Exercices de Matrices en maths Terminale (page 2)

41. $Démonstration de la non-inversibilité d'une matrice$

42. $Dynamique couplée d'une population à trois classes d'âge$

Une population d'oiseaux est subdivisée en trois classes d'âge : les jeunes (

j_{n}

), les adultes (

a_{n}

) et les seniors (

s_{n}

). D'une année

n

à l'année suivante, les effectifs vérifient :

⎩ ⎨ ⎧ j_{n + 1} = 0, 5 a_{n} + 0, 8 s_{n} a_{n + 1} = 0, 6 j_{n} s_{n + 1} = 0, 7 a_{n}

On note

U_{n} = j_{n} a_{n} s_{n}

le vecteur colonne des effectifs à l'année

n

.
1. Déterminer la matrice carrée

M

d'ordre 3 telle que

U_{n + 1} = M U_{n}

.
2. Calculer explicitement la matrice

M^{2}

.
3. À l'année initiale, les effectifs sont donnés par

U_{0} = 1006040

. Calculer les effectifs

U_{1}

U_{2}

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43. $Puissance d'une matrice triangulaire par décomposition$

On considère la matrice carrée

A = (2052)

.
1. Écrire

A

sous la forme

A = 2 I_{2} + N

, où

N

est une matrice carrée d'ordre 2 à préciser.
2. Calculer

N^{2}

. En déduire la valeur de

N^{k}

pour tout entier

k ⩾ 2

.
3. Vérifier que la matrice

2 I_{2}

et la matrice

N

commutent.
4. En déduire, en utilisant la formule du binôme de Newton ou par récurrence, l'expression générale de

A^{n}

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

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44. $Détermination matricielle de paramètres et étude de la suite associée$

On considère la matrice

A = (a b 1 0, 5)

où

a

b

sont deux réels à déterminer.
Partie A : Détermination des coefficients
On sait que

A (11) = (1, 4 0, 7)

.
1. Traduire cette condition par un système linéaire et déterminer les valeurs de

a

b

.
2. Calculer le déterminant de la matrice

A

ainsi obtenue. La matrice

A

est-elle inversible ?
Partie B : Étude d'une suite de matrices colonnes
On considère la suite

(U_{n})

définie par

U_{0} = (105)

et pour tout

n \in N

U_{n + 1} = A U_{n} + (21)

.
3. Calculer les matrices colonnes

U_{1}

U_{2}

.
4. En remarquant que la deuxième composante de

U_{n}

reste égale à la moitié de la première, établir une relation de récurrence scalaire sur la deuxième composante

y_{n}

et en déduire la limite de la suite

(U_{n})

lorsque

n

tend vers

+ \infty

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45. $Problème d'interpolation parabolique et résolution matricielle$

On cherche une fonction polynôme du second degré

P

définie sur

R

par

P (x) = a x^{2} + b x + c

, dont la courbe représentative dans un repère passe par les trois points

A (1; 2)

B (2; 7)

C (3; 14)

.
1. Écrire le système de trois équations à trois inconnues

a, b, c

traduisant ces conditions.
2. Écrire ce système sous la forme matricielle

M X = Y

, où

X = a b c

.
3. On admet que la matrice inverse de

M

est donnée par :

M^{- 1} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} 3 - 1 4 - 3 \frac{1}{2} - \frac{3}{2} 1

Vérifier par le calcul que la première ligne de

M^{- 1}

multipliée par chaque colonne de

M

donne bien

(100)

.
4. Déterminer les coefficients

a, b, c

par le calcul

X = M^{- 1} Y

et en déduire l'expression de

P (x)

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46. $Matrices lignes, colonnes et diagonales$

On considère les quatre matrices suivantes :

A = (07 - 4), B = (30 0 - 5), C = - 1 62, D = 100010001

1. Préciser le format (nombre de lignes et nombre de colonnes) de chacune de ces matrices.
2. Parmi ces quatre matrices, identifier :
a) la matrice ligne ;
b) la matrice colonne ;
c) la matrice carrée diagonale dont les coefficients diagonaux ne sont pas tous égaux ;
d) la matrice identité (ou unité).
3. Donner la valeur des coefficients

c_{2, 1}

de la matrice

C

b_{2, 2}

de la matrice

B

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1. On compte le nombre de lignes (horizontalement) et de colonnes (verticalement) :
- La matrice

A

est de format

1 \times 3

(1 ligne et 3 colonnes).
- La matrice

B

est de format

2 \times 2

(2 lignes et 2 colonnes).
- La matrice

C

est de format

3 \times 1

(3 lignes et 1 colonne).
- La matrice

D

est de format

3 \times 3

(3 lignes et 3 colonnes).

2. Identification des types de matrices :
a) La matrice ligne est

A

, car elle ne comporte qu'une seule ligne.
b) La matrice colonne est

C

, car elle ne comporte qu'une seule colonne.
c) La matrice

B

est une matrice carrée d'ordre 2 dont tous les termes hors diagonale principale sont nuls : c'est une matrice diagonale. Ses coefficients diagonaux ne sont pas égaux (

3 \neq = - 5

) : c'est la matrice cherchée (

D

, diagonale elle aussi, a ses coefficients diagonaux tous égaux à 1).
d) La matrice

D

est la matrice unité d'ordre 3, notée

I_{3}

, car ses coefficients diagonaux valent tous 1 et tous les autres valent 0.

3. Lecture des coefficients :
- Dans la matrice

C

, le coefficient

c_{2, 1}

se trouve à la 2e ligne et 1re colonne :

c_{2, 1} = 6

.
- Dans la matrice

B

, le coefficient

b_{2, 2}

se trouve à la 2e ligne et 2e colonne :

b_{2, 2} = - 5

47. $Combinaison linéaire de matrices rectangulaires$

On donne les deux matrices de même dimension suivantes :

M = (20 - 1 3 4 - 5) et N = (- 3 4 2 - 2 10)

1. Justifier que la matrice

P = 3 M - 2 N

est bien définie et préciser son format.
2. Calculer pas à pas la matrice

P

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48. $Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne$

On donne la matrice ligne

L

et la matrice colonne

C

définies par :

L = (4 - 2 3) et C = - 1 52

1. Expliquer pourquoi le produit matriciel

L \times C

est bien défini et préciser son format.
2. Calculer le résultat du produit

L \times C

.
3. Le produit

C \times L

est-il possible ? Si oui, donner son format sans le calculer.

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49. $Produit de deux matrices carrées triangulaires$

On considère les deux matrices triangulaires supérieures suivantes :

T_{1} = (2034) et T_{2} = (50 - 1 2)

1. Calculer le produit matriciel

T_{1} T_{2}

.
2. Vérifier que la matrice obtenue est encore triangulaire supérieure.
3. Que remarque-t-on concernant les coefficients diagonaux du produit

T_{1} T_{2}

par rapport à ceux de

T_{1}

T_{2}

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50. $Test d'inversibilité avec paramètre réel$

Soit

k

un nombre réel. On considère la matrice

M_{k}

d'ordre 2 définie par :

M_{k} = (k 2 6 k - 1)

1. Exprimer en fonction de

k

la quantité

Δ (k) = a d - b c

associée à cette matrice.
2. Déterminer les solutions de l'équation

Δ (k) = 0

.
3. En déduire l'ensemble des réels

k

pour lesquels la matrice

M_{k}

est inversible.

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51. $Vérification de l'inverse d'une matrice d'ordre 3$

On considère les deux matrices carrées d'ordre 3 suivantes :

A = 101010213 et B = 31 - 1 010 - 2 - 1 1

1. Calculer le produit matriciel

A B

.
2. En déduire que la matrice

A

est inversible et donner l'expression de son inverse

A^{- 1}

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52. $Calcul direct du carré et du cube d'une matrice$

On considère la matrice carrée d'ordre 2 :

J = (1011)

1. Calculer la matrice

J^{2} = J \times J

.
2. Calculer la matrice

J^{3} = J^{2} \times J

.
3. Formuler une conjecture sur l'expression générale de la matrice

J^{n}

pour tout entier

n ⩾ 1

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53. $Matrice symétrique et transposition$

Pour toute matrice carrée

M = (a c b d)

, on appelle transposée de

M

la matrice

M^{T} = (a b c d)

obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes. Une matrice est dite symétrique si

M = M^{T}

.
Soit la matrice

A = (32 - 4 1)

.
1. Écrire la matrice transposée

A^{T}

. La matrice

A

est-elle symétrique ?
2. Calculer la matrice

S = A + A^{T}

.
3. Justifier que la matrice

S

est symétrique.

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54. $Inverse d'une matrice par résolution de système$

On considère la matrice

M = (2153)

.
On cherche à déterminer une matrice carrée

B = (x z y t)

telle que

M B = I_{2}

.
1. Traduire l'égalité matricielle

M B = I_{2}

sous la forme de deux systèmes de deux équations à deux inconnues :
- l'un portant sur les inconnues

x

z

;
- l'autre portant sur les inconnues

y

t

.
2. Résoudre chacun de ces deux systèmes.
3. En déduire la matrice inverse

M^{- 1}

et vérifier le résultat en effectuant le produit

B M

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55. $Puissance d'une matrice diagonale et application numérique$

On considère la matrice diagonale suivante :

D = (20 0 \frac{1}{2})

1. Donner sans justification supplémentaire l'expression générale de la matrice

D^{n}

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

.
2. Calculer explicitement les coefficients de la matrice

D^{6}

.
3. Étudier la limite de chacun des coefficients de la matrice

D^{n}

lorsque

n

tend vers

+ \infty

. La suite de matrices

(D^{n})

admet-elle une limite finie ?

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56. $Traduction matricielle d'un problème d'achat$

Dans une papeterie, tous les classeurs coûtent le même prix

x

(en euros) et tous les paquets de feuilles coûtent le même prix

y

(en euros).
Paul achète 3 classeurs et 4 paquets de feuilles pour une somme de 29 euros.
Léa achète 5 classeurs et 2 paquets de feuilles pour une somme de 39 euros.
1. Traduire cette situation par un système de deux équations linéaires à deux inconnues

x

y

.
2. Écrire ce système sous la forme matricielle

A X = B

, en précisant les matrices

A

X

B

.
3. Calculer la matrice inverse

A^{- 1}

à l'aide de la formule du cours.
4. En déduire la solution

X = A^{- 1} B

et donner le prix d'un classeur et celui d'un paquet de feuilles.

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57. $Modélisation matricielle de deux suites d'abonnés$

Deux plateformes de streaming musical concurrentes, notées

S_{1}

S_{2}

, se partagent le marché d'une région.
Chaque mois :
-

85 %

des abonnés de

S_{1}

restent fidèles, tandis que

15 %

changent pour

S_{2}

;
-

90 %

des abonnés de

S_{2}

restent fidèles, tandis que

10 %

changent pour

S_{1}

.
On note

u_{n}

le nombre d'abonnés de

S_{1}

v_{n}

le nombre d'abonnés de

S_{2}

au bout de

n

mois (en milliers).
1. Exprimer

u_{n + 1}

v_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

v_{n}

.
2. En posant la matrice colonne

U_{n} = (u_{n} v_{n})

, déterminer la matrice

M

telle que

U_{n + 1} = M U_{n}

.
3. Au début de l'étude (

n = 0

S_{1}

compte 40 milliers d'abonnés et

S_{2}

en compte 60 milliers. Calculer

U_{1} = M U_{0}

et interpréter le résultat.

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58. $Calcul itératif des termes d'un système proies prédateurs simplifié$

On étudie deux populations d'un écosystème fermé : une population de proies (effectif

p_{n}

, en centaines) et une population de prédateurs (effectif

r_{n}

, en dizaines).
La dynamique est modélisée par la suite de matrices colonnes

U_{n} = (p_{n} r_{n})

vérifiant la relation de récurrence affine :

U_{n + 1} = A U_{n} + C, avec A = (0, 8 0, 2 - 0, 1 0, 9) et C = (50)

L'état initial est donné par

U_{0} = (5010)

.
1. Calculer explicitement les coordonnées de la matrice colonne

U_{1}

.
2. Calculer ensuite les coordonnées de la matrice colonne

U_{2}

.
3. Indiquer comment évolue chaque population entre l'état initial et la deuxième étape.

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59. $Réflexion axiale et coordonnées matricielles$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on associe à tout point

M (x, y)

la matrice colonne

X = (x y)

.
On considère la transformation géométrique dont l'action sur les coordonnées est représentée par la matrice :

S = (0110)

1. Pour tout point

M (x, y)

, déterminer les coordonnées

(x^{'}, y^{'})

du point image

M^{'}

défini par

X^{'} = S X

.
2. Déterminer les images des points

A (3, - 2)

B (0, 4)

par cette transformation.
3. Calculer la matrice

S^{2} = S \times S

.
4. Quelle propriété géométrique remarquable de la transformation cela met-il en évidence ?

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60. $Matrices qui commutent et matrices qui ne commutent pas$

On donne les trois matrices d'ordre 2 suivantes :

A = (1021), B = (2314), C = (3063)

1. Calculer les produits matriciels

A B

B A

. Que peut-on en déduire ?
2. Calculer ensuite les produits matriciels

A C

C A

.
3. Expliquer pourquoi les matrices

A

C

commutent sans surprise, en observant le lien arithmétique simple qui unit

A

C

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61. $Résolution d'une équation matricielle du premier degré$

On donne les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :

A = (14 - 5 2) et B = (3 - 2 16)

On cherche à déterminer la matrice carrée

X

d'ordre 2 satisfaisant l'équation matricielle :

3 X - 2 A = B + X

1. Exprimer la matrice

X

en fonction de

A

B

par manipulation algébrique.
2. Calculer explicitement les coefficients de la matrice

X

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62. $Matrice d'une homothétie et d'une rotation d'un quart de tour$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine

O

, on considère la transformation géométrique associée à la matrice :

R = (01 - 1 0)

1. Pour tout point

M (x, y)

, calculer les coordonnées

(x^{'}, y^{'})

du point image

M^{'}

défini par

(x^{'} y^{'}) = R (x y)

.
2. Calculer la matrice

R^{2} = R \times R

. Quelle transformation géométrique classique représente-t-elle ?
3. Calculer les matrices

R^{3}

R^{4}

. Interpréter géométriquement la relation

R^{4} = I_{2}

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63. $Formule de l'inverse d'une matrice d'ordre 2 et vérification$

On considère la matrice

M = (5273)

.
1. Calculer le nombre

a d - b c

associé à cette matrice. Que peut-on en déduire ?
2. Rappeler la formule donnant l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 inversible de la forme

(a c b d)

.
3. En déduire la matrice inverse

M^{- 1}

.
4. Vérifier l'exactitude du résultat en effectuant le produit matriciel

M \times M^{- 1}

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64. $Évolution à long terme de deux populations d'oiseaux$

Deux réserves naturelles voisines, notées

R_{1}

R_{2}

, abritent une population d'oiseaux migrateurs. Chaque année, une partie des oiseaux change de réserve.
On note

u_{n}

le nombre d'oiseaux dans la réserve

R_{1}

v_{n}

le nombre d'oiseaux dans la réserve

R_{2}

au bout de

n

années.
On pose

U_{n} = (u_{n} v_{n})

et on modélise l'évolution par la relation

U_{n + 1} = A U_{n}

, où :

A = (0, 7 0, 3 0, 2 0, 8) et U_{0} = (600400)

On admet que pour tout entier naturel

n

, la puissance

A^{n}

est donnée par la formule :

A^{n} = (0, 4 + 0, 6 \times 0, 5^{n} 0, 6 - 0, 6 \times 0, 5^{n} 0, 4 - 0, 4 \times 0, 5^{n} 0, 6 + 0, 4 \times 0, 5^{n})

1. Vérifier que la formule est conforme pour

n = 0

n = 1

.
2. En utilisant l'égalité

U_{n} = A^{n} U_{0}

, exprimer

u_{n}

v_{n}

en fonction de

n

.
3. Déterminer la limite de

u_{n}

et de

v_{n}

lorsque

n

tend vers

+ \infty

, et interpréter la répartition à long terme de la population d'oiseaux.

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65. $État d'équilibre d'un flux de véhicules entre deux stations$

Un service d'autopartage compte deux stations principales

S_{1}

S_{2}

. Le nombre de véhicules dans chaque station au jour

n

est représenté par la colonne

U_{n} = (x_{n} y_{n})

qui vérifie la récurrence affine :

U_{n + 1} = A U_{n} + B, avec A = (0, 6 0, 1 0, 2 0, 7) et B = (3020)

On recherche un état d'équilibre stationnaire, c'est-à-dire une matrice colonne constante

U = (x y)

telle que

U = A U + B

.
1. Montrer que l'équation

U = A U + B

équivaut à

(I_{2} - A) U = B

.
2. Déterminer la matrice

I_{2} - A

et justifier qu'elle est inversible.
3. Calculer la matrice inverse

(I_{2} - A)^{- 1}

.
4. En déduire la répartition d'équilibre

U

et interpréter le résultat pour les deux stations.

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66. $Résolution matricielle d'un système de production à trois facteurs$

Une entreprise fabrique trois types d'articles de sport

A_{1}, A_{2}, A_{3}

. La fabrication d'une unité de chaque article nécessite des passages dans trois ateliers (découpe, assemblage, conditionnement) dont les temps en heures sont donnés ci-dessous :
- Pour une unité de

A_{1}

: 1 h de découpe, 2 h d'assemblage, 1 h de conditionnement.
- Pour une unité de

A_{2}

: 1 h de découpe, 3 h d'assemblage, 2 h de conditionnement.
- Pour une unité de

A_{3}

: 2 h de découpe, 1 h d'assemblage, 1 h de conditionnement.
Une semaine donnée, les ateliers ont été occupés respectivement 80 h en découpe, 135 h en assemblage et 95 h en conditionnement.
On note

x, y, z

les quantités produites de

A_{1}, A_{2}, A_{3}

.
1. Traduire ces contraintes par un système de trois équations linéaires à trois inconnues.
2. Écrire ce système sous la forme matricielle

A X = B

.
3. On donne la matrice

C = 1 - 1 1 3 - 1 - 1 - 5 31

. Calculer le produit

A C

. En déduire l'inverse

A^{- 1}

.
4. Résoudre le système et conclure sur le nombre d'articles de chaque type produits.

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67. $Puissance d'une matrice triangulaire par récurrence$

On considère la matrice triangulaire supérieure :

A = (2012)

1. Calculer la matrice

A^{2}

.
2. Calculer la matrice

A^{3}

.
3. Conjecturer l'expression de la matrice

A^{n}

pour tout entier

n ⩾ 1

en fonction de

n

.
4. Démontrer cette conjecture par récurrence sur

n

pour tout

n ⩾ 1

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68. $Enchaînement d'une dilatation et d'une réflexion$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on étudie deux transformations géométriques :
- une dilatation horizontale de rapport 2, représentée par la matrice

D = (2001)

;
- une réflexion par rapport à l'axe des abscisses, représentée par la matrice

S = (10 0 - 1)

.
1. Soit un point

M (x, y)

. Déterminer les coordonnées de son image

M_{1}

par la dilatation, puis de l'image finale

M^{'}

M_{1}

par la réflexion.
2. En déduire la matrice

M = S D

représentant la transformation composée.
3. Calculer le produit

D S

et comparer au produit

S D

. Justifier géométriquement cette commutativité.
4. Déterminer les images des trois sommets du triangle

O A B

où

O (0, 0)

A (1, 2)

B (3, 0)

par la transformation composée.

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69. $Relation caractéristique du second degré pour une matrice d'ordre 2$

On considère la matrice carrée

M = (2134)

.
1. Calculer la matrice

M^{2}

.
2. Déterminer deux réels

a

b

tels que

M^{2} = a M + b I_{2}

.
3. En déduire que la matrice

M

est inversible et exprimer la matrice inverse

M^{- 1}

sous la forme d'une combinaison linéaire de

M

et de

I_{2}

.
4. En multipliant la relation caractéristique par

M

, exprimer la matrice

M^{3}

sous la forme

α M + β I_{2}

où

α

β

sont des réels à déterminer.

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70. $Étude complète d'une suite matricielle affine convergente$

On considère la suite de matrices colonnes

(U_{n})_{n \in N}

définie par son terme initial

U_{0} = (1040)

et pour tout entier naturel

n

par la relation :

U_{n + 1} = A U_{n} + C avec A = (0, 4 0 0, 2 0, 6) et C = (44)

1. Déterminer la matrice colonne constante

L = (x y)

telle que

L = A L + C

.
2. On définit pour tout entier naturel

n

la matrice colonne

V_{n} = U_{n} - L

.
Montrer que pour tout entier naturel

n

V_{n + 1} = A V_{n}

, puis en déduire que

V_{n} = A^{n} V_{0}

.
3. On admet que pour tout entier naturel

n

, la puissance de

A

tend vers la matrice nulle :

n \to + \infty lim A^{n} = (0000)

.
En déduire la limite de la suite

(U_{n})

lorsque

n

tend vers

+ \infty

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71. $Puissances d'une matrice égale à son carré$

On considère la matrice carrée d'ordre 2 :

P = (42 - 6 - 3)

1. Calculer la matrice

P^{2}

. Quelle propriété remarquable possède la matrice

P

?
2. En déduire la valeur de la matrice

P^{n}

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

.
3. On pose

M = I_{2} + 3 P

.
Calculer explicitement les matrices

M^{2}

M^{3}

sous la forme

I_{2} + k P

où

k

est un réel.
4. Conjecturer l'expression de

M^{n}

pour tout entier

n ⩾ 1

sous la forme

I_{2} + c_{n} P

, et justifier cette expression.

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72. $Réseau de communication et calcul de puissances de la matrice d'adjacence$

On considère un réseau symétrique à trois nœuds interconnectés dont la matrice d'adjacence est :

A = 011101110

1. Calculer la matrice

A^{2}

.
2. Vérifier que la matrice

A

satisfait la relation polynomiale

A^{2} = A + 2 I_{3}

.
3. En déduire que la matrice

A

est inversible et exprimer

A^{- 1}

en fonction de

A

et de

I_{3}

.
4. Donner explicitement tous les coefficients de la matrice inverse

A^{- 1}

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73. $Suite matricielle et diagonale avec récurrence guidée$

On considère la matrice

M = (32 - 1 0)

ainsi que les deux matrices :

P = (1112) et Q = (2 - 1 - 1 1)

1. Vérifier que

Q = P^{- 1}

en effectuant le produit

P Q

.
2. Calculer la matrice

D = P^{- 1} M P

et constater qu'elle est diagonale.
3. Donner l'expression de

D^{n}

pour tout entier naturel

n

.
4. En utilisant la relation

M = P D P^{- 1}

, justifier que pour tout entier

n ⩾ 1

, on a

M^{n} = P D^{n} P^{- 1}

, puis calculer explicitement les coefficients de

M^{n}

en fonction de

n

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74. $Modélisation de la répartition d'élèves entre deux salles$

Chaque jour, les élèves d'un club de lycée se répartissent entre deux salles, la salle

G_{1}

et la salle

G_{2}

.
On note

x_{n}

y_{n}

le nombre d'élèves présents dans

G_{1}

G_{2}

au jour

n

. Cette répartition est régie par la suite de matrices colonnes

U_{n} = (x_{n} y_{n})

vérifiant

U_{n + 1} = A U_{n}

où :

A = (0, 8 0, 2 0, 1 0, 9) et U_{0} = (100)

1. Calculer les matrices colonnes

U_{1}

U_{2}

.
2. On admet que pour tout entier naturel

n

, la puissance

A^{n}

est donnée par :

A^{n} = \frac{1}{3} (1 + 2 \times 0, 7^{n} 2 - 2 \times 0, 7^{n} 1 - 0, 7^{n} 2 + 0, 7^{n})

Vérifier cette formule pour

n = 1

.
3. En déduire les expressions de

x_{n}

y_{n}

en fonction de

n

.
4. Déterminer la limite de

x_{n}

y_{n}

lorsque

n \to + \infty

et vérifier que le nombre total d'élèves reste constant.

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75. $Démonstration rigoureuse de la formule du terme général d'une suite matricielle$

Soit

p \in {2, 3}

. On considère une matrice carrée

A

d'ordre

p

et une matrice colonne

U_{0}

de format

p \times 1

. On définit la suite de matrices colonnes

(U_{n})_{n \in N}

par la relation de récurrence :

U_{n + 1} = A U_{n} pour tout n \in N

1. Rappeler la convention adoptée pour la matrice

A^{0}

.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

n

, on a l'égalité :

U_{n} = A^{n} U_{0}

(Veiller à rédiger soigneusement l'initialisation et à expliciter la propriété opératoire du produit matriciel utilisée dans l'hérédité).
3. On suppose désormais que la matrice

A

est inversible.
Montrer que pour tout entier naturel

n

, le terme initial s'exprime en fonction de

U_{n}

par la relation :

U_{0} = (A^{- 1})^{n} U_{n}

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76. $Résolution autonome d'un problème d'équilibre de flux à trois carrefours$

On étudie le trafic routier sur un réseau urbain à sens unique comportant trois carrefours

C_{1}, C_{2}, C_{3}

. Les flux de véhicules par heure sur les trois tronçons reliant ces carrefours sont notés

x, y, z

.
La loi de conservation du trafic (le flux entrant égale le flux sortant à chaque carrefour) et les mesures de comptage aux entrées/sorties mènent aux conditions suivantes :
- Au carrefour

C_{1}

x - y = 60

- Au carrefour

C_{2}

y - z = - 30

- Sur l'ensemble du réseau, un capteur global enregistre :

x + y + z = 420

1. Écrire le système sous la forme matricielle

A X = B

avec

X = x y z

.
2. Démontrer que la matrice

A

est inversible en prouvant que l'équation

A X = 0

n'admet que la solution nulle.
3. Déterminer la matrice inverse

A^{- 1}

par la méthode de résolution du système général

A X = Y

.
4. En déduire les valeurs respectives des flux horaires

x, y

z

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77. $Caractérisation et démonstration de la non-inversibilité d'une matrice$

On considère la matrice carrée d'ordre 2 :

A = (3 - 2 - 6 4)

1. Calculer le déterminant

a d - b c

de cette matrice. Que permet-il de conjecturer sur l'inversibilité de

A

?
2. Pour tout vecteur colonne

X = (x y)

, on pose

Y = A X

avec

Y = (x^{'} y^{'})

.
Calculer

x^{'}

y^{'}

en fonction de

x

y

, puis montrer que pour tout vecteur

X

, on a la relation géométrique

2 x^{'} + 3 y^{'} = 0

.
3. En déduire qu'il n'existe aucun vecteur colonne

X

tel que

A X = (10)

.
4. Démontrer par l'absurde que la matrice

A

n'est pas inversible (on supposera l'existence d'une matrice

B

telle que

A B = I_{2}

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78. $Dynamique d'un écosystème à trois compartiments trophiques$

On étudie un modèle simplifié d'écosystème à trois compartiments trophiques : producteurs végétaux (

x_{n}

), herbivores (

y_{n}

) et carnivores (

z_{n}

).
L'évolution temporelle annuelle est décrite par la matrice colonne

U_{n} = x_{n} y_{n} z_{n}

vérifiant la relation

U_{n + 1} = A U_{n} + C

avec :

A = 0, 5 0, 2 0 0 0, 6 0, 1 00 0, 7 et C = 502020

1. Justifier la forme triangulaire inférieure de la matrice

A

au vu de la chaîne trophique.
2. Déterminer l'état stationnaire de l'écosystème, c'est-à-dire la matrice colonne

L = x y z

satisfaisant

L = A L + C

.
3. On pose

V_{n} = U_{n} - L

. Démontrer que pour tout entier naturel

n

V_{n} = A^{n} V_{0}

.
4. Sachant que les coefficients diagonaux de

A

sont tous strictement compris entre

- 1

et 1, on admet que

n \to + \infty lim A^{n} = 0

.
En déduire la limite de la population de chaque espèce à long terme.

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79. $Puissance d'une matrice triangulaire par décomposition et binôme de Newton$

On considère la matrice carrée d'ordre 3 :

A = 300230023

1. Déterminer la matrice

N

telle que

A = 3 I_{3} + N

.
2. Calculer les matrices

N^{2}

N^{3}

. Que peut-on affirmer sur la matrice

N^{k}

pour tout entier

k ⩾ 3

?
3. Justifier que les matrices

3 I_{3}

N

commutent.
4. En appliquant la formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent, démontrer l'expression explicite de la matrice

A^{n}

pour tout entier

n ⩾ 2

.
5. Vérifier la formule obtenue pour

n = 2

par un calcul direct de

A^{2}

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80. $Identification matricielle d'un modèle quadratique et suite récurrente$

On cherche les coefficients réels

a, b, c

d'une fonction polynôme du second degré

f (x) = a x^{2} + b x + c

dont la courbe représentative passe par les trois points

A (1, 2)

B (2, 5)

C (3, 10)

.
1. Écrire le système de trois équations linéaires vérifié par

(a, b, c)

et le traduire sous la forme matricielle

M X = Y

avec

X = a b c

.
2. On admet que la matrice

M

est inversible et que son inverse est :

M^{- 1} = \frac{1}{2} 1 - 5 6 - 2 8 - 6 1 - 3 2

Calculer le produit

X = M^{- 1} Y

et en déduire les valeurs des réels

a, b, c

.
3. Dans une seconde étape, on utilise les valeurs trouvées pour construire la matrice carrée

K = (a c b a)

.
On considère la suite de matrices colonnes

(U_{n})

définie par

U_{0} = (11)

U_{n + 1} = K U_{n}

.
Conjecturer puis démontrer par récurrence l'expression de

U_{n}

en fonction de

n

pour tout

n \in N

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41.Démonstration de la non-inversibilité d'une matrice

42.Dynamique couplée d'une population à trois classes d'âge

43.Puissance d'une matrice triangulaire par décomposition

44.Détermination matricielle de paramètres et étude de la suite associée

45.Problème d'interpolation parabolique et résolution matricielle

46.Matrices lignes, colonnes et diagonales

47.Combinaison linéaire de matrices rectangulaires

48.Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne

49.Produit de deux matrices carrées triangulaires

50.Test d'inversibilité avec paramètre réel

51.Vérification de l'inverse d'une matrice d'ordre 3

52.Calcul direct du carré et du cube d'une matrice

53.Matrice symétrique et transposition

54.Inverse d'une matrice par résolution de système

55.Puissance d'une matrice diagonale et application numérique

56.Traduction matricielle d'un problème d'achat

57.Modélisation matricielle de deux suites d'abonnés

58.Calcul itératif des termes d'un système proies prédateurs simplifié

59.Réflexion axiale et coordonnées matricielles

60.Matrices qui commutent et matrices qui ne commutent pas

61.Résolution d'une équation matricielle du premier degré

62.Matrice d'une homothétie et d'une rotation d'un quart de tour

63.Formule de l'inverse d'une matrice d'ordre 2 et vérification

64.Évolution à long terme de deux populations d'oiseaux

65.État d'équilibre d'un flux de véhicules entre deux stations

66.Résolution matricielle d'un système de production à trois facteurs

67.Puissance d'une matrice triangulaire par récurrence

68.Enchaînement d'une dilatation et d'une réflexion

69.Relation caractéristique du second degré pour une matrice d'ordre 2

70.Étude complète d'une suite matricielle affine convergente

71.Puissances d'une matrice égale à son carré

72.Réseau de communication et calcul de puissances de la matrice d'adjacence

73.Suite matricielle et diagonale avec récurrence guidée

74.Modélisation de la répartition d'élèves entre deux salles

75.Démonstration rigoureuse de la formule du terme général d'une suite matricielle

76.Résolution autonome d'un problème d'équilibre de flux à trois carrefours

77.Caractérisation et démonstration de la non-inversibilité d'une matrice

78.Dynamique d'un écosystème à trois compartiments trophiques

79.Puissance d'une matrice triangulaire par décomposition et binôme de Newton

80.Identification matricielle d'un modèle quadratique et suite récurrente

41. $Démonstration de la non-inversibilité d'une matrice$

42. $Dynamique couplée d'une population à trois classes d'âge$

43. $Puissance d'une matrice triangulaire par décomposition$

44. $Détermination matricielle de paramètres et étude de la suite associée$

45. $Problème d'interpolation parabolique et résolution matricielle$

46. $Matrices lignes, colonnes et diagonales$

47. $Combinaison linéaire de matrices rectangulaires$

48. $Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne$

49. $Produit de deux matrices carrées triangulaires$

50. $Test d'inversibilité avec paramètre réel$

51. $Vérification de l'inverse d'une matrice d'ordre 3$

52. $Calcul direct du carré et du cube d'une matrice$

53. $Matrice symétrique et transposition$

54. $Inverse d'une matrice par résolution de système$

55. $Puissance d'une matrice diagonale et application numérique$

56. $Traduction matricielle d'un problème d'achat$

57. $Modélisation matricielle de deux suites d'abonnés$

58. $Calcul itératif des termes d'un système proies prédateurs simplifié$

59. $Réflexion axiale et coordonnées matricielles$

60. $Matrices qui commutent et matrices qui ne commutent pas$

61. $Résolution d'une équation matricielle du premier degré$

62. $Matrice d'une homothétie et d'une rotation d'un quart de tour$

63. $Formule de l'inverse d'une matrice d'ordre 2 et vérification$

64. $Évolution à long terme de deux populations d'oiseaux$

65. $État d'équilibre d'un flux de véhicules entre deux stations$

66. $Résolution matricielle d'un système de production à trois facteurs$

67. $Puissance d'une matrice triangulaire par récurrence$

68. $Enchaînement d'une dilatation et d'une réflexion$

69. $Relation caractéristique du second degré pour une matrice d'ordre 2$

70. $Étude complète d'une suite matricielle affine convergente$

71. $Puissances d'une matrice égale à son carré$

72. $Réseau de communication et calcul de puissances de la matrice d'adjacence$

73. $Suite matricielle et diagonale avec récurrence guidée$

74. $Modélisation de la répartition d'élèves entre deux salles$

75. $Démonstration rigoureuse de la formule du terme général d'une suite matricielle$

76. $Résolution autonome d'un problème d'équilibre de flux à trois carrefours$

77. $Caractérisation et démonstration de la non-inversibilité d'une matrice$

78. $Dynamique d'un écosystème à trois compartiments trophiques$

79. $Puissance d'une matrice triangulaire par décomposition et binôme de Newton$

80. $Identification matricielle d'un modèle quadratique et suite récurrente$