Exercices de Nombres complexes en maths Terminale (page 2)

42. $Conjugué d'un quotient et d'un produit$

Soient

z = \frac{5 + i}{2 + i}

w = (2 - i) (1 + 3 i)

. Calculer

\overline{z}

\overline{w}

de deux façons : d'abord en passant par la forme algébrique de

z

et de

w

, puis en appliquant directement les règles de conjugaison

\overline{z z^{'}} = \overline{z} \overline{z^{'}}

\overline{(\frac{z}{z ^{'}})} = \frac{z}{z ^{'}}

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43. $Puissance quatrième d'un binôme complexe$

Développer

(1 + 2 i)^{4}

à l'aide de la formule du binôme de Newton et donner le résultat sous forme algébrique. Vérifier le résultat en calculant d'abord

(1 + 2 i)^{2}

puis son carré.

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44. $Modules sous différentes formes$

Déterminer le module de chacun des nombres complexes suivants :

a = - 5 + 12 i

b = 3 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})

c = 7 e^{- i \frac{π}{2}}

. En déduire, sans nouveau calcul, le module de

ab

et celui de

\frac{b}{c}

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45. $Reconnaître des angles remarquables$

Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et un argument, puis écrire sa forme exponentielle :

a = - 1 + i 3

b = - 3 + i

c = - 2 i

d = 4

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46. $Forme algébrique à partir d'angles du cercle$

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes

u = 6 e^{i \frac{5 π}{6}}

v = 2 (cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4}))

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47. $Vecteurs, milieu et centre de gravité par les affixes$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A

B

C

d'affixes respectives

a = 1 + 2 i

b = 4 - i

c = - 1 + 5 i

. Calculer l'affixe du vecteur

A B

, l'affixe du milieu du segment

[B C]

, puis l'affixe du centre de gravité

G

du triangle

A B C

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48. $Inverse d'un nombre complexe par deux méthodes$

On considère le nombre complexe

z = 1 + i 3

. Calculer l'inverse de

z

de deux façons : directement en forme algébrique, puis en passant par la forme exponentielle de

z

. Vérifier que le résultat

z^{'}

obtenu vérifie bien

z \times z^{'} = 1

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49. $Équation du premier degré à coefficient complexe$

Résoudre dans

C

l'équation d'inconnue

z

(1 + i) z = 3 + i

. Donner la solution sous forme algébrique, puis vérifier le résultat en remplaçant dans l'équation.

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50. $Équation reliant un nombre complexe et son conjugué$

Résoudre dans

C

l'équation d'inconnue

z

z + 2 \overline{z} = 3 + 2 i

. On posera

z = x + i y

, où

x

y

sont des réels.

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51. $Conjugué d'une expression composée par les règles de calcul$

Soient

z_{1} = 1 + i

z_{2} = 2 - i

. On pose

W = z_{1}^{2} z_{2}^{3}

. Calculer

\overline{W}

sans développer

W

, en appliquant les règles de conjugaison aux facteurs. Vérifier ensuite le résultat en calculant directement

W

, puis en prenant son conjugué.

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52. $Une somme symétrique qui est toujours réelle$

Soit

z

un nombre complexe non nul. On pose

Z = \frac{z}{z} + \frac{z}{z}

. Montrer, sans calculer la forme algébrique de

z

, que

Z

est un nombre réel. Calculer ensuite

Z

pour

z = 2 + i

. Enfin, si

θ

est un argument de

z

, montrer que

Z = 2 cos (2 θ)

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53. $Module et argument d'un quotient de nombres simples$

Soit

Z = \frac{2 i}{1 - i 3}

. Déterminer le module et un argument de

Z

en écrivant le numérateur et le dénominateur sous forme exponentielle, puis en déduire la forme algébrique de

Z

. Retrouver ce résultat par un calcul algébrique direct.

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54. $Module et argument d'un produit de puissances$

Soient

u = 3 e^{i \frac{π}{6}}

v = 2 e^{i \frac{5 π}{6}}

w = e^{- i \frac{π}{2}}

. Déterminer le module et un argument de

Z = \frac{u ^{2} v}{w ^{3}}

, en veillant à réduire l'argument obtenu à l'intervalle

[0; 2 π [

. Donner alors la forme algébrique de

Z

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55. $Le cercle trigonométrique est stable par quotient et conjugaison$

On note

U

l'ensemble des nombres complexes de module

1

. Soient

z

z^{'}

deux éléments de

U

. Montrer que

\frac{z}{z ^{'}}

\overline{z}

appartiennent encore à

U

. Illustrer les deux propriétés avec

z = e^{i \frac{π}{5}}

z^{'} = e^{i \frac{3 π}{5}}

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56. $Puissance vingtième et formule de Moivre$

Calculer

(1 + i)^{20}

. Pour cela, écrire

1 + i

sous forme exponentielle et utiliser la formule de Moivre. Retrouver ensuite le résultat à l'aide des valeurs de

(1 + i)^{2}

(1 + i)^{4}

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57. $Nature d'un quadrilatère par les affixes$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A

B

C

D

d'affixes respectives

a = - 1 + 2 i

b = 3 - i

c = 2 + 4 i

d = - 2 + 7 i

. Montrer, de deux façons différentes, que le quadrilatère

A B C D

est un parallélogramme.

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58. $Symétrique d'un point par rapport à un autre point$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On donne les points

A

B

C

d'affixes respectives

a = 2 + i

b = 1 + 3 i

c = 4 - 2 i

. Déterminer l'affixe du point

A^{'}

, symétrique de

A

par rapport au point

B

, puis l'affixe du point

C^{'}

, symétrique de

C

par rapport au point

A

. Vérifier chaque réponse à l'aide de la formule du milieu.

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59. $Simplification d'une expression à étages$

On considère le nombre complexe

Z = \frac{\frac{1 + i}{1 - i} + ( 2 - i ) ^{2}}{1 + i} .

Calculer

Z

étape par étape, en choisissant un ordre de calcul qui simplifie les fractions intermédiaires, et donner le résultat sous forme algébrique.

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60. $Une identité binomiale sur la partie réelle$

Pour tout entier naturel

n

non nul, on considère le nombre complexe

(1 + i)^{2 n}

Q1-Développer

(1 + i)^{2 n}

par la formule du binôme de Newton et montrer que sa partie réelle vaut

p = 0 \sum n (2 p 2 n) (- 1)^{p}

Q2-Calculer autrement

(1 + i)^{2 n}

en remarquant que

(1 + i)^{2} = 2 i

Q3-En déduire la valeur de la somme

p = 0 \sum n (2 p 2 n) (- 1)^{p}

Q4-Vérifier le résultat pour

n = 2

puis pour

n = 3

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61. $Triangle équilatéral par les modules et un argument$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère les points

A

B

C

d'affixes respectives

a = 1

b = 1 + 3 + i

c = 1 + 2 i

. Montrer que le triangle

A B C

est équilatéral.

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62. $Médiatrice cachée derrière un conjugué$

Déterminer l'ensemble des points

M

d'affixe

z

tels que

∣ \overline{z} - 2 i ∣ = ∣ z + 1∣

. Donner son équation cartésienne et vérifier qu'un point particulier convient.

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63. $Un demi-cercle caractérisé par un quotient$

Déterminer l'ensemble des points

M

d'affixe

z

tels que

ar g (\frac{z - i}{z + i}) = \frac{π}{2} [2 π]

.
On précisera soigneusement les valeurs de

z

pour lesquelles le quotient n'est pas défini, et on interprétera géométriquement le résultat obtenu.

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64. $Linéarisation du sinus puissance quatrième$

Linéariser

sin^{4} x

, c'est-à-dire l'écrire comme combinaison linéaire de

1

cos (2 x)

cos (4 x)

, à l'aide des formules d'Euler. En déduire la valeur moyenne de la fonction

x \mapsto sin^{4} x

sur l'intervalle

[0; π]

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65. $Lignes trigonométriques de l'angle quadruple$

À l'aide de la formule de Moivre, exprimer

cos (4 x)

sin (4 x)

en fonction de

cos x

sin x

. Montrer ensuite que

cos (4 x) = 8 cos^{4} x - 8 cos^{2} x + 1

et que

sin (4 x) = 4 cos x sin x (cos^{2} x - sin^{2} x)

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66. $Substitution et racines quatrièmes de l'unité$

Résoudre dans

C

l'équation d'inconnue

z

(z - 1)^{4} = 1

. On posera

Z = z - 1

. Placer les solutions dans le plan complexe, puis montrer que les points dont elles sont les affixes sont les sommets d'un carré, dont on précisera le centre et le rayon du cercle circonscrit.

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67. $Points en spirale et seuil de distance$

On considère la suite de nombres complexes

(z_{n})

définie par

z_{0} = 2

et, pour tout entier naturel

n

z_{n + 1} = α z_{n}

où

α = \frac{1}{3} (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})

.
On note

M_{n}

le point du plan complexe d'affixe

z_{n}

Q1-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

z_{n} = 2 (\frac{1}{3})^{n} (cos \frac{nπ}{3} + i sin \frac{nπ}{3})

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68. $Puissances d'un nombre complexe qui sont réelles$

On considère le nombre complexe

z_{0} = 1 + i 3

Q1-Déterminer les entiers naturels

n ⩾ 1

tels que

z_{0}^{n}

soit un nombre réel.

Q2-Pour un tel entier

n

écrit sous la forme

n = 3 k

, exprimer

z_{0}^{3 k}

en fonction de

k

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69. $Démonstration des propriétés du conjugué$

Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes.

Q1-Démontrer que

\overline{z z^{'}} = \overline{z} \overline{z^{'}}

Q2-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

\overline{z^{n}} = (\overline{z})^{n}

Q3-Démontrer que, pour

z \neq = 0

\overline{(\frac{1}{z})} = \frac{1}{z}

Q4-En déduire une formule pour

\overline{(\frac{z}{z ^{'}})}

(avec

z^{'} \neq = 0

), et la vérifier sur l'exemple

\frac{1 + i}{2 - i}

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70. $Alignement, angle droit et cercle circonscrit$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé d'origine

O

. On considère les points

A

B

C

D

d'affixes respectives :

a = 1

b = 3 + 2 i

c = 5 + 4 i

d = 4 + i

Q1-Montrer que les points

A

B

C

sont alignés et que

B

est le milieu du segment

[A C]

Q2-Montrer que le triangle

A B D

est rectangle en

B

, et que

B A = 2 B D

Q3-

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71. $Stabilité de l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité$

Soit

n

un entier naturel,

n ⩾ 2

. On note

U_{n}

l'ensemble des racines

n

-ièmes de l'unité, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes

z

vérifiant

z^{n} = 1

. Soient

z

z^{'}

deux éléments de

U_{n}

Q1-Montrer que tout élément de

U_{n}

est de module

1

Q2-Montrer que le produit

z z^{'}

appartient à

U_{n}

Q3-Montrer que l'inverse

\frac{1}{z}

appartient à

U_{n}

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72. $Périmètre du pentagone régulier des racines cinquièmes$

Pour tout entier

k

avec

0 ⩽ k ⩽ 4

, on pose :

w_{k} = e^{\frac{2 ik π}{5}}

,
et on note

A_{k}

le point du plan complexe d'affixe

w_{k}

Q1-Vérifier que chaque

w_{k}

est une racine cinquième de l'unité.

Q2-Montrer que les points

A_{k}

sont tous sur le cercle trigonométrique et qu'ils sont régulièrement répartis sur ce cercle.

Q3-Établir que, pour tous réels

a

b

e^{ia} - e^{ib} = 2 sin (\frac{a - b}{2})

. En déduire la longueur du côté du pentagone

A_{0} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}

, puis son périmètre.

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73. $Quand une puissance égale son conjugué$

Déterminer l'ensemble des nombres complexes

z

tels que :

z^{4} = (\overline{z})^{4} .

On montrera que l'ensemble obtenu est une réunion de droites dont on décrira précisément les directions, et on vérifiera la conclusion sur deux exemples convenables et un contre-exemple.

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74. $Vrai ou faux justifié sur les nombres complexes$

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et fournir une justification complète (démonstration courte dans le cas « vrai », contre-exemple calculé dans le cas « faux »).

Q1-Pour tout nombre complexe

z

non nul,

z + \frac{1}{z}

est un nombre réel.

Q2-Si

∣ z ∣ = 1

, alors

z + \frac{1}{z}

est un nombre réel.

Q3-L'ensemble des points

M

d'affixe

z

tels que

∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣

est un cercle de centre

O

Q4-Si un argument de

z

est

\frac{π}{4}

, alors un argument de

z^{2}

est

\frac{π}{2}

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75. $Une récurrence avec un nombre complexe$

On considère le nombre complexe

1 + i

Q1-Calculer

(1 + i)^{2}

puis

(1 + i)^{4}

Q2-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

(1 + i)^{4 n} = (- 4)^{n}

Q3-En déduire la forme algébrique de

(1 + i)^{40}

, puis celle de

(1 + i)^{42}

Q4-Contrôler le résultat de

(1 + i)^{40}

par la forme exponentielle de

1 + i

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76. $Figure des solutions d'une équation avec conjugué$

Résoudre dans

C

l'équation d'inconnue

z

(\overline{z})^{2} = z .

Q1-Montrer que les solutions réelles de cette équation sont

0

1

Q2-Achever la résolution en posant

z = x + i y

, où

x

y

sont des réels.

Q3-Montrer que les solutions de module

1

sont les affixes des sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique.

Q4-Vérifier que la somme des trois solutions de module

1

est nulle, et interpréter géométriquement ce résultat.

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77. $Un polynôme évalué en un point complexe$

Soit

P

le polynôme défini sur

C

par

P (z) = z^{2} - 4 z + 7

. Calculer

P (2 - 3 i)

et donner le résultat sous forme algébrique. Que remarque-t-on ?

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78. $Cube d'un binôme par le triangle de Pascal$

Développer

(1 - 2 i)^{3}

à l'aide de la formule du binôme de Newton et donner le résultat sous forme algébrique.

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79. $Modules déduits de modules connus$

Soient

z_{1}

z_{2}

z_{3}

trois nombres complexes tels que

∣ z_{1} ∣ = 6

∣ z_{2} ∣ = 3

∣ z_{3} ∣ = 2

. Sans calculer

z_{1}

z_{2}

z_{3}

, déterminer

∣ z_{1} z_{2} ∣

\frac{z _{2}}{z _{3}}

\frac{1}{z _{2}}

∣ z_{1}^{2} z_{3}^{3} ∣

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80. $Angles remarquables dans les bons quadrants$

Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :

a = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i

b = \frac{2}{2} - \frac{2}{2} i

c = - 2 i

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41.

42.Conjugué d'un quotient et d'un produit

43.Puissance quatrième d'un binôme complexe

44.Modules sous différentes formes

45.Reconnaître des angles remarquables

46.Forme algébrique à partir d'angles du cercle

47.Vecteurs, milieu et centre de gravité par les affixes

48.Inverse d'un nombre complexe par deux méthodes

49.Équation du premier degré à coefficient complexe

50.Équation reliant un nombre complexe et son conjugué

51.Conjugué d'une expression composée par les règles de calcul

52.Une somme symétrique qui est toujours réelle

53.Module et argument d'un quotient de nombres simples

54.Module et argument d'un produit de puissances

55.Le cercle trigonométrique est stable par quotient et conjugaison

56.Puissance vingtième et formule de Moivre

57.Nature d'un quadrilatère par les affixes

58.Symétrique d'un point par rapport à un autre point

59.Simplification d'une expression à étages

60.Une identité binomiale sur la partie réelle

61.Triangle équilatéral par les modules et un argument

62.Médiatrice cachée derrière un conjugué

63.Un demi-cercle caractérisé par un quotient

64.Linéarisation du sinus puissance quatrième

65.Lignes trigonométriques de l'angle quadruple

66.Substitution et racines quatrièmes de l'unité

67.Points en spirale et seuil de distance

68.Puissances d'un nombre complexe qui sont réelles

69.Démonstration des propriétés du conjugué

70.Alignement, angle droit et cercle circonscrit

71.Stabilité de l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité

72.Périmètre du pentagone régulier des racines cinquièmes

73.Quand une puissance égale son conjugué

74.Vrai ou faux justifié sur les nombres complexes

75.Une récurrence avec un nombre complexe

76.Figure des solutions d'une équation avec conjugué

77.Un polynôme évalué en un point complexe

78.Cube d'un binôme par le triangle de Pascal

79.Modules déduits de modules connus

80.Angles remarquables dans les bons quadrants

42. $Conjugué d'un quotient et d'un produit$

43. $Puissance quatrième d'un binôme complexe$

44. $Modules sous différentes formes$

45. $Reconnaître des angles remarquables$

46. $Forme algébrique à partir d'angles du cercle$

47. $Vecteurs, milieu et centre de gravité par les affixes$

48. $Inverse d'un nombre complexe par deux méthodes$

49. $Équation du premier degré à coefficient complexe$

50. $Équation reliant un nombre complexe et son conjugué$

51. $Conjugué d'une expression composée par les règles de calcul$

52. $Une somme symétrique qui est toujours réelle$

53. $Module et argument d'un quotient de nombres simples$

54. $Module et argument d'un produit de puissances$

55. $Le cercle trigonométrique est stable par quotient et conjugaison$

56. $Puissance vingtième et formule de Moivre$

57. $Nature d'un quadrilatère par les affixes$

58. $Symétrique d'un point par rapport à un autre point$

59. $Simplification d'une expression à étages$

60. $Une identité binomiale sur la partie réelle$

61. $Triangle équilatéral par les modules et un argument$

62. $Médiatrice cachée derrière un conjugué$

63. $Un demi-cercle caractérisé par un quotient$

64. $Linéarisation du sinus puissance quatrième$

65. $Lignes trigonométriques de l'angle quadruple$

66. $Substitution et racines quatrièmes de l'unité$

67. $Points en spirale et seuil de distance$

68. $Puissances d'un nombre complexe qui sont réelles$

69. $Démonstration des propriétés du conjugué$

70. $Alignement, angle droit et cercle circonscrit$

71. $Stabilité de l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité$

72. $Périmètre du pentagone régulier des racines cinquièmes$

73. $Quand une puissance égale son conjugué$

74. $Vrai ou faux justifié sur les nombres complexes$

75. $Une récurrence avec un nombre complexe$

76. $Figure des solutions d'une équation avec conjugué$

77. $Un polynôme évalué en un point complexe$

78. $Cube d'un binôme par le triangle de Pascal$

79. $Modules déduits de modules connus$

80. $Angles remarquables dans les bons quadrants$