Exercices de Matrices, Terminale (page 3)

On donne les deux matrices suivantes :$$M=\left(\begin{array}{cccc}4& -1& 0& 5\\ 2& 7& -3& 8\end{array}\right)\text{et}C=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 1\end{array}\right)$$1. Donner le format (nombre de lignes et nombre de colonnes) de chacune des matrices $M$ et $C$.
2. Préciser la nature particulière de la matrice $C$ (matrice ligne, matrice colonne ou matrice carrée).
3. Déterminer la valeur des coefficients $m_{1,4}$, $m_{2,2}$ et $m_{2,3}$ de la matrice $M$, ainsi que le coefficient $c_{3,1}$ de la matrice $C$.
4. Le coefficient $m_{4,1}$ est-il défini pour la matrice $M$ ? Justifier la réponse.

On considère les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :$$A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 1& 4\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ 0& -1\end{array}\right)$$1. Calculer la matrice $2A$.
2. Calculer la matrice $3B$.
3. En déduire la matrice $C=2A-3B$.

On donne la matrice carrée $M$ d'ordre 3 et la matrice colonne $X$ suivantes :$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& -2\\ 5& 1& 0\end{array}\right)\text{et}X=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 4\end{array}\right)$$1. Justifier que le produit $M\times X$ est bien défini et préciser son format.
2. Calculer pas à pas la matrice colonne $M\times X$.

On considère les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :$$P=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 5\end{array}\right)\text{et}Q=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\end{array}\right)$$Calculer le produit matriciel $P\times Q$ en détaillant le calcul de chacun des quatre coefficients.

Pour tout nombre réel $k$, on définit la matrice carrée d'ordre 2 :$$A_k=\left(\begin{array}{cc}k& 6\\ 2& k-1\end{array}\right)$$1. Rappeler la condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients pour qu'une matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ soit inversible.
2. Exprimer en fonction de $k$ la quantité $ad-bc$ associée à la matrice $A_k$.
3. Déterminer les valeurs du réel $k$ pour lesquelles la matrice $A_k$ n'est pas inversible.

On donne les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :$$A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 1\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 7\end{array}\right)$$1. Rappeler la définition de la matrice inverse d'une matrice carrée $A$ d'ordre 2.
2. Calculer le produit matriciel $A\times B$.
3. Calculer le produit matriciel $B\times A$.
4. Que peut-on en conclure concernant la matrice $A$ et la matrice $B$ ?

On considère la matrice :$$M=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$$On cherche à déterminer une matrice $B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ à coefficients réels telle que $M\times B=I_2$, où $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.
1. Exprimer le produit matriciel $M\times B$ en fonction de $x,y,z,t$.
2. Traduire l'égalité $M\times B=I_2$ sous la forme de deux systèmes linéaires indépendants de deux équations à deux inconnues.
3. Résoudre ces deux systèmes et en déduire la matrice inverse $M^{-1}$.

On considère la matrice diagonale suivante :$$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$1. Calculer les matrices $D^2$ et $D^3$.
2. Conjecturer l'expression générale de la matrice $D^n$ pour tout entier naturel $n⩾1$.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence sur $n$.
4. En déduire l'écriture explicite de la matrice $D^5$.

Un festival de musique propose deux formules d'entrée : un pass journée au prix unitaire de $x$ euros et un pass week-end au prix unitaire de $y$ euros.
- Un premier groupe d'amis commande 4 pass journée et 3 pass week-end pour un montant total de 310 euros.
- Une association locale commande quant à elle 7 pass journée et 5 pass week-end pour un montant total de 530 euros.
1. Traduire cette situation par un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$.
2. Écrire ce système sous la forme matricielle $AX=B$, en précisant explicitement les matrices $A$, $X$ et $B$.
3. Calculer la quantité $ad-bc$ associée à la matrice $A$. En déduire que le système admet un unique couple solution sans le résoudre.

On considère le système linéaire suivant :$$\{\begin{array}{l}5x+2y=11\\ 3x+y=7\end{array}$$1. Écrire ce système sous la forme matricielle $AX=B$.
2. Démontrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer sa matrice inverse $A^{-1}$ à l'aide de la formule du cours.
3. Résoudre le système en calculant le produit matriciel $X=A^{-1}B$.
4. Vérifier les valeurs trouvées dans le système initial.

Deux réservoirs $R_1$ et $R_2$ contiennent de l'eau. Chaque jour, un système de pompage transfère une fraction du volume d'eau :
- Le réservoir $R_1$ conserve 75 % de son eau de la veille et reçoit 10 % de l'eau présente dans le réservoir $R_2$.
- Le réservoir $R_2$ conserve 90 % de son eau de la veille et reçoit 25 % de l'eau présente dans le réservoir $R_1$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ et $v_n$ les volumes d'eau respectifs (en mètres cubes) dans $R_1$ et $R_2$ au jour $n$.
On pose la matrice colonne $U_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$.
1. Écrire le système exprimant $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.
2. Déterminer une matrice carrée $A$ d'ordre 2 telle que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_{n+1}=A{U}_n$.
3. Calculer la somme des coefficients de chaque colonne de la matrice $A$. Quelle propriété physique du système d'eau ce résultat traduit-il ?

On considère la suite de matrices colonnes $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par son terme initial $U_0=\left(\begin{array}{c}10\\ 20\end{array}\right)$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation de récurrence :$$U_{n+1}=A{U}_n+B$$avec :$$A=\left(\begin{array}{cc}0,6& 0,2\\ 0,1& 0,7\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$$1. Calculer le produit matriciel $A{U}_0$.
2. En déduire la matrice colonne $U_1$.
3. Calculer la matrice colonne $U_2$ en détaillant chaque étape du calcul.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, à tout point $M(x;y)$ on associe le point $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ défini par la relation matricielle :$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{avec}T=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$1. Déterminer les coordonnées des images respectives $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $C^{\prime }$ des points $A(2;1)$, $B(-3;4)$ et $C(0;-5)$.
2. Exprimer les coordonnées $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ en fonction de $x$ et $y$.
3. Calculer la matrice $T^2=T\times T$.
4. En déduire la nature géométrique de la transformation du plan associée à la matrice $T^2$, puis, à l'aide de la question 2, celle associée à la matrice $T$.

On donne les matrices carrées d'ordre 2 :$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$1. Calculer le produit matriciel $A\times B$.
2. Calculer le produit matriciel $B\times A$.
3. Comparer les résultats obtenus. Que peut-on en déduire concernant la multiplication des matrices carrées ?
4. On considère la matrice scalaire $S=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$. Calculer $A\times S$ et $S\times A$. Commenter ce cas particulier.

Deux entreprises de télécommunications $E_1$ et $E_2$ se partagent le marché d'une région. Chaque année :
- L'entreprise $E_1$ conserve 80 % de ses clients et en perd 20 % au profit de $E_2$.
- L'entreprise $E_2$ conserve 70 % de ses clients et en perd 30 % au profit de $E_1$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ le nombre de clients (en milliers) des entreprises $E_1$ et $E_2$ au terme de l'année $n$.
À l'année initiale ($n=0$), $a_0=100$ et $b_0=50$.
On pose la matrice colonne $U_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$.
1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=M{U}_n$ où $M=\left(\begin{array}{cc}0,8& 0,3\\ 0,2& 0,7\end{array}\right)$.
2. Exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
3. À l'aide de la calculatrice, on a obtenu :$$M^4=\left(\begin{array}{cc}0,625& 0,5625\\ 0,375& 0,4375\end{array}\right)$$Calculer les valeurs exactes de $a_4$ et $b_4$, puis arrondir au millier de clients le plus proche.
4. Quel est le nombre total de clients dans la région au bout de 4 ans ? Interpréter ce résultat à la lumière de la matrice $M$.

On considère la suite de matrices colonnes $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par son terme initial $U_0=\left(\begin{array}{c}80\\ 40\end{array}\right)$ et pour tout entier naturel $n$ par :$$U_{n+1}=A{U}_n+B\text{avec}A=\left(\begin{array}{cc}0,5& 0,2\\ 0,1& 0,6\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{c}14\\ 8\end{array}\right)$$On recherche une matrice colonne constante $U=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ telle que $U=AU+B$, appelée état d'équilibre du système.
1. Démontrer que l'égalité $U=AU+B$ équivaut à $(I_2-A)U=B$.
2. Déterminer la matrice $I_2-A$.
3. Démontrer que la matrice $I_2-A$ est inversible et calculer son inverse $(I_2-A{)}^{-1}$.
4. En déduire la matrice colonne d'équilibre $U$.

Une fonderie industrielle fabrique trois types d'alliages métalliques notés $T_1$, $T_2$ et $T_3$, composés de cuivre, de zinc et d'étain.
Les pourcentages massiques de chaque métal sont donnés par le tableau suivant :
- Alliage $T_1$ : 50 % de cuivre, 30 % de zinc, 20 % d'étain.
- Alliage $T_2$ : 40 % de cuivre, 40 % de zinc, 20 % d'étain.
- Alliage $T_3$ : 60 % de cuivre, 10 % de zinc, 30 % d'étain.
Une commande impose d'utiliser au total 43 kg de cuivre, 27 kg de zinc et 20 kg d'étain.
On note $x,y,z$ les masses respectives (en kg) des alliages $T_1,T_2,T_3$ à produire.
1. Traduire les contraintes par un système linéaire de trois équations à trois inconnues.
2. Écrire ce système sous la forme matricielle $AX=B$, avec $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.
3. On admet que la matrice $A$ est inversible et que sa matrice inverse est :$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}10& 0& -20\\ -7& 3& 13\\ -2& -2& 8\end{array}\right)$$Vérifier par le calcul le coefficient de la première ligne et première colonne du produit $A^{-1}\times A$.
4. Résoudre le système par le calcul matriciel et déterminer la masse de chaque alliage à fabriquer.

On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$$1. Calculer les matrices $A^2$ et $A^3$.
2. Émettre une conjecture sur l'expression de la matrice $A^n$ pour tout entier naturel $n⩾1$.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence sur $n$.
4. En déduire la matrice $A^{25}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
On considère les deux transformations géométriques du plan suivantes :
- $s$ est la réflexion par rapport à l'axe des abscisses, dont la matrice associée est $S=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.
- $h$ est une dilatation horizontale de rapport 3, dont la matrice associée est $H=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.
On note $f=s\circ h$ la transformation obtenue en appliquant d'abord $h$, puis $s$.
1. Déterminer la matrice $M_f$ associée à la transformation composée $f$. Préciser l'ordre dans lequel on effectue le produit des matrices $S$ et $H$.
2. Déterminer la matrice $M_g$ associée à la transformation $g=h\circ s$. Comparer $M_f$ et $M_g$.
3. On considère le point $P(2;-3)$. Calculer les coordonnées de son image $P^{\prime }=f(P)$.
4. Démontrer que la matrice $M_f$ est inversible et déterminer la matrice associée à la transformation réciproque $f^{-1}$.

On étudie l'évolution conjointe de deux populations d'insectes dans une serre : des pucerons ($x_n$) et des coccinelles ($y_n$), où $n$ désigne le nombre de semaines écoulées.
Le modèle biologique se traduit par le système suivant :$$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=1,2x_n-0,4y_n\\ y_{n+1}=0,1x_n+0,7y_n\end{array}$$Au début de l'étude ($n=0$), la serre compte 200 pucerons et 50 coccinelles.
On pose la matrice colonne $X_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$.
1. Écrire la relation de récurrence sous la forme matricielle $X_{n+1}=A{X}_n$ et préciser la matrice carrée $A$.
2. Pourquoi écrit-on $X_{n+1}=A{X}_n$ et non $X_{n+1}=X_{n}A$ ? Justifier en termes de formats des matrices.
3. Exprimer $X_n$ en fonction de $A^n$ et $X_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. On admet que pour la matrice $X_0=\left(\begin{array}{c}200\\ 50\end{array}\right)$, on a pour tout entier naturel $n$ :$$A{X}_0=1,1X_0$$En déduire une expression explicite de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$, puis déterminer la taille des deux populations après 3 semaines.

On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$$1. Calculer la matrice $A^2$.
2. Déterminer deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :$$A^2=\alpha A+\beta I_2\text{ouˋ}{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$3. En multipliant l'égalité par la matrice $A$, exprimer $A^3$ sous la forme d'une combinaison linéaire de $A$ et de $I_2$.
4. Déduire de la relation $A^2=\alpha A+\beta I_2$ que la matrice $A$ est inversible et exprimer son inverse $A^{-1}$ sous la forme d'une combinaison linéaire de $A$ et $I_2$. Calculer les coefficients de $A^{-1}$.

On considère la suite de matrices colonnes $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par son terme initial $U_0=\left(\begin{array}{c}100\\ 20\end{array}\right)$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation :$$U_{n+1}=A{U}_n+B\text{avec}A=\left(\begin{array}{cc}0,4& 0,2\\ 0,1& 0,3\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{c}6\\ 19\end{array}\right)$$1. Déterminer la matrice colonne constante $L=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ vérifiant $L=AL+B$.
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n=U_n-L$.
Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $V_{n+1}=A{V}_n$, puis en déduire l'expression de $V_n$ en fonction de $A^n$ et de $V_0$.
3. On admet que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}^n=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.
Déterminer la limite de la suite de matrices colonnes $(V_n)$, puis en déduire celle de la suite $(U_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Soit $p$ un entier naturel non nul ($p⩾2$). On considère une matrice carrée $A$ d'ordre $p$ et une matrice colonne $U_0$ à $p$ lignes.
On définit la suite de matrices colonnes $(U_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par la relation de récurrence :$$\forall n\in \mathbb{N},U_{n+1}=A{U}_n$$On rappelle que par convention, pour toute matrice carrée $A$, $A^0=I_p$ où $I_p$ est la matrice identité d'ordre $p$.
1. Préciser le format des matrices $A$, $U_n$ et $A^n$.
2. Démontrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n\in \mathbb{N}$ :$$U_n=A^n{U}_0$$(veiller à soigner la rédaction de l'initialisation et de l'hérédité en invoquant l'associativité de la multiplication matricielle).
3. Application : soit $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ et $U_0=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)$. Déterminer l'expression explicite de la matrice colonne $U_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Une unité de production industrielle fabrique trois produits finis notés $P_1$, $P_2$ et $P_3$ à partir de trois matières premières notées $M_1$, $M_2$ et $M_3$.
Les quantités de matières premières nécessaires (en kilogrammes) pour fabriquer une unité de chaque produit sont données ci-dessous :
- Une unité de $P_1$ nécessite 1 kg de $M_1$, 2 kg de $M_2$ et 1 kg de $M_3$.
- Une unité de $P_2$ nécessite 2 kg de $M_1$, 1 kg de $M_2$ et 3 kg de $M_3$.
- Une unité de $P_3$ nécessite 3 kg de $M_1$, 2 kg de $M_2$ et 1 kg de $M_3$.
L'usine dispose d'un stock de 130 kg de $M_1$, 110 kg de $M_2$ et 80 kg de $M_3$. La direction souhaite consommer l'intégralité de ces stocks.
On note $x,y,z$ les nombres d'unités de produits $P_1,P_2,P_3$ à fabriquer.
1. Traduire les contraintes de consommation des stocks par un système linéaire de trois équations à trois inconnues $x,y,z$.
2. Écrire ce système sous la forme matricielle $AX=B$, où $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.
3. On considère la matrice $C=\left(\begin{array}{ccc}-5& 7& 1\\ 0& -2& 4\\ 5& -1& -3\end{array}\right)$.
Calculer le produit matriciel $A\times C$.
En déduire que la matrice $A$ est inversible et exprimer sa matrice inverse $A^{-1}$ en fonction de $C$.
4. Résoudre le système et déterminer le programme de production qui épuise l'ensemble des stocks disponibles.

On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :$$M=\left(\begin{array}{cc}6& -9\\ -2& 3\end{array}\right)$$1. Calculer la quantité $ad-bc$ pour la matrice $M$. Que prévoit le critère d'inversibilité du cours ?
2. On se propose de démontrer par l'absurde que $M$ n'admet pas d'inverse.
Supposons qu'il existe une matrice carrée $B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ telle que $MB=I_2$.
a) Écrire le système de deux équations vérifié par les inconnues $x$ et $z$ correspondant à la première colonne du produit $MB$.
b) Montrer que ce système n'admet aucune solution réelle.
3. Conclure rigoureusement quant à l'inversibilité de la matrice $M$.
4. Soit $X=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$ une matrice colonne. Déterminer une matrice colonne $X\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ telle que $MX=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$.
Montrer qu'une telle relation interdit à $M$ d'être inversible.

On étudie une population d'insectes structurée selon trois stades de développement : les œufs ($x_n$), les larves ($y_n$) et les adultes ($z_n$), où $n$ désigne le temps écoulé en mois.
Le cycle biologique mensuel répond aux règles suivantes :
- Seuls les adultes pondent : chaque adulte produit en moyenne 6 œufs par mois.
- 25 % des œufs survivent et se transforment en larves le mois suivant.
- 50 % des larves survivent et deviennent des adultes le mois suivant.
- Les insectes adultes meurent au bout d'un mois.
On pose la matrice colonne $U_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)$.
1. Écrire les relations de récurrence reliant $x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}$ à $x_n,y_n,z_n$.
2. En déduire la matrice carrée $A$ d'ordre 3 telle que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_{n+1}=A{U}_n$.
3. Calculer les matrices $A^2$ et $A^3$.
4. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $A^{n+3}=\frac{3}{4}{A}^n$.
5. On considère une population initiale $U_0=\left(\begin{array}{c}1024\\ 512\\ 256\end{array}\right)$.
Calculer la population $U_3$ au bout de 3 mois, puis en déduire la population $U_{12}$ au bout de 12 mois sans effectuer de produit matriciel supplémentaire.

On considère la matrice carrée d'ordre 2 :$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$$On introduit les matrices $J=3I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$.
1. Vérifier que $A=J+N$, puis calculer la matrice $N^2$.
2. Justifier que la matrice $J$ commute avec n'importe quelle matrice carrée $M$ d'ordre 2, c'est-à-dire que $J\times M=M\times J$.
3. Calculer les matrices $A^2$ et $A^3$ en utilisant la décomposition $A=J+N$.
4. Émettre une conjecture donnant l'expression explicite de la matrice $A^n$ pour tout entier naturel $n⩾1$ sous la forme $3^n{I}_2+n{3}^{n-1}N$.
5. Démontrer cette conjecture par récurrence sur $n$.
6. En déduire la matrice explicite $A^6$.

Chaque mois, des abonnés de deux plateformes de musique en ligne, $P$ et $Q$, changent éventuellement de plateforme : $20\%$ des abonnés de $P$ passent chez $Q$, et $30\%$ des abonnés de $Q$ passent chez $P$. Aucun autre mouvement n'est pris en compte.

On note $p_n$ et $q_n$ les parts de marché de $P$ et de $Q$ au bout de $n$ mois (avec $p_n+q_n=1$) et $U_n=\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)$.

1. Justifier que $U_{n+1}=A{U}_n$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}0,8& 0,3\\ 0,2& 0,7\end{array}\right)$. Que remarque-t-on sur la somme des coefficients de chaque colonne de $A$ ?
2. On admet que la suite $(U_n)$ converge vers une matrice colonne $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Écrire l'égalité vérifiée par $X$ puis le système d'équations en $x$ et $y$ correspondant. Que remarque-t-on sur ces deux équations ?
3. En utilisant $x+y=1$, déterminer $x$ et $y$.
4. Interpréter le résultat.

Une pisciculture dispose de deux bassins, $A$ et $B$, qui contiennent ensemble $7000$ poissons. Chaque semaine, $10\%$ des poissons du bassin $A$ sont transférés dans le bassin $B$, et $25\%$ des poissons du bassin $B$ sont transférés dans le bassin $A$. On note $a_n$ et $b_n$ les effectifs de $A$ et de $B$ après $n$ semaines et $U_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$.

1. Montrer que $U_{n+1}=M{U}_n$ avec $M=\left(\begin{array}{cc}0,9& 0,25\\ 0,1& 0,75\end{array}\right)$.
2. Que vaut $a_n+b_n$ pour tout entier $n$ ? Justifier.
3. On admet que $(U_n)$ converge vers une matrice colonne $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Écrire l'équation vérifiée par $X$, la traduire par un système et montrer qu'il se ramène à une seule relation entre $x$ et $y$.
4. Déterminer $x$ et $y$, puis vérifier que $X=MX$.