Exercices de Matrices en maths Terminale

1. $Partie 1$

Une étude prouve que chaque année depuis 2015 :
- 5 % des adhérents d'un parti A quittent ce parti pour adhérer au parti B.
- À l'inverse, 8 % des adhérents du parti B le quittent pour adhérer au parti A.
En 2015, le parti A comptait 40 000 adhérents et le parti B en comptait 70 000.

2. $Partie 2$

On précise certains éléments nouveaux de l'étude. Le flux des adhérents entre les parties est en effet un peu plus complexe.
- 5 % des adhérents du parti A quittent ce parti mais 4% seulement adhérent au parti B.
- À l'inverse, 8 % des adhérents du parti B le quittent mais 6% seulement adhérent au parti A.
Par ailleurs, des adhérents provenant d'autres parties se rajoutent aux parties A et B.
Le parti A comptabilise ainsi 1000 adhérents supplémentaires chaque année. Et le partie B en comptabilise 500.

En admettant que le nombre d'adhérents de chaque parti converge avec le temps vers un état stable, déterminer la répartition des adhérents dans un futur éloigné.

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3. $Partie 1$

Les quatre frères Dalton, Joe, Jack, William et Averell, sont considérés comme les brigands les plus dangereux de l'Amérique. Ils sont actuellement en prison mais les Dalton sont redoutables et s'évadent régulièrement. Le célèbre Lucky Luke, l'homme qui tire plus vite que son ombre, connait bien les frères Dalton. Il a modélisé la situation :
- Si les Dalton sont en prison, ils s'évadent le lendemain dans 40 % des cas,
- Si les Dalton sont en liberté, ils retournent en prison le lendemain dans 10 % des cas.
On note

a_{n}

la probabilité que les Dalton soient en liberté après

n

jours et

b_{n}

la probabilité qu'ils soient en prison après

n

jours.

Q1-Justifier que

a_{0} = 0

b_{0} = 1

et calculer

a_{1}

b_{1}

Q2-On note

L_{n}

, l'évènement « les Dalton sont en liberté après

n

jours ».
Résumer la situation à l'aide d'un arbre de probabilité allant des états du jour

n

(

L_{n}

\overline{L_{n}}

) à ceux du jour

n + 1

Q3-Démontrer que pour tout entier naturel

n

, on a :

a_{n + 1} = 0, 9 a_{n} + 0, 4 b_{n}

b_{n + 1} = 1 - a_{n + 1}

Q4-a) Écrire un programme Python dont la fonction P, d'argument

n

, renvoie

a_{n}

b_{n}

.
b) Calculer P(4) et donner une interprétation du résultat.
c) À long terme, que peut-on conjecturer quant aux chances de trouver les Dalton en liberté ? Expliquer.

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4. $Partie 2$

Pour tout entier naturel

n

, on pose :

U_{n} = (a_{n} b_{n})

Q1-a) Déterminer la matrice

M

telle que

U_{n + 1} = M U_{n}

.
b) Exprimer

U_{n}

en fonction de

n

et retrouver le résultat établi à la question 4b de la partie 1.

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5. $Modélisation$

Sous forme numérique, une image en noir et blanc est modélisée par une matrice composée d'un 0, pour un pixel noir ; et d'un 1, pour un pixel blanc.
Modéliser chacune des deux images ci-dessous à l'aide de matrices de taille 5 (

■

: pixel noir,

□

: pixel blanc).

Image 1 :

□ □ ■ □ □ □ □ ■ □ □ ■ ■ ■ ■ ■ □ □ ■ □ □ □ □ ■ □ □

Image 2 :

■ ■ ■ ■ ■ ■ □ □ □ ■ ■ □ □ □ ■ ■ □ □ □ ■ ■ ■ ■ ■ ■

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6. $Matrice de transposition$

On considère la matrice de transposition

T

définie par :

T = 0000110000010000010000010

Soit

M

une matrice carrée quelconque de taille 5 représentant une image en noir et blanc.

Q1-Quel effet la multiplication par

T

« à gauche »,

T M

, a-t-elle sur la matrice

M

? Justifier succinctement.

Q2-Même question avec la multiplication par

T

« à droite »,

M T

Q3-Même question en effectuant deux multiplications par

T

« à droite »

M T^{2}

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7. $Transformations d'images$

Dans cette question,

M

est la matrice qui modélise l'image ci-dessous (

■

: pixel noir,

□

: pixel blanc) :

□ □ ■ ■ ■ □ □ □ □ ■ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

Sans calcul et sans justification, représenter les images obtenues avec les multiplications suivantes :

Q1-

T^{2} M

Q2-

M T^{3}

Q3-

T^{2} M T^{3}

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D'après la question 2, multiplier

M

à gauche par

T

décale l'image d'une ligne vers le haut (la ligne du haut passe en bas), et multiplier

M

à droite par

T

la décale d'une colonne vers la droite (la colonne de droite passe à gauche). Dans l'image de départ, la lettre L occupe la colonne 1 sur les lignes 3 à 5, plus le pixel de la ligne 5 et de la colonne 2.

1.

T^{2} M = T (T M)

: deux multiplications à gauche par

T

décalent l'image de 2 lignes vers le haut. La lettre L occupe désormais les lignes 1 à 3 :

■ ■ ■ □ □ □ □ ■ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

M T^{3} = ((M T) T) T

: trois multiplications à droite par

T

décalent l'image de 3 colonnes vers la droite. La lettre L occupe désormais les colonnes 4 et 5 :

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ ■ ■ ■ □ □ □ □ ■

T^{2} M T^{3}

: on cumule les deux effets précédents, dans n'importe quel ordre puisque

(T^{2} M) T^{3} = T^{2} (M T^{3})

. L'image est décalée de 2 lignes vers le haut et de 3 colonnes vers la droite : la lettre L se retrouve en haut à droite :

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ ■ ■ ■ □ □ □ □ ■ □ □

Dans les trois cas, les lignes et les colonnes qui passent d'un bord de l'image à l'autre sont entièrement blanches : la lettre L est simplement déplacée, sans être coupée.

8. $Recherche de la transformation$

Comment peut-on transformer l'image de départ ci-dessous en l'image d'arrivée à l'aide de la matrice

T

? On note

M

la matrice qui modélise l'image de départ (

■

: pixel noir,

□

: pixel blanc).

Image de départ :

■ □ □ □ □ ■ ■ ■ □ □ ■ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

Image d'arrivée :

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ ■ □ □ □ □ ■ ■ ■ □ □ ■ □ □

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9. $Une autre matrice$

On considère la matrice de transposition

T^{'}

définie par :

T^{'} = 0100000100000100000110000

Q1-Prouver qu'effectuer quatre multiplications « à droite » par

T

revient à effectuer une unique multiplication « à droite » par

T^{'}

Q2-Quel effet la multiplication par

T^{'}

« à gauche »,

T^{'} M

, a-t-elle sur la matrice

M

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10. $Vocabulaire et coefficients d'une matrice$

On considère la matrice

M

définie par :

M = (42 - 1 5 0 - 3)

1. Préciser le format (ou la taille) de la matrice

M

. S'agit-il d'une matrice carrée, d'une matrice ligne ou d'une matrice colonne ?
2. Combien de coefficients cette matrice comporte-t-elle au total ?
3. Donner les valeurs respectives des coefficients

m_{1, 2}

m_{2, 1}

m_{2, 3}

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11. $Somme de matrices et multiplication par un réel$

On donne les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :

A = (31 - 2 4) et B = (- 1 0 52)

Calculer explicitement les matrices suivantes :
1.

A + B

3 A

2 A - 4 B

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12. $Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne$

On considère la matrice carrée

A

et la matrice colonne

X

définies par :

A = (52 - 3 1) et X = (4 - 2)

1. Justifier que le produit matriciel

A X

est bien défini et préciser son format.
2. Calculer les coefficients de la matrice colonne

A X

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13. $Produit de deux matrices carrées d'ordre 2$

On pose :

A = (2 - 1 13) et B = (45 - 2 0)

Calculer le produit matriciel

A \times B

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14. $Critère d'inversibilité d'une matrice d'ordre 2$

On considère les matrices suivantes :

M = (3275) et N = (6 - 4 - 9 6)

Déterminer si chacune des matrices

M

N

est inversible en calculant la quantité

a d - b c

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15. $Vérification d'un inverse par produit$

On considère les matrices :

A = (5221) et B = (1 - 2 - 2 5)

1. Calculer le produit matriciel

A \times B

.
2. En déduire que

A

est inversible et préciser sa matrice inverse

A^{- 1}

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16. $Résolution d'une équation matricielle simple$

On donne les matrices :

A = (16 - 4 2) et B = (5 - 2 28)

Déterminer la matrice carrée

X

d'ordre 2 vérifiant l'égalité :

2 X + A = B

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17. $Produit matrice et colonne en dimension 3$

On considère la matrice carrée

M

et le vecteur colonne

V

suivants :

M = 21 - 2 031 - 1 40 et V = 3 - 1 2

Calculer le produit matriciel

M V

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18. $Détermination de l'inverse par un système linéaire$

On considère la matrice

A = (2132)

.
On pose

B = (x z y t)

une matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels inconnus.
1. Exprimer les coefficients du produit

A B

en fonction de

x, y, z, t

.
2. Traduire l'égalité matricielle

A B = I_{2}

sous la forme de deux systèmes linéaires indépendants de deux équations à deux inconnues.
3. Résoudre ces systèmes et en déduire la matrice inverse

A^{- 1}

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19. $Puissance d'une matrice diagonale d'ordre 3$

On considère la matrice diagonale

D

définie par :

D = 300 0 - 1 0 002

1. Calculer les matrices

D^{2}

D^{3}

.
2. Conjecturer l'expression de la matrice

D^{n}

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

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20. $Écriture matricielle d'un système linéaire$

On considère le système linéaire de deux équations à deux inconnues suivant :

{4 x - 7 y = 5 3 x + 2 y = - 1

1. Écrire ce système sous la forme matricielle

A X = B

, en précisant explicitement les matrices

A

X

B

.
2. Vérifier par calcul matriciel direct que le produit

A X

redonne fidèlement les expressions du système.

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21. $Résolution matricielle d'un système linéaire$

On considère le système linéaire :

{3 x + 5 y = 11 2 x + 4 y = 8

1. Écrire ce système sous la forme matricielle

A X = B

.
2. Calculer le déterminant de la matrice

A

, en déduire qu'elle est inversible et donner l'expression de sa matrice inverse

A^{- 1}

.
3. Résoudre le système en calculant le produit matriciel

X = A^{- 1} B

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22. $Modélisation de suites couplées par une matrice$

Deux suites réelles

(u_{n})

(v_{n})

sont définies pour tout entier naturel

n

par les relations de récurrence couplées :

{u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 0, 2 v_{n} + 50 v_{n + 1} = 0, 3 u_{n} + 0, 8 v_{n} + 20

avec pour conditions initiales

u_{0} = 100

v_{0} = 300

.
Pour tout entier naturel

n

, on pose la matrice colonne

U_{n} = (u_{n} v_{n})

.
1. Déterminer une matrice carrée

A

et une matrice colonne

C

telles que, pour tout entier naturel

n

U_{n + 1} = A U_{n} + C

2. Préciser la matrice colonne initiale

U_{0}

.
3. Calculer les coefficients de la matrice colonne

U_{1}

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23. $Calcul itératif des termes d'une suite matricielle$

On considère la suite de matrices colonnes

(U_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par la relation de récurrence :

U_{n + 1} = A U_{n}

avec

A = (1023)

et le terme initial

U_{0} = (21)

.
Calculer successivement, par produit matriciel direct, les matrices colonnes

U_{1}

U_{2}

U_{3}

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24. $Transformation géométrique du plan par une matrice$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

(O; i, j)

, à tout point

M (x; y)

associé au vecteur colonne

X = (x y)

, on fait correspondre le point

M^{'} (x^{'}; y^{'})

associé au vecteur colonne

X^{'} = (x^{'} y^{'})

défini par

X^{'} = R X

, où :

R = (01 - 1 0)

1. Exprimer

x^{'}

y^{'}

en fonction de

x

y

. Reconnaître la nature géométrique de cette transformation.
2. Déterminer les coordonnées des images

A^{'}

B^{'}

des points

A (3; 1)

B (- 2; 4)

.
3. Calculer la matrice

R^{2}

et interpréter géométriquement la transformation associée.

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25. $Non-commutativité du produit matriciel$

On considère les matrices carrées d'ordre 2 suivantes :

A = (1324) et B = (0 - 1 12)

1. Calculer le produit matriciel

A \times B

.
2. Calculer le produit matriciel

B \times A

.
3. Que peut-on en conclure concernant la multiplication des matrices ?

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26. $Puissances d'une matrice diagonale d'ordre 2$

On donne la matrice diagonale :

D = (20 0 - 3)

1. Calculer explicitement

D^{2}

D^{3}

.
2. Donner l'expression générale de

D^{n}

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

.
3. En déduire les coefficients numériques des matrices

D^{4}

D^{5}

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27. $Résolution d'un problème concret par calcul matriciel$

Un complexe sportif propose deux formules d'accès : un pass adulte à

x

euros et un pass jeune à

y

euros.
Un premier groupe achète 2 pass adulte et 3 pass jeune pour un montant total de 85 euros.
Un second groupe achète 3 pass adulte et 2 pass jeune pour un montant total de 95 euros.
1. Modéliser cette situation par un système de deux équations à deux inconnues, puis sous forme matricielle

A X = B

.
2. Calculer l'inverse de la matrice

A

.
3. En déduire le prix d'un pass adulte et le prix d'un pass jeune.

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28. $Évolution couplée de populations et calcul d'un terme lointain$

On étudie l'évolution conjointe de deux populations d'insectes dans deux zones protégées A et B. À chaque période

n

, on note

a_{n}

l'effectif dans la zone A et

b_{n}

l'effectif dans la zone B, regroupés dans le vecteur colonne

U_{n} = (a_{n} b_{n})

.
La dynamique d'une période à la suivante est modélisée par

U_{n + 1} = A U_{n}

où :

A = (0, 8 0, 2 0, 1 0, 9)

À l'état initial,

U_{0} = (1000500)

.
1. Calculer explicitement les matrices

A^{2}

A^{3}

.
2. Justifier que pour tout entier naturel

n

U_{n} = A^{n} U_{0}

.
3. Calculer les effectifs des deux populations au bout de 3 périodes.

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29. $Recherche du point fixe d'une suite matricielle affine$

On s'intéresse à une suite de matrices colonnes

(U_{n})

vérifiant la relation de récurrence affine :

U_{n + 1} = A U_{n} + B

où

A = (0, 6 0, 1 0, 2 0, 7)

B = (3020)

.
1. Montrer que l'équation d'état stable

U = A U + B

équivaut à

(I_{2} - A) U = B

, où

I_{2}

est la matrice identité d'ordre 2.
2. Calculer la matrice

I_{2} - A

et justifier qu'elle est inversible.
3. Déterminer la matrice colonne constante

U = (x y)

vérifiant

U = A U + B

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30. $Résolution d'un système à trois inconnues sous forme matricielle$

On considère le système linéaire de trois équations à trois inconnues suivant :

⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 2 x - y + z = 3 x + 2 y - z = 2

On pose

A = 121 1 - 1 2 11 - 1

X = x y z

B = 632

.
On donne également la matrice

C = - 1 35 3 - 2 - 1 21 - 3

.
1. Écrire le système sous forme matricielle à l'aide de

A

X

B

.
2. Calculer le produit matriciel

A \times C

. En déduire que

A

est inversible et préciser l'expression de

A^{- 1}

en fonction de

C

.
3. Déterminer la solution unique du système par le calcul matriciel.

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31. $Puissance d'une matrice triangulaire par récurrence$

On considère la matrice carrée

A = (1021)

.
1. Calculer les matrices

A^{2}

A^{3}

.
2. Conjecturer une expression générale pour

A^{n}

, pour tout entier naturel

n ⩾ 1

.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence sur

n ⩾ 1

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32. $Composition de transformations géométriques du plan$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les transformations géométriques représentées par les matrices suivantes :
-

S = (10 0 - 1)

(réflexion par rapport à l'axe des abscisses) ;
-

R = (01 - 1 0)

(rotation de centre

O

et d'angle

\frac{π}{2}

).
1. Calculer la matrice

M_{1} = R \times S

correspondant à la réflexion

S

suivie de la rotation

R

.
2. Calculer la matrice

M_{2} = S \times R

correspondant à la rotation

R

suivie de la réflexion

S

.
3. Comparer

M_{1}

M_{2}

. Déterminer les coordonnées de l'image du point

P (2; 5)

par la transformation de matrice

M_{1}

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33. $Évolution d'un réseau de transport et convention colonne$

Un réseau de transport urbain relie deux pôles principaux, notés A et B. Chaque jour, 80 % des usagers partis de A y reviennent le lendemain et 20 % se dirigent vers B. Pour le pôle B, 15 % des usagers vont en A le lendemain et 85 % restent en B.
Pour tout entier naturel

n

, on note

a_{n}

b_{n}

les nombres respectifs d'usagers aux pôles A et B au jour

n

, et on pose le vecteur colonne

U_{n} = (a_{n} b_{n})

.
1. Déterminer la matrice carrée

M

telle que, pour tout entier naturel

n

U_{n + 1} = M U_{n}

.
2. Au jour initial

n = 0

, on compte 700 usagers en A et 300 en B. Calculer les effectifs

U_{1}

U_{2}

.
3. Rappeler pourquoi, dans le cadre de ce chapitre, la relation du terme général s'écrit obligatoirement

U_{n} = M^{n} U_{0}

et non

U_{0} M^{n}

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34. $Relation caractéristique d'une matrice et calcul de puissances$

On considère la matrice

A = (21 - 1 4)

.
1. Calculer la matrice

A^{2}

.
2. Déterminer deux réels

α

β

tels que

A^{2} = α A + β I_{2}

.
3. En déduire une expression de

A^{3}

sous la forme

a A + b I_{2}

, puis calculer les coefficients de

A^{3}

.
4. Montrer que

A

est inversible et exprimer

A^{- 1}

en fonction de

A

I_{2}

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35. $Étude complète de la convergence d'une suite matricielle affine$

On considère la suite de matrices colonnes

(U_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par la relation :

U_{n + 1} = A U_{n} + B

où

A = (0, 4 0, 2 0 0, 5)

B = (63)

U_{0} = (2010)

.
1. Déterminer la matrice colonne constante

U = (x y)

vérifiant l'égalité

U = A U + B

.
2. Pour tout entier naturel

n

, on pose

V_{n} = U_{n} - U

. Démontrer que pour tout

n \in N

V_{n + 1} = A V_{n}

.
3. En déduire que pour tout entier naturel

n

V_{n} = A^{n} V_{0}

.
4. On admet que

n \to + \infty lim A^{n} = (0000)

. En déduire la limite de la suite

(U_{n})

lorsque

n

tend vers

+ \infty

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36. $Puissance d'une matrice avec terme diagonal double$

On considère la matrice carrée

A = (3013)

.
1. Calculer les matrices

A^{2}

A^{3}

.
2. Conjecturer l'expression de la matrice

A^{n}

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

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37. $Relation polynomiale et inversion matricielle$

On considère la matrice

M = (1221)

.
1. Calculer la matrice

M^{2}

.
2. Vérifier que

M^{2} - 2 M - 3 I_{2} = 0

, où

0

désigne la matrice nulle d'ordre 2.
3. En déduire que

M

est inversible et exprimer

M^{- 1}

en fonction de

M

I_{2}

.
4. Déterminer les coefficients numériques de la matrice inverse

M^{- 1}

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38. $Équilibre d'un système de gestion de stocks$

Deux entrepôts logistiques, désignés par E1 et E2, gèrent un stock de conteneurs. Chaque semaine, les mouvements de conteneurs et les réapprovisionnements sont régis par la relation matricielle affine :

U_{n + 1} = A U_{n} + C

où

U_{n} = (x_{n} y_{n})

désigne les stocks respectifs dans E1 et E2 à la semaine

n

, avec :

A = (0, 70 0, 20 0, 10 0, 60) et C = (2015)

1. Démontrer que la matrice

I_{2} - A

est inversible et expliciter sa matrice inverse.
2. En déduire le stock d'équilibre

U = (x y)

vérifiant

U = A U + C

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39. $Démonstration du terme général d'une suite matricielle$

Soit

p \in {2; 3}

. On considère une matrice carrée

A

d'ordre

p

et une matrice colonne

U_{0}

p

lignes.
On définit la suite de matrices colonnes

(U_{n})

par la relation de récurrence

U_{n + 1} = A U_{n}

pour tout entier naturel

n

.
1. Rappeler la convention adoptée pour la puissance matricielle

A^{0}

.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

n

U_{n} = A^{n} U_{0}

.
3. Application : on donne

A = (2003)

U_{0} = (5 - 1)

. Déterminer l'expression des deux composantes de

U_{n}

en fonction de

n

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40. $Modélisation et résolution d'un problème de production$

Un artisan fabrique trois modèles d'objets décoratifs notés P1, P2 et P3. Chaque objet nécessite trois matières premières : du bois, du métal et du verre (en unités standardisées).
- Un objet P1 nécessite 1 unité de bois, 2 unités de métal et 1 unité de verre.
- Un objet P2 nécessite 2 unités de bois, 1 unité de métal et 1 unité de verre.
- Un objet P3 nécessite 1 unité de bois, 3 unités de métal et 1 unité de verre.
L'artisan dispose d'un stock de 14 unités de bois, 23 unités de métal et 11 unités de verre.
On note respectivement

x, y, z

le nombre d'objets P1, P2, P3 à produire pour utiliser exactement la totalité des stocks.
1. Écrire le système linéaire de trois équations à trois inconnues vérifié par

x, y, z

, puis le mettre sous la forme matricielle

A X = B

.
2. On donne la matrice

C = - 2 11 - 1 01 5 - 1 - 3

. Calculer le produit matriciel

A C

.
3. Justifier que

A

est inversible, donner

A^{- 1}

et déterminer le nombre d'objets de chaque type à fabriquer.

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1.Partie 1

2.Partie 2

3.Partie 1

4.Partie 2

5.Modélisation

6.Matrice de transposition

7.Transformations d'images

8.Recherche de la transformation

9.Une autre matrice

10.Vocabulaire et coefficients d'une matrice

11.Somme de matrices et multiplication par un réel

12.Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne

13.Produit de deux matrices carrées d'ordre 2

14.Critère d'inversibilité d'une matrice d'ordre 2

15.Vérification d'un inverse par produit

16.Résolution d'une équation matricielle simple

17.Produit matrice et colonne en dimension 3

18.Détermination de l'inverse par un système linéaire

19.Puissance d'une matrice diagonale d'ordre 3

20.Écriture matricielle d'un système linéaire

21.Résolution matricielle d'un système linéaire

22.Modélisation de suites couplées par une matrice

23.Calcul itératif des termes d'une suite matricielle

24.Transformation géométrique du plan par une matrice

25.Non-commutativité du produit matriciel

26.Puissances d'une matrice diagonale d'ordre 2

27.Résolution d'un problème concret par calcul matriciel

28.Évolution couplée de populations et calcul d'un terme lointain

29.Recherche du point fixe d'une suite matricielle affine

30.Résolution d'un système à trois inconnues sous forme matricielle

31.Puissance d'une matrice triangulaire par récurrence

32.Composition de transformations géométriques du plan

33.Évolution d'un réseau de transport et convention colonne

34.Relation caractéristique d'une matrice et calcul de puissances

35.Étude complète de la convergence d'une suite matricielle affine

36.Puissance d'une matrice avec terme diagonal double

37.Relation polynomiale et inversion matricielle

38.Équilibre d'un système de gestion de stocks

39.Démonstration du terme général d'une suite matricielle

40.Modélisation et résolution d'un problème de production

1. $Partie 1$

2. $Partie 2$

3. $Partie 1$

4. $Partie 2$

5. $Modélisation$

6. $Matrice de transposition$

7. $Transformations d'images$

8. $Recherche de la transformation$

9. $Une autre matrice$

10. $Vocabulaire et coefficients d'une matrice$

11. $Somme de matrices et multiplication par un réel$

12. $Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne$

13. $Produit de deux matrices carrées d'ordre 2$

14. $Critère d'inversibilité d'une matrice d'ordre 2$

15. $Vérification d'un inverse par produit$

16. $Résolution d'une équation matricielle simple$

17. $Produit matrice et colonne en dimension 3$

18. $Détermination de l'inverse par un système linéaire$

19. $Puissance d'une matrice diagonale d'ordre 3$

20. $Écriture matricielle d'un système linéaire$

21. $Résolution matricielle d'un système linéaire$

22. $Modélisation de suites couplées par une matrice$

23. $Calcul itératif des termes d'une suite matricielle$

24. $Transformation géométrique du plan par une matrice$

25. $Non-commutativité du produit matriciel$

26. $Puissances d'une matrice diagonale d'ordre 2$

27. $Résolution d'un problème concret par calcul matriciel$

28. $Évolution couplée de populations et calcul d'un terme lointain$

29. $Recherche du point fixe d'une suite matricielle affine$

30. $Résolution d'un système à trois inconnues sous forme matricielle$

31. $Puissance d'une matrice triangulaire par récurrence$

32. $Composition de transformations géométriques du plan$

33. $Évolution d'un réseau de transport et convention colonne$

34. $Relation caractéristique d'une matrice et calcul de puissances$

35. $Étude complète de la convergence d'une suite matricielle affine$

36. $Puissance d'une matrice avec terme diagonal double$

37. $Relation polynomiale et inversion matricielle$

38. $Équilibre d'un système de gestion de stocks$

39. $Démonstration du terme général d'une suite matricielle$

40. $Modélisation et résolution d'un problème de production$