Exercices de Nombres complexes en maths Terminale (page 3)

82. $Le quatrième sommet d'un parallélogramme$

Soient

A

B

C

les points d'affixes respectives

z_{A} = 1 + 2 i

z_{B} = 3 + i

z_{C} = 2 - 2 i

. Déterminer l'affixe du point

D

tel que le quadrilatère

A B C D

soit un parallélogramme, puis vérifier que les diagonales ont le même milieu.

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83. $Deux équations linéaires à coefficients complexes$

Résoudre dans

C

les deux équations suivantes : (

Q1-(a) Résoudre

(1 + i) z = 3 - i

Q2-(b) Résoudre

\frac{z}{2 + i} = 1 - i

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84. $Une équation où figure le conjugué$

Résoudre dans

C

l'équation

2 \overset{z}{ˉ} + z = 3 - 4 i

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85. $Conjuguer un quotient de sommes$

Soient

z_{1} = 2 - i

z_{2} = 1 + 3 i

. On pose

Z = \frac{z _{1} z _{2}}{z _{1} + z _{2}}

. Calculer

\overline{Z}

en appliquant les règles de conjugaison, puis retrouver le résultat en calculant d'abord

Z

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86. $Une différence toujours imaginaire pure$

Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes quelconques. Montrer que le nombre

Z = z \overset{ˉ}{z^{'}} - \overset{z}{ˉ} z^{'}

est un imaginaire pur.

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87. $Forme exponentielle d'un quotient remarquable$

On considère le nombre complexe

z = \frac{1 + i 3}{1 + i}

. Déterminer son module et un argument, en déduire sa forme exponentielle, puis retrouver sa forme algébrique à l'aide des formules d'addition.

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88. $Argument d'un quotient de puissances$

Soient

a = 2 e^{i \frac{3 π}{4}}

b = \frac{1}{2} e^{- i \frac{π}{6}}

. Déterminer le module et un argument du nombre

Z = \frac{a ^{3}}{b ^{2}}

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89. $Neuvième puissance par la formule de Moivre$

Soit

z = - 3 + i

. Déterminer le module et un argument de

z

, puis calculer

z^{9}

à l'aide de la formule de Moivre.

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90. $Alignement et rapport de longueurs$

Soient

A

B

C

les points d'affixes respectives

z_{A} = 2 + i

z_{B} = 5 + 3 i

z_{C} = 11 + 7 i

. Montrer que

A

B

C

sont alignés et déterminer le rapport

\frac{A C}{A B}

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91. $Une somme de quotients symétriques$

On considère le nombre

Z = \frac{( 1 + i ) ^{3}}{1 - i} + \frac{( 1 - i ) ^{3}}{1 + i}

. Montrer que

Z

est un nombre réel, puis calculer sa valeur exacte.

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92. $Une suite de puissances conjuguées$

Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_{n} = (1 + i 3)^{n} + (1 - i 3)^{n}

.Montrer que

u_{n}

est un nombre réel pour tout

n

, puis établir que

u_{n} = 2^{n + 1} cos (\frac{nπ}{3})

, et exprimer

u_{n}

à l'aide de coefficients binomiaux grâce à la formule du binôme. Calculer enfin

u_{1}

u_{2}

u_{3}

Q1-Montrer que

u_{n}

est un nombre réel pour tout entier naturel

n

Q2-Établir que

u_{n} = 2^{n + 1} cos (\frac{nπ}{3})

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93. $Nature d'un triangle par module et argument$

Soient

A

B

C

les points d'affixes respectives

z_{A} = 1 + i

z_{B} = 2 + (1 + 3) i

z_{C} = 2 + (1 - 3) i

. Déterminer la nature du triangle

A B C

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94. $Deux cercles cachés derrière des modules$

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des ensembles de points suivants, puis montrer qu'ils se coupent en exactement deux points :

E_{1} = {z \in C : ∣ i z - 3∣ = 5}

E_{2} = {z \in C : ∣ \overset{z}{ˉ} + 2 i ∣ = 4}

Q1-Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

E_{1}

Q2-Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

E_{2}

Q3-Montrer que

E_{1}

E_{2}

se coupent en exactement deux points.

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95. $Demi-droite et cercle vus par les arguments$

Déterminer la nature des ensembles de points suivants :

E_{1} = {z \in C : ar g (z - 1 + i) = \frac{3 π}{4} [2 π]}

E_{2} = {z \in C : ar g (\frac{z - 2 i}{z + 2 i}) = \frac{π}{2} [π]}

Q1-Déterminer la nature de

E_{1}

Q2-Déterminer la nature de

E_{2}

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96. $Le cercle d'une égalité de modules$

Déterminer l'ensemble des points

M

d'affixe

z

tels que

∣ z - i ∣ = 2∣ z - 1∣

, et montrer que cet ensemble est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

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97. $Un alignement caractérisé par un argument$

Déterminer l'ensemble des nombres complexes

z

tels que

ar g (\frac{z - 3 - i}{z - 1 + i}) \equiv 0 [π]

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98. $Une expression à étages qui s'effondre$

Soit

z_{0} = 1 + i

. Calculer

Z = \frac{z _{0}^{3} + z _{0} ˉ ^{3}}{z _{0} z _{0} ˉ} - (z_{0} + \overset{z_{0}}{ˉ})

et donner le résultat sous forme algébrique.

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99. $Un losange et ses diagonales$

Soient

A

B

C

D

les points d'affixes respectives

z_{A} = 4 + 4 i

z_{B} = - 2 + 2 i

z_{C} = - 4 - 4 i

z_{D} = 2 - 2 i

. Montrer que

A B C D

est un losange, que ses diagonales sont perpendiculaires, puis calculer son aire.

Q1-Montrer que les diagonales de

A B C D

se coupent en leur milieu.

Q2-Montrer que

A B C D

est un losange.

Q3-Montrer que les diagonales de

A B C D

sont perpendiculaires et calculer l'aire.

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100. $Centre de gravité et orthocentre alignés$

Dans le plan complexe, on considère les points

A

B

C

d'affixes respectives

z_{A} = 5

z_{B} = 3 + 4 i

z_{C} = 3 - 4 i

, ainsi que les points

H

G

d'affixes respectives

z_{H} = 11

z_{G} = \frac{11}{3}

.Montrer que

A

B

C

sont sur un même cercle de centre

O

, que

H

est l'orthocentre du triangle

A B C

, puis que les points

O

G

H

sont alignés dans cet ordre avec

G H = 2 \times O G

(on rappelle que le centre de gravité

G

du triangle

A B C

a pour affixe

\frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}

Q1-Montrer que

A

B

C

sont sur un même cercle de centre

O

Q2-Montrer que

H

est l'orthocentre du triangle

A B C

Q3-Vérifier l'affixe du centre de gravité

G

Q4-Montrer que

O

G

H

sont alignés avec

G H = 2 \times O G

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101. $Un carré caché dans le carré des racines quatrièmes$

Soient

A

B

C

D

les points d'affixes respectives

1

i

- 1

- i

(ce sont les racines quatrièmes de l'unité).Montrer que

A B C D

est un carré, puis déterminer les affixes des milieux

I

J

K

L

des côtés

[A B]

[B C]

[C D]

[D A]

, et montrer que

I J K L

est lui aussi un carré dont on calculera l'aire.

Q1-Montrer que

A B C D

est un carré.

Q2-Déterminer les affixes de

I

J

K

L

Q3-Montrer que

I J K L

est un carré et calculer son aire.

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102. $Formule de duplication par le produit scalaire$

En utilisant le produit scalaire, démontrer que pour tout réel

a

cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a

, puis en déduire que

cos (2 a) = 2 cos^{2} a - 1

Q1-Démontrer que

cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a

pour tout réel

a

Q2-En déduire que

cos (2 a) = 2 cos^{2} a - 1

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103. $Deux triangles équilatéraux sur un même segment$

Soient

A

B

les points d'affixes respectives

2

2 i

. Déterminer tous les points

M

d'affixe

z

tels que le triangle

A B M

soit équilatéral.

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104. $L'arc capable d'un angle de soixante degrés$

Soient

A

B

les points d'affixes respectives

2

- 2

. Déterminer l'ensemble des points

M

d'affixe

z

tels que

ar g (\frac{z - 2}{z + 2}) \equiv \frac{π}{3} [2 π]

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105. $Forme exponentielle$

On considère un repère orthonormé

(O; u, v)

.
Pour tout entier naturel

n

, on note

M_{n}

le point d'affixe

z_{n}

tel que :

z_{0} = 1

z_{n + 1} = (\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i) z_{n}

.
Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe

\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

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106. $Suite géométrique$

Soit la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par :

u_{n} = ∣ z_{n} ∣

Q1-Démontrer que

(u_{n})

est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Indication : On pourra prouver que le rapport

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

est une constante.

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107. $Algorithme$

On considère l'algorithme suivant, dans lequel

P

est un nombre réel choisi par l'utilisateur :

n

prend la valeur

0

u

prend la valeur

1

Tant que

u < P

n

prend la valeur

n + 1

u

prend la valeur

3 \times u

Fin Tant que
Afficher

n

Q1-Si

P = 5

, quelle est la valeur affichée en sortie ?

Q2-Même question pour

P = 15

Q3-Dans le contexte de la partie 2, que permet de faire cet algorithme ?

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108. $Spirale$

Pour la suite, on admet que pour tout entier naturel

n

, on a :

z_{n} = u_{n} e^{i \frac{nπ}{6}}

Q1-Pour quelles valeurs de

n

, le point

M_{n}

appartient-il à l'axe des abscisses ? À l'axe des ordonnées ? Justifier.

Q2-Démontrer que le triangle

O M_{n} M_{n + 1}

est isocèle en

M_{n}

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Exercices de Nombres complexes, Terminale (page 3)

81.

82. $Le quatrième sommet d'un parallélogramme$

83. $Deux équations linéaires à coefficients complexes$

84. $Une équation où figure le conjugué$

85. $Conjuguer un quotient de sommes$

86. $Une différence toujours imaginaire pure$

87. $Forme exponentielle d'un quotient remarquable$

88. $Argument d'un quotient de puissances$

89. $Neuvième puissance par la formule de Moivre$

90. $Alignement et rapport de longueurs$

91. $Une somme de quotients symétriques$

92. $Une suite de puissances conjuguées$

93. $Nature d'un triangle par module et argument$

94. $Deux cercles cachés derrière des modules$

95. $Demi-droite et cercle vus par les arguments$

96. $Le cercle d'une égalité de modules$

97. $Un alignement caractérisé par un argument$

98. $Une expression à étages qui s'effondre$

99. $Un losange et ses diagonales$

100. $Centre de gravité et orthocentre alignés$

101. $Un carré caché dans le carré des racines quatrièmes$

102. $Formule de duplication par le produit scalaire$

103. $Deux triangles équilatéraux sur un même segment$

104. $L'arc capable d'un angle de soixante degrés$

105. $Forme exponentielle$

106. $Suite géométrique$

107. $Algorithme$

108. $Spirale$

81.

82.Le quatrième sommet d'un parallélogramme

83.Deux équations linéaires à coefficients complexes

84.Une équation où figure le conjugué

85.Conjuguer un quotient de sommes

86.Une différence toujours imaginaire pure

87.Forme exponentielle d'un quotient remarquable

88.Argument d'un quotient de puissances

89.Neuvième puissance par la formule de Moivre

90.Alignement et rapport de longueurs

91.Une somme de quotients symétriques

92.Une suite de puissances conjuguées

93.Nature d'un triangle par module et argument

94.Deux cercles cachés derrière des modules

95.Demi-droite et cercle vus par les arguments

96.Le cercle d'une égalité de modules

97.Un alignement caractérisé par un argument

98.Une expression à étages qui s'effondre

99.Un losange et ses diagonales

100.Centre de gravité et orthocentre alignés

101.Un carré caché dans le carré des racines quatrièmes

102.Formule de duplication par le produit scalaire

103.Deux triangles équilatéraux sur un même segment

104.L'arc capable d'un angle de soixante degrés

105.Forme exponentielle

106.Suite géométrique

107.Algorithme

108.Spirale

82. $Le quatrième sommet d'un parallélogramme$

83. $Deux équations linéaires à coefficients complexes$

84. $Une équation où figure le conjugué$

85. $Conjuguer un quotient de sommes$

86. $Une différence toujours imaginaire pure$

87. $Forme exponentielle d'un quotient remarquable$

88. $Argument d'un quotient de puissances$

89. $Neuvième puissance par la formule de Moivre$

90. $Alignement et rapport de longueurs$

91. $Une somme de quotients symétriques$

92. $Une suite de puissances conjuguées$

93. $Nature d'un triangle par module et argument$

94. $Deux cercles cachés derrière des modules$

95. $Demi-droite et cercle vus par les arguments$

96. $Le cercle d'une égalité de modules$

97. $Un alignement caractérisé par un argument$

98. $Une expression à étages qui s'effondre$

99. $Un losange et ses diagonales$

100. $Centre de gravité et orthocentre alignés$

101. $Un carré caché dans le carré des racines quatrièmes$

102. $Formule de duplication par le produit scalaire$

103. $Deux triangles équilatéraux sur un même segment$

104. $L'arc capable d'un angle de soixante degrés$

105. $Forme exponentielle$

106. $Suite géométrique$

107. $Algorithme$

108. $Spirale$