Exercices de Nombres complexes, Terminale

Placer les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ dans un repère orthonormé direct.

Dans le même repère, placer les points $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$, $E^{\prime }$ et $F^{\prime }$ dont les affixes respectives sont : $\overline{z_A}$, $\overline{z_B}$, $\overline{z_C}$, $\overline{z_D}$, $\overline{z_E}$, $\overline{z_F}$.

Relier les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $E^{\prime }$, $D^{\prime }$, $C^{\prime }$, $B^{\prime }$ et $A^{\prime }$, puis faire pivoter toute la figure obtenue d'un angle $-\frac{\pi }{2}$.

On pose $z_1=3-2i$ et $z_2=-1+4i$. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $Z=2z_1-3z_2+z_1{z}_2$.

Écrire le nombre complexe $Z=\frac{4+7i}{2-3i}$ sous forme algébrique, puis préciser sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Soit le nombre complexe $z=\frac{5-i}{1+2i}$. Déterminer la forme algébrique du conjugué $\bar{z}$.

À l'aide de la formule du binôme de Newton, développer le nombre complexe $Z=(2+i{)}^4$ et donner le résultat sous forme algébrique.

Calculer le module du nombre complexe $z=\frac{(3-4i)(1+i\sqrt{3})}{2+i\sqrt{5}}$.

Déterminer le module et l'argument principal appartenant à $]-\pi ;\pi ]$ de chacun des nombres complexes $z_1=-3\sqrt{3}+3i$ et $z_2=-2-2i$.

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes $z_A=4e^{i\frac{2\pi }{3}}$ et $z_B=\sqrt{2}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=2-3i$, $z_B=-4+i$ et $z_C=5+8i$. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, l'affixe du milieu $I$ du segment $[BC]$, ainsi que l'affixe du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(1+2i)z+3-i=2z-4i$. Exprimer la solution sous forme algébrique.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z+3\bar{z}=5-4i$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z-2\bar{z}=-3+9i$.

Soit $z$ un nombre complexe différent de $i$. On pose $Z=\frac{z^2+2\bar{z}}{z-i}$.
1. Exprimer le conjugué $\overline{Z}$ en fonction de $z$ et de $\bar{z}$ sans développer sous forme algébrique.
2. En déduire que si $z$ est un imaginaire pur différent de $i$, alors $\overline{Z}=-\frac{z^2+2z}{z-i}$.

Soit $u$ un nombre complexe appartenant à l'ensemble $\mathbb{U}$ des complexes de module $1$, avec $u\ne -1$. On pose $Z=\frac{u-1}{u+1}$.
1. Démontrer que $\overline{Z}=-Z$.
2. En déduire la nature du nombre complexe $Z$.

On donne les nombres complexes $z_1=\sqrt{6}-i\sqrt{2}$ et $z_2=1-i$.
1. Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$.
2. En déduire la forme trigonométrique du quotient $Z=\frac{z_1}{z_2}$.
3. Écrire $Z$ sous forme algébrique. En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)$ et de $\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)$.

On pose $z=-\sqrt{3}+3i$.
1. Déterminer le module et un argument de $z$.
2. Déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel non nul $n$ pour laquelle $z^n$ est un nombre réel strictement positif.

On note $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$.
1. Démontrer que si $z_1\in \mathbb{U}$ et $z_2\in \mathbb{U}$, alors $z_1{z}_2\in \mathbb{U}$ et $\frac{1}{z_1}\in \mathbb{U}$.
2. En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$ et tout $z\in \mathbb{U}$, on a $z^n\in \mathbb{U}$.

On pose $z=\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)$.
1. Rappeler la formule de Moivre.
2. Déterminer la valeur exacte sous forme algébrique de $z^4$, puis celle de $z^{12}$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1-2i$, $b=4+4i$ et $c=-1-6i$. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Soit $z$ un nombre complexe distinct de $1$. On pose $z=x+iy$ avec $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\setminus \{(1,0)\}$, et $Z=\frac{z+\bar{z}-2i}{z-1}$.
1. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et $y$.
2. En déduire l'ensemble des points $M(x,y)$ du plan complexe tels que $Z$ soit un nombre imaginaire pur.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $S_n=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})$, où $\lfloor n/2\rfloor$ désigne le plus grand entier $k$ tel que $2k⩽n$.
1. Écrire le nombre complexe $1+i$ sous forme exponentielle, puis exprimer $(1+i{)}^n$ en fonction de $n$.
2. Développer $(1+i{)}^n$ à l'aide de la formule du binôme de Newton et identifier sa partie réelle.
3. En déduire une expression simplifiée de la somme $S_n$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2+i$, $b=5+2i$ et $c=1+4i$.
1. Calculer le nombre complexe $Z=\frac{c-a}{b-a}$ sous forme algébrique.
2. Déterminer le module et un argument de $Z$.
3. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$.

Dans le plan complexe, déterminer la nature géométrique et les éléments caractéristiques de chacun des ensembles suivants :
1. L'ensemble ${\mathcal{E}}_1$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|iz-2+3i|=4$.
2. L'ensemble ${\mathcal{E}}_2$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|\bar{z}-1+2i|=|z-3-4i|$.

Dans le plan complexe, on donne les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1-i$ et $z_B=-2+3i$. Pour tout $z\notin \{z_A,z_B\}$, on pose $Z=\frac{z-z_A}{z-z_B}$. Déterminer géométriquement l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant :
1. $\arg (Z)\equiv \pi [2\pi ]$.
2. $\arg (Z)\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$.

1. À l'aide des formules d'Euler et de la formule du binôme de Newton, linéariser ${\cos }^3(x)$ pour tout réel $x$.
2. En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3(x)\mathrm{d}x$.

Pour tout nombre réel $x$, linéariser l'expression $f(x)={\sin }^2(x)\cos (2x)$ en utilisant les formules d'Euler.

À l'aide de la formule de Moivre et du développement du binôme, exprimer $\cos (3x)$ en fonction de $\cos (x)$, puis $\sin (3x)$ en fonction de $\sin (x)$, pour tout nombre réel $x$.

1. Déterminer sous forme algébrique l'ensemble ${\mathbb{U}}_4$ des racines quatrièmes de l'unité.
2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z-2i{)}^4=1$.
3. Préciser la configuration géométrique formée par les images des solutions dans le plan complexe.

On considère la suite $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $z_0=8$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=\frac{1+i\sqrt{3}}{4}{z}_n$.
Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$.
1. Écrire le nombre complexe $\alpha =\frac{1+i\sqrt{3}}{4}$ sous forme exponentielle.
2. Exprimer $z_n$ sous forme exponentielle en fonction de $n$.
3. Déterminer la limite de la distance $O{M}_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
4. Existe-t-il des entiers naturels $n$ pour lesquels le point $M_n$ appartient à l'axe des ordonnées ? Justifier.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère le cercle trigonométrique de centre $O$. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On note $A$ et $B$ les points du cercle trigonométrique repérés par les angles $a$ et $b$, de sorte que $\overrightarrow{OA}=\cos (a)\vec{i}+\sin (a)\vec{j}$ et $\overrightarrow{OB}=\cos (b)\vec{i}+\sin (b)\vec{j}$.
1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ à l'aide des coordonnées des vecteurs.
2. Calculer ce même produit scalaire à l'aide des normes et de l'angle orienté $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA})$.
3. En déduire la formule d'addition pour $\cos (a-b)$, puis établir celles de $\cos (a+b)$ et de $\sin (a+b)$.

Soit $\theta$ un nombre réel quelconque.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$.
2. Démontrer que la formule reste valable pour tout entier relatif négatif $n$.

1. Soit $z=a+ib$ avec $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$. Démontrer que $|z{|}^2=z\bar{z}$.
2. Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes quelconques. À l'aide de la question précédente et des propriétés du conjugué, démontrer que $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$.
3. En déduire que pour tout $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ et tout entier relatif $n$, $|z^n|=|z{|}^n$.

Soit $n$ un entier naturel tel que $n⩾2$. Démontrer que l'équation $z^n=1$ admet dans $\mathbb{C}$ exactement $n$ solutions distinctes, données par ${\omega }_k=e^{i\frac{2k\pi }{n}}$ pour $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
$a=1+2i$, $b=4+3i$, $c=-1+8i$.
1. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABDC$ soit un parallélogramme.
2. Calculer le quotient $Z=\frac{c-a}{b-a}$ sous forme algébrique. En déduire la nature du triangle $ABC$.
3. Préciser la nature exacte du quadrilatère $ABDC$.
4. Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ et le rayon $R$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

On pose $j=e^{i\frac{2\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
1. Exprimer $j^2$ sous forme exponentielle et sous forme algébrique. En déduire que $j^2=\bar{j}$.
2. Calculer $j^3$.
3. Démontrer par un calcul explicite que $1+j+j^2=0$.
4. Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1$, $j$ et $j^2$. Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral et calculer la valeur exacte de la longueur de ses côtés.

Pour tout entier $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$, on pose ${\omega }_k=e^{i\frac{k\pi }{3}}$, affixe du point $M_k$ dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct d'origine $O$.
1. Donner la forme algébrique exacte de chacun des six nombres complexes ${\omega }_k$.
2. Justifier que tous les points $M_k$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Calculer la distance $M_k{M}_{k+1}$ pour tout $k\in \{0,1,2,3,4\}$, ainsi que la distance $M_5{M}_0$.
4. En déduire que le polygone $M_0{M}_1{M}_2{M}_3{M}_4{M}_5$ est un hexagone régulier, et déterminer son périmètre.

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E):z^3=-8$.
1. Déterminer une solution réelle évidente notée $z_0$ de l'équation $(E)$.
2. En posant $z=-2Z$, démontrer que $z$ est solution de $(E)$ si et seulement si $Z^3=1$.
3. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
4. Dans le plan complexe, on note $A_0$, $A_1$ et $A_2$ les images respectives des solutions trouvées. Démontrer que le triangle $A_0{A}_1{A}_2$ est un triangle équilatéral dont le centre de gravité est l'origine $O$.