Exercices de Lois discrètes en maths Terminale (page 2)

42. $Premier succès lors d'un contrôle automatique d'étanchéité$

Sur une chaîne de fabrication de récipients pressurisés, chaque pièce subit un test d'étanchéité indépendant. La probabilité qu'un récipient présente un défaut d'étanchéité est constante et égale à

p = 0, 05

. On examine les récipients les uns après les autres jusqu'à détecter le premier récipient défectueux. On note

T

la variable aléatoire égale au rang du premier récipient présentant un défaut.

Q1-Reconnaître la loi de probabilité suivie par

T

et préciser son paramètre.

Q2-Calculer la probabilité exacte que le premier récipient défectueux soit le quatrième examiné, sous la forme d'un produit puis donner une valeur approchée à

1 0^{- 4}

près.

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43. $Espérance du nombre d'essais d'amorçage d'une sonde géologique$

Une sonde géologique automatique enfouie tente d'établir une liaison par transmission d'ondes avec une station de surface. À chaque tentative d'amorçage, la transmission s'établit avec une probabilité constante

p = \frac{1}{8}

. Les tentatives sont indépendantes les unes des autres. On note

Y

le nombre de tentatives nécessaires pour réussir la première liaison.

Q1-Justifier que la variable aléatoire

Y

suit une loi géométrique et indiquer la formule de son espérance

E (Y)

Q2-Calculer la valeur numérique de

E (Y)

Q3-Interpréter le résultat obtenu pour l'équipe technique chargée de surveiller la sonde.

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44. $Identification de lois usuelles dans trois protocoles de télécommunication$

Un ingénieur réseau observe la transmission de paquets d'information et définit trois variables aléatoires distinctes :
-

V_{1}

vaut

1

si un paquet unique transmis est altéré par le bruit de ligne, et

0

s'il parvient intact, sachant que le taux d'altération est de

0, 04

;
-

V_{2}

compte le nombre total de paquets altérés parmi une série fixée de

25

paquets émis indépendamment dans les mêmes conditions ;
-

V_{3}

compte le nombre de paquets émis successivement jusqu'à ce que survienne la première altération constatée.

Q1-Pour chacune des variables

V_{1}

V_{2}

V_{3}

, préciser la loi de probabilité suivie parmi la loi de Bernoulli, la loi binomiale et la loi géométrique, en donnant ses paramètres.

Q2-Préciser ce qui distingue la nature de la variable

V_{2}

de celle de la variable

V_{3}

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1. Analysons chaque variable aléatoire :
-

V_{1}

correspond à une épreuve unique à deux issues (paquet altéré ou intact). Elle suit la loi de Bernoulli de paramètre

p = 0, 04

, notée

B (0, 04)

.
-

V_{2}

compte le nombre de succès (paquets altérés) au cours d'un schéma de Bernoulli comportant un nombre fixé

n = 25

d'épreuves indépendantes et identiques de probabilité

p = 0, 04

. Elle suit donc la loi binomiale de paramètres

n = 25

p = 0, 04

, notée

B (25; 0, 04)

.
-

V_{3}

compte le rang de l'épreuve à laquelle se produit le premier succès (première altération) lors d'une succession indéfinie d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre

p = 0, 04

. Elle suit donc la loi géométrique de paramètre

p = 0, 04

, notée

G (0, 04)

.

2. La variable

V_{2}

opère sur un horizon d'expérience de longueur fixée à l'avance (

n = 25

essais) et compte un nombre de succès, qui est borné entre

0

25

. À l'inverse, la variable

V_{3}

compte un nombre d'essais jusqu'au premier succès ; la durée de l'expérience est donc aléatoire et non bornée a priori, prenant ses valeurs dans l'ensemble des entiers naturels non nuls

{1, 2, 3, \dots}

45. $Détermination de coefficients binomiaux par lecture du triangle de Pascal$

On rappelle les premières lignes du triangle de Pascal, où le terme à la ligne

n

et à la colonne

k

est le coefficient binomial

(k n)

:
- Ligne

0

1

- Ligne

1

1

1

- Ligne

2

1

2

1

- Ligne

3

1

3

3

1

- Ligne

4

1

4

6

4

1

- Ligne

5

1

5

10

10

5

1

Q1-Construire la ligne

6

du triangle de Pascal en utilisant la formule d'addition de Pascal.

Q2-En déduire directement, sans aucun calcul de factorielle, les valeurs de

(2 6)

et de

(4 6)

Q3-Rappeler la propriété de symétrie des coefficients binomiaux qui justifie l'égalité entre

(2 6)

(4 6)

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1. La relation de Pascal stipule que pour tous entiers

n

k

tels que

1 ⩽ k ⩽ n

, on a :

(k n + 1) = (k - 1 n) + (k n)

Chaque ligne commence et se termine par

1

. Pour construire la ligne

n = 6

à partir de la ligne

5

:
- terme

0

1

- terme

1

1 + 5 = 6

- terme

2

5 + 10 = 15

- terme

3

10 + 10 = 20

- terme

4

10 + 5 = 15

- terme

5

5 + 1 = 6

- terme

6

1

La ligne

6

du triangle de Pascal est donc :

1615201561

2. Par lecture directe de la ligne

6

(en numérotant les positions à partir de

k = 0

) :
- à la position

k = 2

, on lit

(2 6) = 15

;
- à la position

k = 4

, on lit

(4 6) = 15

.

3. Pour tous entiers

n

k

tels que

0 ⩽ k ⩽ n

, la propriété de symétrie s'écrit :

(k n) = (n - k n)

Pour

n = 6

k = 2

, on a

n - k = 6 - 2 = 4

, d'où

(2 6) = (4 6)

46. $Attribution aléatoire d'un créneau horaire de passage$

Pour une épreuve orale de langues vivantes, un logiciel attribue à chaque candidat un créneau horaire tiré au sort de manière équiprobable parmi

12

créneaux numérotés de

1

12

. On note

C

la variable aléatoire désignant le numéro du créneau attribué à un candidat donné.

Q1-Préciser la loi de probabilité de la variable aléatoire

C

et calculer

P (C = 7)

Q2-Déterminer la probabilité que le créneau attribué porte un numéro pair compris entre

4

10

inclus.

Q3-Déterminer la probabilité que le créneau porte un numéro strictement inférieur à

5

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47. $Détection du premier défaut de fabrication sur un composant optique$

Dans une entreprise de fabrication de micro-lentilles optiques, un robot contrôle la conformité des pièces produites. La probabilité qu'une micro-lentille présente une impureté est

p = 0, 1

. Les contrôles successifs sont indépendants. On note

N

la variable aléatoire représentant le rang de la première lentille présentant une impureté.

Q1-Donner la loi de probabilité de

N

ainsi que son espérance mathématique

E (N)

Q2-Calculer la probabilité que la première lentille avec impureté soit exactement la deuxième contrôlée.

Q3-Calculer la probabilité que la première lentille avec impureté soit la troisième contrôlée.

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48. $Loi uniforme sur les diviseurs stricts d'un entier$

On considère l'ensemble

E

constitué de tous les diviseurs positifs stricts de

24

, c'est-à-dire les entiers naturels non nuls qui divisent

24

, excepté

24

lui-même. On choisit au hasard et de manière équiprobable un élément de

E

. Soit

D

la variable aléatoire désignant le nombre obtenu.

Q1-Dresser la liste complète des éléments de l'ensemble

E

et préciser le nombre total

n

d'issues possibles.

Q2-Préciser la loi de probabilité de

D

et calculer la probabilité

P (D ⩾ 4)

Q3-Calculer l'espérance mathématique

E (D)

et expliquer pourquoi la formule classique

\frac{n + 1}{2}

ne s'applique pas directement ici.

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49. $Probabilité cumulée d'obtention d'un signal balise$

Une balise de surveillance maritime émet une impulsion sonore périodique. En raison des turbulences marines, chaque impulsion a une probabilité

p = 0, 2

d'être reçue par une station côtière d'écoute. Les réceptions successives sont indépendantes. On note

K

le nombre d'impulsions émises jusqu'à la première réception enregistrée par la station.

Q1-Préciser la loi de probabilité de

K

et exprimer

P (K = i)

pour tout entier

i ⩾ 1

Q2-Calculer la probabilité cumulée

P (K ⩽ 3)

en sommant les probabilités des issues

K = 1

K = 2

K = 3

Q3-Retrouver ce résultat en calculant la probabilité de l'événement contraire

(K > 3)

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50. $Analyse du nombre d'essais pour franchir un portique automatique$

Un badge d'accès magnétique présente un taux d'échec de lecture de

15 %

à chaque passage (probabilité d'ouverture au premier essai

p = 0, 85

). Un usager réitère le passage de son badge de façon indépendante jusqu'à l'ouverture du portique. Soit

X

la variable aléatoire désignant le nombre de passages nécessaires.

Q1-Décrire par une phrase concrète la signification de l'événement

(X > 2)

Q2-En déduire la valeur exacte de

P (X > 2)

sous forme décimale sans calculer au préalable

P (X = 1)

P (X = 2)

Q3-Calculer de même la probabilité

P (X > 4)

sous forme décimale exacte.

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51. $Modélisation du temps de calibration d'un capteur environnemental$

Un capteur autonome de particules fines exécute des cycles de calibration successifs d'une durée fixe de

10

secondes chacun. La probabilité qu'un cycle de calibration aboutisse avec succès est constante et égale à

p = 0, 4

, indépendamment des cycles antérieurs. On note

N

le nombre de cycles nécessaires pour obtenir la première calibration validée.

Q1-Justifier avec soin que la variable aléatoire

N

suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.

Q2-Calculer le temps moyen (en secondes) nécessaire pour achever la première calibration.

Q3-Déterminer la probabilité que la procédure de calibration dure strictement plus d'une minute (soit strictement plus de

6

cycles).

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52. $Confrontation entre position de roulette et durée d'attente d'une case$

Une roue de loterie équilibrée comporte

16

secteurs égaux numérotés de

1

16

. On envisage deux expériences aléatoires distinctes :
- Dans la première, on effectue un tour unique de roue et on note

U

le numéro du secteur obtenu.
- Dans la seconde, on fait tourner la roue successivement de façon indépendante jusqu'à ce que le secteur portant le numéro

16

apparaisse pour la première fois. On note

G

le nombre total de tours de roue réalisés.

Q1-Préciser la loi de la variable aléatoire

U

et calculer son espérance mathématique

E (U)

Q2-Préciser la loi de la variable aléatoire

G

et calculer son espérance mathématique

E (G)

Q3-Comparer et interpréter la signification concrète de ces deux espérances.

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53. $Chemins dans un arbre de Bernoulli à quatre niveaux$

On réalise quatre lancers successifs et indépendants d'une pièce de monnaie truquée. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir Pile (noté

S

pour succès) est notée

p

et celle d'obtenir Face (noté

E

pour échec) est

1 - p

Q1-Combien de chemins distincts partent de la racine pour aboutir aux extrémités de l'arbre complet des possibles représentant ces quatre lancers ?

Q2-À l'aide du triangle de Pascal, déterminer le coefficient binomial

(3 4)

représentant le nombre de chemins comportant exactement

3

succès.

Q3-Écrire explicitement tous les quadruplets de la forme

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

correspondant à ces chemins comportant exactement

3

succès.

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54. $Détermination du taux d'efficacité d'un filtre antibruit$

Un ingénieur teste un nouvel algorithme de filtrage antibruit. À chaque test sonore indépendant, le filtre élimine un parasite avec une probabilité constante

p \in] 0; 1 [

. On note

X

la variable aléatoire indiquant le nombre de tests nécessaires pour réussir la première élimination de parasite. On sait que

X

suit une loi géométrique de paramètre

p

et que la probabilité d'obtenir le premier succès au deuxième test vaut exactement

P (X = 2) = 0, 21

Q1-Écrire l'équation en

p

découlant de la relation

P (X = 2) = 0, 21

Q2-Résoudre cette équation sur l'intervalle

] 0; 1 [

Q3-Sachant que le filtre est calibré pour être majoritairement efficace dès le premier test (

p > 0, 5

), déterminer la valeur de

p

à retenir, puis en déduire

P (X = 1)

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55. $Décroissance des probabilités ponctuelles d'une loi géométrique$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre

p = \frac{1}{3}

Q1-Pour tout entier

k ⩾ 1

, exprimer

P (X = k)

P (X = k + 1)

en fonction de

k

Q2-Calculer le quotient

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )}

et en déduire la monotonie de la suite

(P (X = k))_{k ⩾ 1}

Q3-Quelle est la valeur la plus probable prise par la variable

X

? Interpréter ce constat dans le cadre d'un schéma de Bernoulli.

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56. $Gain algébrique issu d'une variable uniforme discrète$

Un jeu de kermesse propose le tirage d'un jeton dans une urne contenant

10

jetons numérotés de

1

10

. On note

X

la variable aléatoire désignant le numéro du jeton tiré. Pour participer, le joueur paie une mise initiale de

4

euros. Si le numéro obtenu est

X

, l'organisateur lui reverse la somme de

2 X

euros. Le gain algébrique du joueur est donc défini par la variable aléatoire

Y = 2 X - 4

Q1-Préciser la loi de probabilité de

X

et calculer son espérance mathématique

E (X)

Q2-En utilisant les propriétés de l'espérance pour une transformation affine

Y = a X + b

, calculer

E (Y)

Q3-Indiquer si ce jeu est favorable au joueur, équitable ou défavorable au joueur.

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57. $Probabilité d'encadrement pour une loi géométrique$

On lance de façon répétée et indépendante un dé tétraédrique parfait dont les faces sont numérotées de

1

4

. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir la face

4

est

p = \frac{1}{4}

. Soit

T

la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour voir apparaître la face

4

pour la première fois.

Q1-Exprimer l'événement

(2 ⩽ T ⩽ 4)

comme l'union de trois événements élémentaires disjoints.

Q2-Calculer la probabilité exacte

P (2 ⩽ T ⩽ 4)

sous forme de fraction irréductible en sommant

P (T = 2)

P (T = 3)

P (T = 4)

Q3-Retrouver ce résultat en calculant la différence

P (T > 1) - P (T > 4)

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58. $Fréquence des tentatives de connexion à un serveur distant$

Un terminal mobile tente d'établir une session sécurisée avec un serveur distant. Chaque tentative de négociation est indépendante des précédentes et réussit avec une probabilité

p = 0, 25

. Si une tentative échoue, une nouvelle est immédiatement amorcée. On note

W

la variable aléatoire égale au nombre total de tentatives nécessaires pour que la session soit établie.

Q1-Indiquer la loi de probabilité suivie par

W

en précisant les hypothèses du modèle.

Q2-Calculer la probabilité que la connexion soit établie en au plus

3

tentatives.

Q3-Déterminer la probabilité que la connexion nécessite au moins

4

tentatives.

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59. $Choix équiprobable d'un mot de passe dans une liste restreinte$

Un système informatique génère un code temporaire de validation en choisissant au hasard et de manière équiprobable un nombre dans l'ensemble des entiers naturels à deux chiffres dont la somme des chiffres est égale à

7

Q1-Déterminer l'ensemble de tous les entiers naturels à deux chiffres dont la somme des chiffres vaut

7

, et préciser le nombre total

n

d'éléments de cet ensemble.

Q2-Soit

N

la variable aléatoire désignant le code choisi. Préciser la loi suivie par

N

et la probabilité de chaque issue.

Q3-Calculer la probabilité que le code choisi soit un nombre pair.

Q4-Calculer la probabilité que le code choisi soit strictement supérieur à

40

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60. $Absence de mémoire lors d'un protocole de transmission radio$

Un émetteur radio automatique émet une impulsion chaque seconde dans une zone isolée. La probabilité qu'un récepteur capte une impulsion donnée est constante et égale à

p = 0, 15

, les émissions successives étant mutuellement indépendantes. On note

X

la variable aléatoire indiquant le nombre d'impulsions nécessaires pour que le récepteur enregistre le premier signal.

Q1-Préciser la loi suivie par

X

et rappeler l'égalité caractérisant la propriété d'absence de mémoire pour tous entiers naturels

a

b

non nuls.

Q2-Sachant qu'aucun signal n'a été capté au cours des

5

premières impulsions, quelle est la probabilité que le récepteur doive attendre strictement plus de

3

impulsions supplémentaires pour enregistrer le premier signal ?

Q3-Calculer la valeur numérique approchée de cette probabilité à

1 0^{- 4}

près et commenter la signification de cette propriété pour le dispositif.

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61. $Preuve calculatoire de l'absence de mémoire sur un exemple numérique$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre

p = \frac{1}{5}

Q1-Justifier que pour tout entier naturel non nul

k

, on a

P (X > k) = (\frac{4}{5})^{k}

Q2-Calculer les probabilités

P (X > 4)

P (X > 7)

. Justifier que

(X > 7) \subset (X > 4)

et en déduire la probabilité de l'intersection

(X > 4) \cap (X > 7)

Q3-En appliquant la définition de la probabilité conditionnelle

P_{X > 4} (X > 7) = \frac{P (( X > 4 ) \cap ( X > 7 ))}{P ( X > 4 )}

, calculer cette probabilité et vérifier qu'elle est égale à

P (X > 3)

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62. $Détermination logarithmique du nombre d'essais pour une détection garantie$

Un système radar de surveillance aérienne balaie l'espace une fois par seconde. À chaque balayage indépendant, la probabilité de détecter un aéronef sans transpondeur est

p = 0, 12

. On note

N

la variable aléatoire indiquant le nombre de balayages nécessaires pour obtenir la première détection.

Q1-Exprimer la probabilité cumulée

P (N ⩽ k)

en fonction de l'entier

k ⩾ 1

Q2-L'opérateur souhaite que la probabilité d'avoir détecté l'aéronef en au plus

k

balayages soit d'au moins

99 %

(

0, 99

). Écrire l'inéquation correspondante satisfaite par

k

Q3-Résoudre cette inéquation en utilisant la fonction logarithme népérien et donner la valeur minimale de l'entier

k

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63. $Comparaison de trois modélisations discrètes lors d'un tirage en urne$

Une urne opaque contient

20

jetons indiscernables au toucher, parmi lesquels

5

jetons sont marqués du symbole « Trèfle » et

15

sont marqués du symbole « Rond ». Les jetons sont par ailleurs numérotés de

1

20

. On considère trois protocoles distincts :
- Protocole 1 : on extrait un unique jeton et on note

X_{1}

son numéro ;
- Protocole 2 : on effectue

10

tirages successifs d'un jeton avec remise et on note

X_{2}

le nombre total de jetons « Trèfle » obtenus ;
- Protocole 3 : on effectue des tirages successifs d'un jeton avec remise jusqu'à tirer un jeton « Trèfle » pour la première fois. On note

X_{3}

le rang auquel ce premier « Trèfle » apparaît.

Q1-Pour chacune des variables

X_{1}

X_{2}

X_{3}

, préciser la loi de probabilité suivie et ses paramètres.

Q2-Calculer l'espérance mathématique de chacune des trois variables.

Q3-Dans le cadre du protocole 3, déterminer la probabilité exacte que le premier jeton « Trèfle » apparaisse au troisième tirage.

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64. $Processus de contrôle borné à trois tentatives au maximum$

Un système biométrique d'accès contrôle la reconnaissance faciale des utilisateurs autorisés. À chaque tentative, la reconnaissance aboutit avec une probabilité constante

p = 0, 8

. Par mesure d'ergonomie, le terminal autorise au maximum

3

présentations successives du visage. Si l'accès est accordé à la tentative

k \in {1, 2, 3}

, la porte s'ouvre et la session s'arrête. Si après

3

tentatives infructueuses l'accès n'est toujours pas accordé, le terminal se verrouille et la session s'arrête également. On note

N

la variable aléatoire désignant le nombre total de présentations effectuées lors d'une session.

Q1-Représenter la succession des étapes par un arbre pondéré.

Q2-Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire

N

sous la forme d'un tableau ou d'une liste exhaustive.

Q3-Calculer l'espérance mathématique

E (N)

et comparer sa valeur à l'espérance d'une loi géométrique non tronquée de paramètre

0, 8

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65. $Conditionnement et loi uniforme sur un ensemble de jetons$

Dans une urne se trouvent

30

jetons numérotés de

1

30

. On tire un jeton au hasard. Soit

X

le numéro tiré, qui suit la loi uniforme discrète sur

{1, 2, \dots, 30}

. On s'intéresse aux événements suivants :
-

A

: « le numéro tiré est un multiple de

3

» ;
-

B

: « le numéro tiré est supérieur ou égal à

12

».

Q1-Déterminer le nombre d'issues favorables à l'événement

A

, puis calculer

P (A)

Q2-Déterminer l'ensemble des issues favorables à l'événement

A \cap B

et calculer sa probabilité

P (A \cap B)

Q3-Calculer

P (B)

, puis en déduire la probabilité conditionnelle

P_{B} (A)

de tirer un multiple de

3

sachant que le numéro est supérieur ou égal à

12

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66. $Absence de mémoire dans la prospection de gisements$

Une entreprise d'énergie réalise des forages d'exploration géologique dans une région aride. Chaque forage est indépendant des autres et possède une probabilité

p = 0, 08

de toucher une nappe aquifère exploitable. On note

F

la variable aléatoire indiquant le nombre de forages réalisés jusqu'au premier forage fructueux.

Q1-Identifier la loi suivie par

F

et calculer son espérance mathématique.

Q2-La compagnie a déjà creusé

10

forages sans trouver la moindre nappe d'eau. Exprimer formellement la probabilité conditionnelle que le nombre total de forages nécessaires dépasse

15

Q3-Calculer cette probabilité à l'aide de la propriété d'absence de mémoire de la loi géométrique, sous la forme d'une puissance puis d'une valeur décimale approchée à

1 0^{- 4}

près.

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67. $Nombre de tickets à gratter pour obtenir un gain avec un seuil de confiance$

Dans un jeu de grattage, exactement un ticket sur

6

est gagnant. La probabilité de gain lors de l'achat d'un ticket est donc

p = \frac{1}{6}

. On suppose que les achats de tickets successifs sont indépendants. On note

X

la variable aléatoire indiquant le nombre de tickets achetés jusqu'au premier ticket gagnant inclus.

Q1-Donner la loi de probabilité suivie par

X

et exprimer

P (X > n)

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

Q2-Un joueur souhaite déterminer le nombre

n

de tickets à acheter pour que la probabilité d'obtenir au moins un ticket gagnant soit supérieure ou égale à

0, 95

. Traduire cette exigence par une inéquation portant sur l'expression de

P (X > n)

Q3-Résoudre cette inéquation en détaillant l'utilisation du logarithme népérien et conclure sur le nombre minimal de tickets nécessaires.

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68. $Arbre de décision et arrêt anticipé lors d'un test de conformité$

Un technicien contrôle la qualité d'une série de circuits électroniques. La probabilité qu'un circuit soit défaillant est

p = 0, 3

. Les circuits sont testés un par un de façon indépendante. Le protocole de contrôle s'arrête dès qu'un circuit défaillant est détecté, ou bien dès que

4

circuits sains consécutifs ont été validés (le lot est alors accepté sans test supplémentaire). On note

T

la variable aléatoire désignant le nombre de circuits testés.

Q1-Préciser les valeurs possibles prises par la variable

T

Q2-Déterminer la loi de probabilité de

T

en justifiant le calcul pour chaque valeur.

Q3-Calculer la probabilité que le lot soit accepté au terme du contrôle.

Q4-Déterminer le nombre moyen de circuits testés par lot.

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69. $Démonstration rigoureuse de l'espérance de la loi uniforme discrète$

Soit

n

un entier naturel non nul et soit

X

une variable aléatoire suivant la loi uniforme discrète sur l'ensemble

{1, 2, \dots, n}

Q1-Rappeler la définition de la loi de probabilité de

X

et exprimer formellement son espérance mathématique

E (X)

sous forme de somme pondérée.

Q2-Démontrer que pour tout entier naturel

n ⩾ 1

, on a l'égalité

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Q3-En déduire la démonstration complète de la formule

E (X) = \frac{n + 1}{2}

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70. $Calcul direct et preuve de l'espérance binomiale pour deux épreuves$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres

n = 2

p \in [0; 1]

, notée

B (2, p)

Q1-À l'aide de la formule du cours, exprimer en fonction de

p

les probabilités

P (X = 0)

P (X = 1)

P (X = 2)

Q2-Écrire la formule de définition de l'espérance

E (X) = k = 0 \sum 2 k P (X = k)

et la développer en fonction de

p

Q3-Par factorisation, démontrer que

E (X) = 2 p

, sans recourir au théorème général de décomposition en somme de variables indépendantes.

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71. $Calcul direct et preuve de l'espérance binomiale pour trois épreuves$

Soit

Y

une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres

n = 3

p \in [0; 1]

, notée

B (3, p)

Q1-Expliciter la loi de probabilité de

Y

en donnant les expressions factorisées de

P (Y = 0)

P (Y = 1)

P (Y = 2)

P (Y = 3)

Q2-Développer l'expression de l'espérance mathématique

E (Y) = k = 0 \sum 3 k P (Y = k)

en fonction de

p

Q3-Factoriser les termes non nuls par

3 p

et utiliser une identité remarquable pour démontrer rigoureusement que

E (Y) = 3 p

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72. $Démonstration des paramètres statistiques d'une épreuve de Bernoulli$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre

p \in] 0; 1 [

, qui prend la valeur

1

en cas de succès (avec probabilité

p

) et la valeur

0

en cas d'échec (avec probabilité

1 - p

Q1-Démontrer directement à partir de la définition que

E (X) = p

Q2-Justifier que la variable aléatoire

X^{2}

est identique à la variable aléatoire

X

, puis en déduire

E (X^{2})

Q3-En appliquant la formule de König-Huygens

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

, établir l'expression de la variance

V (X)

en fonction de

p

Q4-En déduire la formule de l'écart-type

σ (X)

et déterminer la valeur de

p

pour laquelle la variance est maximale.

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73. $Démonstration générale de la propriété d'absence de mémoire pour une loi géométrique$

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre

p \in] 0; 1 [

. Soient

a

b

deux entiers naturels non nuls quelconques.

Q1-Démontrer que pour tout entier naturel

k ⩾ 1

, on a

P (X > k) = (1 - p)^{k}

en détaillant la justification probabiliste.

Q2-Démontrer l'inclusion d'événements

(X > a + b) \subset (X > a)

et en déduire une expression simplifiée de l'intersection

(X > a) \cap (X > a + b)

Q3-En utilisant la définition de la probabilité conditionnelle

P_{X > a} (X > a + b)

, établir la relation

P_{X > a} (X > a + b) = P (X > b)

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74. $Synthèse de fiabilité d'un émetteur et durée de bon fonctionnement$

Une balise scientifique sous-marine effectue des cycles horaires autonomes d'émission. À chaque cycle horaire indépendant, un dysfonctionnement matériel survient avec une probabilité constante

p = 0, 02

. Dès qu'un dysfonctionnement se produit, un mécanisme de secours prend le relais et la balise cesse son cycle régulier. On note

H

la variable aléatoire désignant le nombre de cycles horaires exécutés jusqu'au premier dysfonctionnement inclus.

Q1-Justifier la modélisation de

H

par une loi géométrique et déterminer son espérance

E (H)

Q2-Calculer la probabilité que la balise fonctionne sans dysfonctionnement pendant au moins

50

cycles complets (c'est-à-dire

H > 50

), arrondie à

1 0^{- 4}

près.

Q3-Sachant que la balise a fonctionné sans encombre pendant les

100

premiers cycles, déterminer la probabilité qu'elle franchisse sans dysfonctionnement le

150

-ième cycle horaire.

Q4-Déterminer le plus petit nombre de cycles

m

pour lequel la probabilité qu'au moins un dysfonctionnement soit survenu soit strictement supérieure à

0, 95

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75. $Analyse comparée des espérances d'une loi uniforme et d'une loi géométrique$

On dispose d'une urne contenant

n

jetons indiscernables au toucher, numérotés de

1

n

, où

n

est un entier naturel tel que

n ⩾ 2

. On s'intéresse à deux variables aléatoires distinctes :
-

U

désigne le numéro du jeton obtenu lors d'un unique tirage au sort ;
-

G

désigne le nombre de tirages successifs avec remise nécessaires pour obtenir pour la première fois le jeton numéroté

1

Q1-Préciser la loi suivie par

U

et celle suivie par

G

en donnant leurs paramètres respectifs en fonction de

n

Q2-Exprimer les espérances mathématiques

E (U)

E (G)

en fonction de

n

Q3-Établir l'expression de la différence

E (G) - E (U)

en fonction de

n

, et déterminer son signe pour tout entier

n ⩾ 2

Q4-Expliquer pourquoi

E (G) > E (U)

pour tout

n ⩾ 2

, bien que les deux variables reposent sur un même mécanisme de tirage parmi

n

jetons équiprobables.

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76. $Attribution aléatoire d'un dossard pour une épreuve cycliste$

Une course cycliste régionale réunit

24

concurrents. Les dossards sont numérotés de

1

24

et sont attribués de manière équitable par tirage au sort. On note

X

la variable aléatoire désignant le numéro du dossard attribué à un cycliste donné.

Q1-Justifier que la variable aléatoire

X

suit une loi uniforme discrète et préciser l'ensemble de ses valeurs.

Q2-Déterminer la probabilité que le cycliste reçoive un dossard portant un numéro strictement inférieur à

7

Q3-Calculer la probabilité que le numéro

X

du dossard soit un multiple de

5

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77. $Espérance du numéro de case sur une piste de robotique$

Sur un banc d'essai expérimental, un petit robot mobile se déplace le long d'une piste graduée comportant

40

balises repérées par les entiers de

1

40

. À chaque essai, un programme arrête le robot sur une balise choisie de façon équiprobable. On note

Y

le numéro de la balise atteinte.

Q1-Préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire

Y

Q2-Calculer l'espérance mathématique

E (Y)

Q3-Interpréter concrètement la valeur de

E (Y)

obtenue pour un grand nombre d'arrêts.

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78. $Premier lancement réussi d'une fusée miniature$

Dans un club d'astromodélisme, un système d'allumage électronique déclenche la mise à feu avec une probabilité de succès

p = 0, 2

à chaque tentative. Les tentatives successives sont supposées indépendantes. On note

N

la variable aléatoire égale au nombre de tentatives nécessaires pour obtenir la première mise à feu réussie.

Q1-Justifier la loi de probabilité suivie par

N

et préciser la valeur de son paramètre

p

Q2-Calculer la probabilité

P (N = 3)

que la première mise à feu réussie ait lieu exactement à la troisième tentative.

Q3-Donner la valeur décimale exacte de

P (N = 3)

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79. $Nombre moyen de forages pour détecter une nappe phréatique$

Un bureau d'études géologiques réalise des forages exploratoires indépendants dans un secteur aride. Lors de chaque forage, la probabilité d'atteindre une poche d'eau exploitable est égale à

p = \frac{1}{12}

. On note

T

le nombre de forages réalisés jusqu'au premier succès inclus.

Q1-Indiquer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire

T

Q2-Calculer l'espérance mathématique

E (T)

Q3-Interpréter concrètement la valeur de

E (T)

obtenue pour l'équipe de géologues.

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80. $Identification de lois de probabilité dans trois protocoles d'inspection$

Dans une usine de flaconnage, un contrôle qualité étudie un défaut d'étanchéité qui affecte une proportion

p = 0, 04

de la production. On envisage trois protocoles d'échantillonnage indépendants :
- Protocole 1 : On prélève un unique flacon et on définit la variable

X_{1}

valant

1

si le flacon est défectueux, et

0

sinon.
- Protocole 2 : On prélève au hasard et successivement

50

flacons avec remise, et on note

X_{2}

le nombre total de flacons défectueux observés.
- Protocole 3 : On contrôle des flacons un par un jusqu'à rencontrer le premier flacon défectueux, et on note

X_{3}

le nombre de flacons contrôlés.

Q1-Pour chacun des trois protocoles, nommer la loi de probabilité suivie par

X_{1}

X_{2}

X_{3}

et préciser leurs paramètres.

Q2-Expliquer ce qui distingue fondamentalement les variables

X_{2}

X_{3}

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41.

42.Premier succès lors d'un contrôle automatique d'étanchéité

43.Espérance du nombre d'essais d'amorçage d'une sonde géologique

44.Identification de lois usuelles dans trois protocoles de télécommunication

45.Détermination de coefficients binomiaux par lecture du triangle de Pascal

46.Attribution aléatoire d'un créneau horaire de passage

47.Détection du premier défaut de fabrication sur un composant optique

48.Loi uniforme sur les diviseurs stricts d'un entier

49.Probabilité cumulée d'obtention d'un signal balise

50.Analyse du nombre d'essais pour franchir un portique automatique

51.Modélisation du temps de calibration d'un capteur environnemental

52.Confrontation entre position de roulette et durée d'attente d'une case

53.Chemins dans un arbre de Bernoulli à quatre niveaux

54.Détermination du taux d'efficacité d'un filtre antibruit

55.Décroissance des probabilités ponctuelles d'une loi géométrique

56.Gain algébrique issu d'une variable uniforme discrète

57.Probabilité d'encadrement pour une loi géométrique

58.Fréquence des tentatives de connexion à un serveur distant

59.Choix équiprobable d'un mot de passe dans une liste restreinte

60.Absence de mémoire lors d'un protocole de transmission radio

61.Preuve calculatoire de l'absence de mémoire sur un exemple numérique

62.Détermination logarithmique du nombre d'essais pour une détection garantie

63.Comparaison de trois modélisations discrètes lors d'un tirage en urne

64.Processus de contrôle borné à trois tentatives au maximum

65.Conditionnement et loi uniforme sur un ensemble de jetons

66.Absence de mémoire dans la prospection de gisements

67.Nombre de tickets à gratter pour obtenir un gain avec un seuil de confiance

68.Arbre de décision et arrêt anticipé lors d'un test de conformité

69.Démonstration rigoureuse de l'espérance de la loi uniforme discrète

70.Calcul direct et preuve de l'espérance binomiale pour deux épreuves

71.Calcul direct et preuve de l'espérance binomiale pour trois épreuves

72.Démonstration des paramètres statistiques d'une épreuve de Bernoulli

73.Démonstration générale de la propriété d'absence de mémoire pour une loi géométrique

74.Synthèse de fiabilité d'un émetteur et durée de bon fonctionnement

75.Analyse comparée des espérances d'une loi uniforme et d'une loi géométrique

76.Attribution aléatoire d'un dossard pour une épreuve cycliste

77.Espérance du numéro de case sur une piste de robotique

78.Premier lancement réussi d'une fusée miniature

79.Nombre moyen de forages pour détecter une nappe phréatique

80.Identification de lois de probabilité dans trois protocoles d'inspection

42. $Premier succès lors d'un contrôle automatique d'étanchéité$

43. $Espérance du nombre d'essais d'amorçage d'une sonde géologique$

44. $Identification de lois usuelles dans trois protocoles de télécommunication$

45. $Détermination de coefficients binomiaux par lecture du triangle de Pascal$

46. $Attribution aléatoire d'un créneau horaire de passage$

47. $Détection du premier défaut de fabrication sur un composant optique$

48. $Loi uniforme sur les diviseurs stricts d'un entier$

49. $Probabilité cumulée d'obtention d'un signal balise$

50. $Analyse du nombre d'essais pour franchir un portique automatique$

51. $Modélisation du temps de calibration d'un capteur environnemental$

52. $Confrontation entre position de roulette et durée d'attente d'une case$

53. $Chemins dans un arbre de Bernoulli à quatre niveaux$

54. $Détermination du taux d'efficacité d'un filtre antibruit$

55. $Décroissance des probabilités ponctuelles d'une loi géométrique$

56. $Gain algébrique issu d'une variable uniforme discrète$

57. $Probabilité d'encadrement pour une loi géométrique$

58. $Fréquence des tentatives de connexion à un serveur distant$

59. $Choix équiprobable d'un mot de passe dans une liste restreinte$

60. $Absence de mémoire lors d'un protocole de transmission radio$

61. $Preuve calculatoire de l'absence de mémoire sur un exemple numérique$

62. $Détermination logarithmique du nombre d'essais pour une détection garantie$

63. $Comparaison de trois modélisations discrètes lors d'un tirage en urne$

64. $Processus de contrôle borné à trois tentatives au maximum$

65. $Conditionnement et loi uniforme sur un ensemble de jetons$

66. $Absence de mémoire dans la prospection de gisements$

67. $Nombre de tickets à gratter pour obtenir un gain avec un seuil de confiance$

68. $Arbre de décision et arrêt anticipé lors d'un test de conformité$

69. $Démonstration rigoureuse de l'espérance de la loi uniforme discrète$

70. $Calcul direct et preuve de l'espérance binomiale pour deux épreuves$

71. $Calcul direct et preuve de l'espérance binomiale pour trois épreuves$

72. $Démonstration des paramètres statistiques d'une épreuve de Bernoulli$

73. $Démonstration générale de la propriété d'absence de mémoire pour une loi géométrique$

74. $Synthèse de fiabilité d'un émetteur et durée de bon fonctionnement$

75. $Analyse comparée des espérances d'une loi uniforme et d'une loi géométrique$

76. $Attribution aléatoire d'un dossard pour une épreuve cycliste$

77. $Espérance du numéro de case sur une piste de robotique$

78. $Premier lancement réussi d'une fusée miniature$

79. $Nombre moyen de forages pour détecter une nappe phréatique$

80. $Identification de lois de probabilité dans trois protocoles d'inspection$