimale exacte.

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16. $Justification rigoureuse d'une loi géométrique pour un centre d'appels$

Un usager contacte par téléphone un service d'assistance. À chaque appel, la probabilité d'obtenir immédiatement un conseiller en ligne est

p = 0, 4

. On admet que les appels successifs constituent des épreuves indépendantes. L'usager renouvelle son appel jusqu'à être mis en relation avec un conseiller. On désigne par

K

le nombre total d'appels émis.

Q1-Justifier de manière détaillée que la variable aléatoire

K

suit une loi géométrique et en indiquer le paramètre.

Q2-Calculer la probabilité que l'usager obtienne un conseiller exactement au troisième appel.

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17. $Comparaison d'espérances entre loi uniforme et loi géométrique$

On dispose d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On définit deux variables aléatoires distinctes :
-

U

désigne le numéro obtenu lors d'un lancer unique de ce dé.
-

G

désigne le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois un résultat supérieur ou égal à 5.

Q1-Déterminer la loi de

U

et calculer son espérance

E (U)

Q2-Justifier la loi de

G

et calculer son espérance

E (G)

Q3-Comparer

E (U)

E (G)

puis expliquer brièvement la différence de signification entre ces deux grandeurs.

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18. $Arbre de Bernoulli et dénombrement de chemins$

On réalise une expérience consistant en une répétition de 4 épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques. Pour chaque épreuve, on note

S

le succès et

E

l'échec.

Q1-Déterminer le nombre total de chemins sur l'arbre complet associé à ces 4 épreuves.

Q2-Donner, à l'aide d'un coefficient binomial lu dans le triangle de Pascal, le nombre de chemins comportant exactement 2 succès.

Q3-Énumérer tous les chemins comportant exactement 2 succès pour confirmer la valeur obtenue.

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19. $Recherche du paramètre d'une loi géométrique à partir d'une probabilité$

Soit

X

une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

p \in] 0; 1 [

. On sait que la probabilité que le premier succès survienne au deuxième essai vaut

P (X = 2) = 0, 21

et que la probabilité de succès à chaque essai est inférieure à 0,5 (

p < 0, 5

Q1-Exprimer

P (X = 2)

en fonction de

p

Q2-Déterminer la valeur du paramètre

p

sous la condition

p < 0, 5

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20. $Étude de la monotonie de la distribution géométrique$

Soit

X

une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

p \in] 0; 1 [

. Pour tout entier

k ⩾ 1

, on pose

u_{k} = P (X = k)

Q1-Exprimer le quotient

\frac{u _{k + 1}}{u _{k}}

en fonction de

p

Q2-En déduire le sens de variation de la suite

(u_{k})

pour tout entier

k ⩾ 1

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21. $Gain aléatoire et transformation affine d'une variable uniforme$

Un jeu de hasard consiste à tirer un jeton au hasard parmi 5 jetons numérotés de 1 à 5. On note

X

le numéro obtenu. Le joueur gagne la somme en euros donnée par la variable aléatoire

G = 4 X - 10

Q1-Quelles sont les valeurs possibles prises par la variable de gain

G

Q2-Calculer l'espérance

E (X)

Q3-En déduire l'espérance de gain

E (G)

. Le jeu est-il équitable (c'est-à-dire d'espérance nulle) ?

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22. $Encadrement d'une variable suivant une loi géométrique$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre

p = \frac{1}{3}

.

Calculer la probabilité de l'événement

(2 ⩽ X ⩽ 4)

sous la forme d'une fraction irréductible.

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23. $Probabilité d'au moins deux échecs initiaux$

Un serveur informatique tente de rétablir une connexion avec une base de données. Chaque tentative est indépendante et réussit avec une probabilité

p = 0, 15

. Soit

T

le nombre total de tentatives nécessaires pour réussir la connexion.

Q1-Exprimer l'événement

(T ⩾ 3)

en termes d'échecs consécutifs.

Q2-Calculer la probabilité exacte

P (T ⩾ 3)

sous forme décimale.

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24. $Tirages avec remise jusqu'à l'obtention d'une couleur$

Une boîte contient 3 billes rouges et 7 billes vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement une bille avec remise jusqu'à ce que l'on obtienne une bille rouge pour la première fois. On note

N

le nombre de tirages effectués.

Q1-Justifier que

N

suit une loi géométrique et en donner le paramètre

p

Q2-Calculer l'espérance

E (N)

sous forme d'une fraction puis donner une valeur approchée au centième.

Q3-Calculer la probabilité que la première bille rouge soit tirée au premier ou au second tirage.

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25. $Absence de mémoire appliquée à des cycles de test$

Un composant mécanique subit des cycles d'effort successifs et indépendants. À chaque cycle, la probabilité qu'une défaillance survienne est

p = 0, 08

. Soit

X

la variable aléatoire désignant le numéro du cycle où se produit la première défaillance.

Q1-Rappeler la formule de la propriété d'absence de mémoire pour une loi géométrique.

Q2-Sachant que le composant n'a présenté aucune défaillance au cours des 5 premiers cycles, déterminer la probabilité qu'il fonctionne encore sans défaillance pendant au moins 3 cycles supplémentaires (c'est-à-dire que

X > 8

). Pour cela, exprimer cette probabilité conditionnelle

P_{X > 5} (X > 8)

à l'aide de la propriété d'absence de mémoire.

Q3-Calculer la valeur exacte sous forme décimale de cette probabilité.

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26. $Vérification calculatoire de la propriété d'absence de mémoire$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre

p = 0, 2

Q1-Calculer

P (X > 2)

P (X > 5)

sous forme décimale.

Q2-Justifier que

(X > 5) \subset (X > 2)

et en déduire l'intersection

(X > 2) \cap (X > 5)

Q3-En utilisant la définition d'une probabilité conditionnelle, calculer

P_{X > 2} (X > 5)

et vérifier que ce résultat coïncide avec

P (X > 3)

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27. $Détermination du nombre d'appels nécessaires par résolution logarithmique$

Un téléconseiller effectue une série d'appels de prospection indépendants. À chaque appel, la probabilité d'obtenir un accord client est

p = 0, 04

. Soit

N

le nombre d'appels passés jusqu'à l'obtention du premier accord.

Q1-Exprimer en fonction d'un entier

k ⩾ 1

la probabilité

P (N ⩽ k)

Q2-On souhaite déterminer le nombre minimal

k

d'appels à effectuer pour que la probabilité d'obtenir au moins un accord soit supérieure ou égale à

0, 95

, c'est-à-dire le plus petit entier

k

tel que

P (N ⩽ k) ⩾ 0, 95

. Résoudre cette inéquation à l'aide de la fonction logarithme népérien et conclure.

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28. $Comparaison de trois modélisations discrètes sur un même tirage$

Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On appelle « grand numéro » le tirage d'un jeton portant un numéro supérieur ou égal à 8.

Q1-On extrait un jeton au hasard. Soit

X

son numéro. Déterminer la loi de

X

, calculer son espérance

E (X)

et déterminer la probabilité

p

d'obtenir un grand numéro.

Q2-On tire successivement 6 jetons avec remise. Soit

Y

le nombre total de grands numéros obtenus. Déterminer la loi de

Y

et son espérance

E (Y)

Q3-On tire successivement des jetons avec remise jusqu'à obtenir un grand numéro pour la première fois. Soit

Z

le nombre de tirages réalisés. Déterminer la loi de

Z

et son espérance

E (Z)

Q4-Préciser ce que décrivent respectivement

E (Y)

E (Z)

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29. $Processus séquentiel borné à quatre étapes au plus$

On lance une pièce équilibrée (probabilité d'obtenir Pile égale à 0,5). Le jeu s'arrête dès que l'on obtient Pile, ou dès que 4 lancers ont été effectués si aucun Pile n'est apparu. On note

X

la variable aléatoire égale au nombre total de lancers effectués au cours de la partie.

Q1-Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire

X

Q2-Calculer les probabilités

P (X = 1)

P (X = 2)

P (X = 3)

P (X = 4)

Q3-Vérifier que la somme des probabilités est égale à 1, puis calculer l'espérance mathématique

E (X)

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30. $Loi uniforme discrète et calcul d'une probabilité conditionnelle$

On tire au hasard un nombre entier

N

dans l'ensemble

E = {1, 2, 3, \dots, 30}

. Chaque nombre a la même probabilité d'être choisi.
On définit les deux événements suivants :
-

A

: « le nombre

N

est un multiple de 3 »
-

B

: « le nombre

N

est supérieur ou égal à 10 »

Q1-Calculer les probabilités

P (A)

P (B)

Q2-Déterminer les éléments formant l'événement

A \cap B

et calculer

P (A \cap B)

Q3-Calculer la probabilité conditionnelle que le nombre choisi soit un multiple de 3 sachant qu'il est supérieur ou égal à 10, notée

P_{B} (A)

. Les événements

A

B

sont-ils indépendants ?

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31. $Nombre d'essais pour garantir l'obtention d'un lot rare$

Dans un jeu en ligne, un joueur ouvre des coffres mystères. À chaque ouverture, la probabilité d'obtenir un objet légendaire est

p = 0, 02

. Les ouvertures sont indépendantes. On note

X

la variable aléatoire désignant le nombre d'ouvertures nécessaires pour obtenir le premier objet légendaire.

Q1-Exprimer en fonction d'un entier

k ⩾ 1

la probabilité

P (X > k)

Q2-Déterminer par le calcul le plus petit nombre entier

k

d'ouvertures que le joueur doit réaliser pour que la probabilité d'obtenir au moins un objet légendaire soit strictement supérieure à

0, 99

, c'est-à-dire tel que

P (X ⩽ k) > 0, 99

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32. $Conditionnement et absence de mémoire aux lancers francs$

Un joueur de basket s'exerce aux lancers francs. On admet que chaque tir réussit avec une probabilité constante

p = 0, 35

et que les tirs sont indépendants. On note

X

le nombre de lancers nécessaires pour réussir le premier panier.

Q1-Préciser la loi suivie par

X

Q2-Calculer la probabilité

P (X > 4)

sous forme décimale arrondie au dix-millième.

Q3-Sachant que le joueur a raté ses 4 premiers lancers, calculer la probabilité conditionnelle

P_{X > 4} (X > 6)

qu'il doive tirer au total plus de 6 fois pour marquer son premier panier. Que remarque-t-on ? Interpréter ce résultat à l'aide de la propriété d'absence de mémoire.

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33. $Démonstration de l'espérance de la loi uniforme discrète$

Soit

n

un entier naturel non nul. Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi uniforme discrète sur l'ensemble

{1, 2, \dots, n}

Q1-Rappeler pour tout entier

k \in {1, \dots, n}

l'expression de

P (X = k)

Q2-Écrire la définition de l'espérance mathématique

E (X)

sous forme d'une somme.

Q3-Rappeler et justifier la formule de la somme des

n

premiers entiers naturels non nuls

S_{n} = 1 + 2 + \dots + n

Q4-En déduire la démonstration complète de l'égalité

E (X) = \frac{n + 1}{2}

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34. $Calcul direct de l'espérance d'une loi binomiale pour trois épreuves$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale

B (3, p)

, où

p \in] 0; 1 [

. On note

q = 1 - p

Q1-Déterminer à l'aide du triangle de Pascal les coefficients binomiaux

(k 3)

pour

k \in {0, 1, 2, 3}

, puis expliciter la probabilité

P (X = k)

pour chaque valeur de

k

Q2-Écrire la somme développée définissant l'espérance mathématique

E (X) = k = 0 \sum 3 k P (X = k)

Q3-Développer et factoriser cette expression pour démontrer, par calcul direct et sans utiliser la décomposition en somme de Bernoulli, que

E (X) = 3 p

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35. $Démonstration complète des paramètres d'une loi de Bernoulli$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre

p \in] 0; 1 [

, prenant la valeur 1 avec la probabilité

p

et la valeur 0 avec la probabilité

1 - p

Q1-Calculer l'espérance

E (X)

à partir de la définition.

Q2-Justifier que pour toute issue élémentaire, on a

X^{2} = X

, puis en déduire la valeur de

E (X^{2})

Q3-À l'aide de la formule de König-Huygens

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

, établir que la variance de

X

vaut

V (X) = p (1 - p)

Q4-En déduire l'expression de l'écart type

σ (X)

en fonction de

p

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36. $Démonstration générale de l'absence de mémoire pour une loi géométrique$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre

p \in] 0; 1 [

. Soient

a

b

deux entiers naturels non nuls quelconques.

Q1-Démontrer que pour tout entier naturel non nul

k

, la probabilité de l'événement

(X > k)

est donnée par

P (X > k) = (1 - p)^{k}

Q2-Justifier l'inclusion

(X > a + b) \subset (X > a)

et préciser l'événement

(X > a) \cap (X > a + b)

Q3-En utilisant la définition de la probabilité conditionnelle

P_{X > a} (X > a + b)

, démontrer rigoureusement la propriété d'absence de mémoire :

P_{X > a} (X > a + b) = P (X > b)

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37. $Synthèse de modélisation géométrique et analyse de fiabilité$

Une station spatiale reçoit des signaux de télémétrie transmis par paquets numériques. Chaque paquet a une probabilité

p = 0, 25

d'être correctement décodé lors de son émission. On suppose que les tentatives d'émission sont indépendantes les unes des autres. On note

N

le nombre de paquets émis jusqu'à obtenir le premier décodage réussi.

Q1-Justifier le choix d'une loi géométrique pour modéliser

N

, préciser son paramètre et calculer son espérance mathématique

E (N)

Q2-Calculer la probabilité

P (N ⩽ 3)

que le premier paquet soit décodé au plus tard lors de la troisième tentative.

Q3-Sachant que les 2 premiers paquets émis n'ont pas pu être décodés, calculer la probabilité conditionnelle

P_{N > 2} (N ⩽ 5)

que le premier décodage réussi survienne au plus tard au cinquième paquet émis, en utilisant l'absence de mémoire.

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38. $Comparaison théorique des espérances d'une loi uniforme et d'une loi géométrique$

On considère une roue de loterie équilibrée divisée en

n

secteurs identiques numérotés de 1 à

n

, avec

n ⩾ 2

.
On définit deux variables aléatoires associées à cette roue :
-

X

désigne le numéro obtenu lors d'un unique tour de roue.
-

Y

désigne le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le secteur numéro 1 pour la première fois.

Q1-Donner la loi de

X

et exprimer son espérance

E (X)

en fonction de

n

Q2-Justifier la loi de

Y

et exprimer son espérance

E (Y)

en fonction de

n

Q3-Démontrer que pour tout entier

n ⩾ 2

, on a

E (Y) > E (X)

Q4-Expliquer pourquoi ces deux espérances ne sont pas égales bien que l'expérience repose sur le même paramètre

n

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39. $Calcul direct de l'espérance d'une loi binomiale pour deux épreuves$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale

B (2, p)

, où

p \in] 0; 1 [

. On note

q = 1 - p

Q1-Expliciter les probabilités

P (X = 0)

P (X = 1)

P (X = 2)

en fonction de

p

q

Q2-Démontrer par calcul direct à partir de la définition que

E (X) = 2 p

Q3-Pour quelle valeur de

p

la probabilité

P (X = 1)

est-elle maximale ? Que vaut alors

E (X)

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40. $Probabilité uniforme sur les secteurs d'un anémomètre de laboratoire$

Dans un laboratoire d'aérodynamique, un anémomètre d'étalonnage est muni d'un cadran circulaire divisé en

8

secteurs angulaires identiques, numérotés de

1

8

. Lorsqu'un souffle d'air régulier est interrompu, une aiguille d'arrêt s'immobilise de manière équiprobable devant l'un des

8

secteurs. On note

X

la variable aléatoire désignant le numéro du secteur désigné.

Q1-Justifier que

X

suit une loi uniforme discrète et préciser la probabilité de chaque issue élémentaire.

Q2-Calculer la probabilité que le repère s'arrête sur un secteur portant un numéro strictement supérieur à

5

Q3-Déterminer la probabilité que le numéro désigné soit un multiple de

3

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1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Loi uniforme sur un ensemble fini de tickets

5.Espérance mathématique d'une roue équilibrée

6.Calcul ponctuel pour une loi géométrique au tir à l'arc

7.Espérance du temps d'attente d'une face précise d'un dé

8.Reconnaissance de modèles probabilistes discrets

9.Lecture de coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal

10.Loi uniforme discrète et divisibilité

11.Probabilités élémentaires d'une loi géométrique de paramètre un quart

12.Espérance d'une loi uniforme sur cinquante entiers

13.Dénombrement et transformation d'une loi uniforme

14.Probabilité cumulée d'une loi géométrique en contrôle qualité

15.Dépassement de seuil et probabilité du complémentaire

16.Justification rigoureuse d'une loi géométrique pour un centre d'appels

17.Comparaison d'espérances entre loi uniforme et loi géométrique

18.Arbre de Bernoulli et dénombrement de chemins

19.Recherche du paramètre d'une loi géométrique à partir d'une probabilité

20.Étude de la monotonie de la distribution géométrique

21.Gain aléatoire et transformation affine d'une variable uniforme

22.Encadrement d'une variable suivant une loi géométrique

23.Probabilité d'au moins deux échecs initiaux

24.Tirages avec remise jusqu'à l'obtention d'une couleur

25.Absence de mémoire appliquée à des cycles de test

26.Vérification calculatoire de la propriété d'absence de mémoire

27.Détermination du nombre d'appels nécessaires par résolution logarithmique

28.Comparaison de trois modélisations discrètes sur un même tirage

29.Processus séquentiel borné à quatre étapes au plus

30.Loi uniforme discrète et calcul d'une probabilité conditionnelle

31.Nombre d'essais pour garantir l'obtention d'un lot rare

32.Conditionnement et absence de mémoire aux lancers francs

33.Démonstration de l'espérance de la loi uniforme discrète

34.Calcul direct de l'espérance d'une loi binomiale pour trois épreuves

35.Démonstration complète des paramètres d'une loi de Bernoulli

36.Démonstration générale de l'absence de mémoire pour une loi géométrique

37.Synthèse de modélisation géométrique et analyse de fiabilité

38.Comparaison théorique des espérances d'une loi uniforme et d'une loi géométrique

39.Calcul direct de l'espérance d'une loi binomiale pour deux épreuves

40.Probabilité uniforme sur les secteurs d'un anémomètre de laboratoire

4. $Loi uniforme sur un ensemble fini de tickets$

5. $Espérance mathématique d'une roue équilibrée$

6. $Calcul ponctuel pour une loi géométrique au tir à l'arc$

7. $Espérance du temps d'attente d'une face précise d'un dé$

8. $Reconnaissance de modèles probabilistes discrets$

9. $Lecture de coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal$

10. $Loi uniforme discrète et divisibilité$

11. $Probabilités élémentaires d'une loi géométrique de paramètre un quart$

12. $Espérance d'une loi uniforme sur cinquante entiers$

13. $Dénombrement et transformation d'une loi uniforme$

14. $Probabilité cumulée d'une loi géométrique en contrôle qualité$

15. $Dépassement de seuil et probabilité du complémentaire$

16. $Justification rigoureuse d'une loi géométrique pour un centre d'appels$

17. $Comparaison d'espérances entre loi uniforme et loi géométrique$

18. $Arbre de Bernoulli et dénombrement de chemins$

19. $Recherche du paramètre d'une loi géométrique à partir d'une probabilité$

20. $Étude de la monotonie de la distribution géométrique$

21. $Gain aléatoire et transformation affine d'une variable uniforme$

22. $Encadrement d'une variable suivant une loi géométrique$

23. $Probabilité d'au moins deux échecs initiaux$

24. $Tirages avec remise jusqu'à l'obtention d'une couleur$

25. $Absence de mémoire appliquée à des cycles de test$

26. $Vérification calculatoire de la propriété d'absence de mémoire$

27. $Détermination du nombre d'appels nécessaires par résolution logarithmique$

28. $Comparaison de trois modélisations discrètes sur un même tirage$

29. $Processus séquentiel borné à quatre étapes au plus$

30. $Loi uniforme discrète et calcul d'une probabilité conditionnelle$

31. $Nombre d'essais pour garantir l'obtention d'un lot rare$

32. $Conditionnement et absence de mémoire aux lancers francs$

33. $Démonstration de l'espérance de la loi uniforme discrète$

34. $Calcul direct de l'espérance d'une loi binomiale pour trois épreuves$

35. $Démonstration complète des paramètres d'une loi de Bernoulli$

36. $Démonstration générale de l'absence de mémoire pour une loi géométrique$

37. $Synthèse de modélisation géométrique et analyse de fiabilité$

38. $Comparaison théorique des espérances d'une loi uniforme et d'une loi géométrique$

39. $Calcul direct de l'espérance d'une loi binomiale pour deux épreuves$

40. $Probabilité uniforme sur les secteurs d'un anémomètre de laboratoire$