Exercices de Lois discrètes, Terminale (page 3)

Un module de télécommunication sans fil se connecte automatiquement en sélectionnant au hasard un canal de fréquence parmi $30$ canaux disponibles, numérotés de $1$ à $30$. Le mécanisme de sélection garantit que tous les canaux sont équiprobables. Soit $C$ le numéro du canal sélectionné.

Un algorithme d'essai teste de manière indépendante des combinaisons numériques sur un terminal sécurisé. À chaque essai, la probabilité de valider le mot de passe est $p=\frac{1}{5}$. On note $K$ le nombre d'essais réalisés jusqu'à la première validation réussie.

On considère l'ensemble des diviseurs positifs de l'entier $36$. On tire au sort un diviseur de cet ensemble, chaque diviseur ayant la même probabilité d'être extrait. On note $D$ la variable aléatoire désignant la valeur du diviseur obtenu.

Un institut agronomique conduit des expériences de germination sur une variété végétale. Des godets individuels sont surveillés chaque matin. La probabilité qu'une graine germe un jour donné est $p=0,3$, de manière indépendante des jours précédents. Soit $X$ le rang du jour où l'on observe la première germination.

Un composant de sécurité électrique est testé par une succession de micro-décharges indépendantes. À chaque décharge, la probabilité que le composant disjoncte est constante et égale à $p=0,15$. On note $M$ le nombre de décharges appliquées jusqu'à la première disjonction.

Un véhicule autonome recherche un stationnement dans une rue commerçante. À chaque emplacement rencontré, la probabilité que la place soit libre est estimée à $p=0,12$. On suppose que l'état de chaque place est indépendant de celui des autres. Le véhicule examine les places successivement jusqu'à trouver une place libre. Soit $V$ le nombre total de places examinées.

Un jeu de société utilise une boîte contenant $10$ cartes identiques numérotées de $1$ à $10$. Deux règles distinctes sont étudiées :
- Règle A : On tire au hasard une carte de la boîte. Soit $U$ le numéro inscrit sur cette carte.
- Règle B : On tire des cartes successivement avec remise dans la boîte jusqu'à tirer la carte numéro $10$. Soit $G$ le nombre total de tirages effectués.

Un appareil de mesure automatique subit $3$ contrôles de calibration consécutifs et indépendants. À chaque contrôle, l'appareil réussit le test (succès $S$) ou échoue (échec $E$).

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p$, avec $0<p<1$. On sait que la probabilité d'obtenir le premier succès au deuxième essai vaut $\frac{3}{16}$, c'est-à-dire $P(X=2)=\frac{3}{16}$.

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p$, avec $0<p<1$.

Un jeu consiste à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. Soit $X$ le résultat obtenu. Une partie rapporte au joueur un gain algébrique en euros noté $G$, défini en fonction du numéro obtenu par la relation :$$G=3X-10$$

Un automate tente chaque seconde d'établir une liaison avec un serveur distant. Chaque tentative a une probabilité indépendante $p=0,4$ de réussir. Soit $T$ le nombre de tentatives nécessaires pour établir la première liaison.

Un groupe électrogène de secours est équipé d'un démarreur automatique qui envoie des impulsions indépendantes. À chaque impulsion, la probabilité de démarrage du moteur est constante et vaut $p=0,25$. Soit $N$ la variable aléatoire représentant le rang de l'impulsion à laquelle le moteur démarre.

Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p=\frac{1}{3}$.

Un radiotélescope scrute une région stellaire par séquences successives. À chaque passage d'observation, la probabilité de détecter le signal d'un objet céleste rare est $p=0,05$. On suppose les séquences d'observation mutuellement indépendantes. On note $X$ le nombre de séquences nécessaires pour obtenir la première détection.

Un bac de stockage contient $20$ circuits intégrés identiques en apparence, numérotés de $1$ à $20$. Parmi eux, $4$ circuits sont des modèles haute performance et $16$ sont des modèles standard.

Pour sécuriser l'accès à un service bancaire en ligne, un système d'authentification biométrique valide une empreinte avec une probabilité $p=0,7$ à chaque tentative. La procédure s'arrête dès que l'empreinte est reconnue. Pour éviter les attaques par force brute, le système bloque la session et s'arrête après un maximum de $3$ tentatives infructueuses. On note $K$ le nombre total de tentatives réalisées au cours de la session.

Une urne contient $50$ jetons indiscernables au toucher, numérotés de $1$ à $50$. On extrait au hasard un jeton de l'urne. Soit $X$ le numéro du jeton extrait. On définit les événements suivants :
- $A$ : « le numéro tiré est un multiple de $4$ » ;
- $B$ : « le numéro tiré est strictement supérieur à $30$ ».

Un laboratoire de chimie fine teste un protocole expérimental de cristallisation. Chaque essai a une probabilité indépendante $p=0,08$ d'aboutir à la formation du cristal recherché. On note $T$ le nombre d'essais nécessaires pour observer la première cristallisation réussie.

Un récepteur satellite attend un signal de synchronisation émis par une balise. À chaque milliseconde, la probabilité que le récepteur capte le signal est $p=0,10$. Les millisecondes successives constituent des épreuves indépendantes. Soit $H$ la variable aléatoire désignant le nombre de millisecondes écoulées jusqu'à la réception du premier signal.

Soit $n$ un entier naturel non nul fixé. On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme discrète sur l'ensemble $\{1,2,\dots ,n\}$.

Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(2,p)$, où $p\in ]0;1[$ désigne la probabilité de succès à chaque épreuve.

On considère une variable aléatoire $Z$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3,p)$, avec $p\in ]0;1[$. On note $q=1-p$ la probabilité d'échec.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p\in ]0;1[$. Les seules valeurs prises par $X$ sont $0$ et $1$, avec $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p\in ]0;1[$. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls quelconques.

Un système de télécommunication par satellite émet des trames de données à intervalles réguliers. En raison d'interférences atmosphériques, chaque tentative d'émission a une probabilité constante $p=0,16$ d'être reçue sans altération. Les tentatives successives sont supposées indépendantes. On note $N$ la variable aléatoire désignant le nombre de tentatives nécessaires pour que la première trame soit correctement transmise.

Soit $n$ un entier naturel tel que $n⩾2$. On dispose de $n$ jetons distincts numérotés de $1$ à $n$. On étudie deux variables aléatoires issues de cette situation :
- Expérience 1 : On tire au hasard un jeton. Soit $U$ le numéro du jeton obtenu.
- Expérience 2 : On tire des jetons successivement avec remise jusqu'à tirer le jeton numéro $1$ pour la première fois. Soit $T$ le nombre de tirages effectués.

Pour aller au travail, un employé hésite entre deux itinéraires. Les durées de trajet, en minutes, sont des variables aléatoires $R$ (par la rocade) et $C$ (par le centre-ville), dont les lois sont :$$\begin{array}{cccc}{r}_i& 18& 20& 22\\ P(R=r_i)& 0,25& 0,5& 0,25\end{array}\begin{array}{cccc}{c}_i& 12& 20& 28\\ P(C=c_i)& 0,25& 0,5& 0,25\end{array}$$1. Calculer $E(R)$ et $E(C)$.
2. Calculer $V(R)$, $V(C)$, puis $\sigma (R)$ et $\sigma (C)$ (valeurs exactes puis arrondis au dixième).
3. Dans quelle unité s'expriment $\sigma (R)$ et $\sigma (C)$ ? Interpréter ces valeurs pour l'employé.
4. L'employé a un rendez-vous qu'il ne doit pas manquer : quel itinéraire doit-il choisir ? Justifier.

Une association propose deux jeux. Dans chacun, le gain algébrique du joueur, en euros (mise déduite), est une variable aléatoire : $G_1$ pour le jeu 1 et $G_2$ pour le jeu 2.$$\begin{array}{ccc}{g}_i& -1& 1\\ P(G_1=g_i)& 0,5& 0,5\end{array}\begin{array}{ccc}{g}_i& -9& 1\\ P(G_2=g_i)& 0,1& 0,9\end{array}$$1. Calculer l'espérance de chacun des deux gains. Que constate-t-on ?
2. Calculer la variance puis l'écart-type de chacun des deux gains.
3. Le jeu 1 et le jeu 2 sont-ils équivalents pour un joueur ? Interpréter les écarts-types obtenus, avec leur unité.
4. Un joueur prudent préfère-t-il le jeu 1 ou le jeu 2 ? Un joueur qui aime le risque ? Justifier en une phrase chacune.

Le nombre mensuel $X$ de pannes d'un distributeur de boissons suit la loi :$$\begin{array}{cccccc}{x}_i& 0& 1& 2& 3& 4\\ P(X=x_i)& 0,1& 0,2& 0,4& 0,2& 0,1\end{array}$$1. Calculer $E(X)$, puis $V(X)$, puis $\sigma (X)$ (valeur exacte puis arrondi au centième).
2. Calculer la probabilité que le nombre de pannes d'un mois soit compris entre $E(X)-\sigma (X)$ et $E(X)+\sigma (X)$.
3. Interpréter ce résultat en termes de pannes mensuelles.
4. Un second distributeur a le même nombre moyen de pannes mensuelles, mais un écart-type ${\sigma }^{\prime }=1,5$. Lequel des deux appareils est le plus régulier ? Justifier.

Dans un atelier, le nombre $X$ de pièces défectueuses dans un lot suit la loi :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 0& 1& 2\\ P(X=x_i)& 0,5& 0,3& 0,2\end{array}$$Le coût de contrôle et de reprise d'un lot, en euros, est $C=15X+40$.

1. Calculer $E(X)$, $E(X^2)$ puis $V(X)$.
2. En déduire $E(C)$, $V(C)$ et $\sigma (C)$, sans déterminer la loi de $C$. On donnera $\sigma (C)$ à $10^{-2}$ près.
3. Vérifier ces résultats en établissant la loi de $C$ et en calculant directement $E(C)$ et $V(C)$.

La température $T$ relevée à midi, en degrés Celsius, dans une serre suit la loi :$$\begin{array}{cccc}{t}_i& 10& 14& 18\\ P(T=t_i)& 0,3& 0,4& 0,3\end{array}$$Un capteur américain affiche la température en degrés Fahrenheit, notée $F=1,8T+32$.

1. Calculer $E(T)$, $V(T)$ et $\sigma (T)$ (valeur exacte puis arrondi au centième).
2. En déduire $E(F)$, $V(F)$ et $\sigma (F)$ sans écrire la loi de $F$. On donnera $\sigma (F)$ à $10^{-2}$ près.
3. Le décalage de $32$ degrés modifie-t-il l'écart-type ? Et le facteur $1,8$ ? Justifier à l'aide des formules.

Un restaurateur réserve trois tables par soirée. On note $X$ le nombre de tables dont les clients ne se présentent pas, avec la loi :$$\begin{array}{cccc}{x}_i& 0& 1& 2\\ P(X=x_i)& 0,4& 0,35& 0,25\end{array}$$Chaque soirée, le bénéfice, en euros, est $B=50-12X$ (chaque table absente fait perdre $12$ €).

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
2. En déduire $E(B)$, $V(B)$ et $\sigma (B)$ sans écrire la loi de $B$. On donnera $\sigma (B)$ à $10^{-2}$ près.
3. Un élève affirme : « le coefficient de $X$ dans $B$ est $-12$, donc $V(B)=-144V(X)$ est négatif ». Expliquer pourquoi cette affirmation est fausse en s'appuyant sur la formule du cours.
4. Établir la loi de $B$ et retrouver $V(B)$ par le calcul direct.

Dans une fête foraine, un jeu de hasard fait gagner ou perdre de l'argent. On note $X$ le gain algébrique d'un joueur, en euros (mise déduite). La loi de $X$ est :$$\begin{array}{ccccc}{x}_i& -3& 1& 5& 12\\ P(X=x_i)& 0,4& 0,35& 0,2& 0,05\end{array}$$1. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter ce résultat.
2. Calculer $E(X^2)$.
3. En déduire la variance $V(X)$ par la formule de König-Huygens, puis l'écart-type $\sigma (X)$ à $10^{-2}$ près.

Un fabricant surveille deux capteurs. Pour le capteur 1, la probabilité de tomber en panne durant l'année est $p_1=0,06$. Pour le capteur 2, elle est $p_2=0,5$. Pour chaque capteur, on note $Y_i$ la variable indicatrice de la panne : $Y_i=1$ si le capteur $i$ tombe en panne durant l'année et $Y_i=0$ sinon.

1. Quelle est la loi suivie par $Y_1$ et par $Y_2$ ? Préciser leur paramètre.
2. En utilisant les résultats du cours sur la loi de Bernoulli, calculer $E(Y_1)$, $V(Y_1)$ et $\sigma (Y_1)$ (valeur exacte puis arrondi au centième).
3. Faire de même pour $Y_2$.
4. Quel capteur a l'issue la plus imprévisible, c'est-à-dire la variance la plus grande ? Commenter.